第9講　消元法在解題中的應(yīng)用 [方法精要]　在一些較復(fù)雜的題目中，若含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)時(shí)，為了保證先求出其中的一種數(shù)量，往往要通過對某些數(shù)量的比較，設(shè)法先消去一個(gè)或幾個(gè)未知量，從而把一道數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的題目變成簡單的題目解出來，這種解題方法就是消元法． 用消元法解題時(shí)注意以下幾點(diǎn)： 1．把條件寫成幾個(gè)等式，并排列在一起進(jìn)行比較，如果有一種量的數(shù)相同，就很容易把這種量消去． 2．如果兩種量的數(shù)都不相同，可以用一個(gè)數(shù)去乘等式的兩邊，使其中的一個(gè)量的數(shù)相同然后消去這個(gè)量． 3．解答后，可以把結(jié)果代入條件列出的每一個(gè)等式中計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合題意． 題型一　消元法在平面向量中的應(yīng)用 例1　設(shè)＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，且2a＝b，c＝b＋d,2e＝3b＋4d，求證：點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn)． 破題切入點(diǎn)　本題涉及到的向量比較多，觀察結(jié)論，根據(jù)結(jié)論的要求，只需證明c＝(a＋e)，因此，只要不斷消元，即可得到向量c，a，e的關(guān)系． 證明　因?yàn)?a＝b，c＝b＋d， 所以b＝2a，d＝c－2a，代入2e＝3b＋4d， 可得2e＝32a＋4(c－2a)， 整理得c＝(a＋e)， 所以點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn)． 題型二　消元法在解析幾何中的應(yīng)用 例2　已知雙曲線－＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，離心率為e，若點(diǎn)(－1,0)與(1,0)到直線－＝1的距離之和S≥c，則e的取值范圍是________． 破題切入點(diǎn)　根據(jù)已知的不等式找a，c所滿足的不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，通過這個(gè)不等式解得雙曲線的離心率的范圍． 答案　[，] 解析　∵S＝＋＝≥c， ∴2c2≤5ab，即4c4≤25a2(c2－a2)， 即4c4－25a2c2＋25a4≤0， 即4e4－25e2＋25≤0， 解得≤e2≤5，即≤e≤. 總結(jié)提高　消元思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，它既可以顯性的表現(xiàn)為具體的技能，如降冪、減少變量的個(gè)數(shù)等，又指導(dǎo)著思維的方向，如對題設(shè)或結(jié)論的簡化意識(shí)等，在解題的動(dòng)態(tài)思維過程中，如能緊扣消元的數(shù)學(xué)思想，重視消元法的應(yīng)用，就會(huì)嘗到柳暗花明又一村帶來的樂趣． 1．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，則f(2)的值為________． 答案　 解析　因?yàn)閒(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2， 則f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2， 聯(lián)立可得g(x)＝2， 又因?yàn)間(2)＝a，故a＝2. 因?yàn)閒(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，g(2)＝a， 則f(2)＝a2－a－2＋2－a＝22－2－2＋2－2＝. 2．(2013浙江改編)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α的值為________． 答案?。? 解析　因?yàn)閟in α＋2cos α＝， 又sin2α＋cos2α＝1， 聯(lián)立解得或 故tan α＝＝－，或tan α＝＝3， 代入可得tan 2α＝＝＝－， 或tan 2α＝＝＝－. 3．設(shè)m>1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為________． 答案　(1,1＋) 解析　畫出可行域， 或分別解方程組 得到三個(gè)區(qū)域端點(diǎn)(0,0)，(，)，(，)，當(dāng)且僅當(dāng)直線z＝x＋my過點(diǎn)(，)時(shí)，z取到最大值z＝<2，解得m∈(1,1＋)． 4．若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別是x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為________． 答案　 解析　因?yàn)閑＝＝，所以a＝2c， 由a2＝b2＋c2，得＝， x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝， 點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)(0,0)的距離d＝＝＝. 5．過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為135的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為________． 答案　16 解析　拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，直線AB的傾斜角為135，故直線AB的方程為y＝－x＋2代入拋物線方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦AB的長AB＝|x1－x2|＝16. 6．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A(－1,0)，則的最小值是________． 答案　 解析　由題意知x≥0，則焦點(diǎn)F(1,0)，PF＝x＋1，PA＝＝，當(dāng)x＝0時(shí)，＝1；當(dāng)x>0時(shí)，1<＝ ≤ ＝(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))．因此當(dāng)x≥0時(shí)，1≤≤，≤≤1，的最小值是. 7．已知雙曲線：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，過雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若直線AB過原點(diǎn)，則k1k2的值為________． 答案　3 解析　由題意知e＝＝2，則b2＝3a2， 雙曲線方程可化為3x2－y2＝3a2，設(shè)A(m，n)，M(x，y)， 則B(－m，－n)，k1k2＝＝ ＝ ＝3. 8．已知圓C1 ：x2＋y2－2x－2y－2＝0和圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0，則過兩圓交點(diǎn)的公共弦所在直線方程為________． 答案　2x＋2y－1＝0 解析　聯(lián)立兩圓的方程，消去二次項(xiàng)即得公共弦所在直線的方程2x＋2y－1＝0. 9．設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋)(＋4y2)的最小值為________． 答案　9 解析　(x2＋)(＋4y2)＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝時(shí)等號(hào)成立． 10．設(shè)＝a，＝b，＝c，＝d，m，n，p，q是不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，如果ma＋nb＋pc＋qd＝0，且(m＋n)2＋(p＋q)2＝0. 求證：A，B，C，D共線或AB∥CD. 證明　因?yàn)?m＋n)2＋(p＋q)2＝0，m，n，p，q是不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)， ∴m＝－n，p＝－q， 代入ma＋nb＋pc＋qd＝0得n(b－a)＝－q(d－c) ∴n＝q， ∵n≠0，(否則m，p，q均為零)， ∴＝， ∴∥， 即A，B，C，D共線或AB∥CD. 11.如圖，已知拋物線C：y2＝－2px(p>0)上橫坐標(biāo)為－3的一點(diǎn)，與其焦點(diǎn)的距離為4. (1)求p的值； (2)設(shè)動(dòng)直線y＝x＋b(b>3)與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，問在直線l：y＝2上是否存在與b的取值無關(guān)的定點(diǎn)M，使得∠AMB被直線l平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解　(1)由已知得|－3－|＝4，∵p>0，∴p＝2. (2)令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)， 設(shè)存在點(diǎn)M(a,2)滿足條件， 由已知得kAM＝－kBM， 即有＋＝0，x1＝－，x2＝－； 整理得y1y2(y1＋y2)＋4a(y1＋y2)－2(y＋y)－16a＝0； 由 得y2＋4y－4b＝0， 即y1＋y2＝－4，y1y2＝－4b， 則－4b(－4)＋4a(－4)－2[(－4)2＋8b]－16a＝0， ∴a＝－1， 因此存在點(diǎn)M(－1,2)，而當(dāng)b>3時(shí)線段AB在點(diǎn)M(－1，2)的左上方，滿足題意． 12．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，)． (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，滿足＝2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由． 解　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得 解得a2＝4，b2＝3. 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在直線l1且由題意得斜率存在， 設(shè)滿足條件的方程為y＝k1(x－2)＋1，代入橢圓C的方程得， (3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0. 因?yàn)橹本€l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B， 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0， 所以k1>－. 又x1＋x2＝， x1x2＝， 因?yàn)椋?， 即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k)＝2＝. 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝. 所以[－2＋4](1＋k) ＝＝，解得k1＝. 因?yàn)閗1>－，所以k1＝. 于是存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x.