2014屆高三數學總復習 2.9指數函數、對數函數與冪函數教案〔3〕 新人教A版 考情分析 考點新知 ① 對數函數在高考中的考查主要是圖象和性質，同時考查數學思想方法，以考查分類討論與運算能力為主；考查形式主要是填空題，同時也有綜合性較強的解答題出現(xiàn)，目的是結合其他章節(jié)的知識，綜合進展考查. ②冪函數的考查較為根底，以常見的5種冪函數為載體，考查求值、單調性、奇偶性、最值等問題是高考命題的出發(fā)點． ① 理解對數函數的概念；理解對數函數的單調性；掌握對數函數圖象通過的特殊點. ②知道對數函數是一類重要的函數模型. ③了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax的相互關系(a>0，a≠1). ④了解冪函數的概念，結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的圖象，了解它們的變化情況. 1. (必修1P112測試8改編)函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)，假如f(2)>f(3)，如此實數a的取值X圍是________． 答案：(0，1) 解析：因為f(2)>f(3)，所以f(x)＝logax單調遞減，如此a∈(0，1)． 2. (必修1P89練習3改編)假如冪函數y＝f(x)的圖象經過點，如此f(25)＝________． 答案： 解析：設f(x)＝xα，如此＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝. 3. (必修1P111習題15改編)函數f(x)＝ln是________(填“奇〞或“偶〞)函數． 答案：奇 解析：因為f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函數． 4. (必修1P87習題13改編)不等式lg(x－1)<1的解集為________. 答案：(1，11) 解析：由0<x－1<10，∴ 1<x<11. 5. (必修1P87習題14改編)對于任意的x1、x2∈(0，＋∞)，假如函數f(x)＝lgx，如此與f的大小關系是______________________. 答案：≤f 解析：(解法1)作差運算； (解法2)尋找與f的幾何意義，通過函數f(x)＝lgx圖象可得． 1. 對數函數的定義 一般地，我們把函數y＝logax(a>0，a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)． 2. 對數函數的圖象與性質 a>1 0<a<1 圖 象 性 質 (1) 定義域：(0，＋∞) (2) 值域：R (3) 過點(1，0)，即x＝1時，y＝0 (4) 當x＞1時，f(x)>0；當0＜x＜1時，f(x)<0 (4) 當x＞1時，f(x)<0；當0＜x＜1時，f(x)>0 (5)是(0，＋∞)上的增函數 (5)是(0，＋∞)上的減函數 3. 冪函數的定義 形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數． 4. 冪函數的圖象 5. 冪函數的性質 函數特 征性質 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x∈R且x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調性 增 (－∞，0]減， [0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)減，(0，＋∞)減 定點 (1，1) [備課札記] 題型1　對數函數的概念與性質 例1　(1) 設a>1，函數f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差是，如此a＝________； (2) 假如a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于號“<〞將a、b、c連結起來________； (3) 設f(x)＝lg是奇函數，如此使f(x)<0的x的取值X圍是________； (4) 函數f(x)＝|log2x|，正實數m、n滿足m<n且f(m)＝f(n)，假如f(x)在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，如此m、n的值分別為________. 答案：(1) 4　(2) c＜b＜a　(3) －1＜x＜0　(4) ，2 解析：(1) ∵ a>1，∴函數f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上是增函數，∴ loga2a－logaa＝，∴ a＝4. (2) 由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a. (3) 由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，如此由lg<0，得解得－1<x<0. (4) 結合函數f(x)＝|log2x|的圖象，易知0<m<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝， 所以n＝2. (1) 設loga＜1，如此實數a的取值X圍是________； (2) 函數f(x)＝lg(x2＋t)的值域為R，如此實數t的取值X圍是________； (3) 假如函數f(x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，如此函數f(x)的單調減區(qū)間是________； (4) 假如函數f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，1]內為增函數，如此實數a的取值X圍是________． 答案：(1) 0＜a＜或a＞1　(2) a≤0　(3) (－1，＋∞)　(4) [1，2) 解析：(1) 分a＞1與a＜1兩種情形進展討論． (2) 值域為R等價于x2＋a可以取一切正實數． (3) 函數f(x)的圖象是由y＝loga|x|的圖象向左平移1個單位得到，∴ 0<a<1. (4) 令g(x)＝x2－2ax＋3，如此解得1≤a<2. 題型2　冪函數的概念與性質 例2　冪函數y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數． (1) 求m的值； (2) 求滿足不等式(a＋1)－<(3－2a)－的實數a的取值X圍． 解：(1) 因為函數y＝x3m－9在(0，＋∞)上是減函數，所以3m－9<0，所以m<3. 因為m∈N*，所以m＝1或2. 又函數圖象關于y軸對稱，所以3m－9是偶數，所以m＝1. (2) 不等式(a＋1)－<(3－2a)－即為(a＋1)－<(3－2a)－. 結合函數y＝x－的圖象和性質知： a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a. 解得a<－1或<a<， 即實數a的取值X圍是a<－1或<a<. 冪函數y＝f(x)經過點. (1) 試求函數解析式； (2) 判斷函數的奇偶性并寫出函數的單調區(qū)間． 解：(1)由題意，得f(2)＝2a＝a＝－3， 故函數解析式為f(x)＝x－3. (2)定義域為∪，關于原點對稱， 因為f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故該冪函數為奇函數． 其單調減區(qū)間為，. 題型3　指數函數、對數函數的綜合問題 例3　函數f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數． (1) 求k的值； (2) 設g(x)＝log4，假如函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，某某數a的取值X圍． 解：(1) 由函數f(x)是偶函數，可知f(x)＝f(－x)， ∴ log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx. log4＝－2kx，即x＝－2kx對一切x∈R恒成立， ∴ k＝－. (2) 函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一個實根，化簡得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一個實根．令t＝2x>0，如此方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一個正根． ①a＝1t＝－，不合題意；②a≠1時，Δ＝0a＝或－3.假如a＝t＝－2，不合題意，假如a＝－3t＝；③a≠1時，Δ>0，一個正根與一個負根，即<0a>1. 綜上，實數a的取值X圍是{－3}∪(1，＋∞)． 函數f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1) 求函數y＝f(x)的定義域； (2) 在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸； (3) 當a、b滿足關系時，f(x)在區(qū)間上恒取正值． 解：(1) 由ax－bx>0，得x>1，因為a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函數f(x)的定義域為(0，＋∞)． (2) 設x1>x2>0，因為a>1>b>0，所以ax1>ax2，bx1<bx2，如此－bx1>－bx2，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，于是lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，即f(x1)>f(x2)，因此函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數．假設函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直線AB平行于x軸，即x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數矛盾．故函數y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸． (3) 由(2)知，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數，所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以當a≥b＋1時，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上恒取正值． 1. (2013·南師大模擬)函數f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，假如對任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，如此c的取值X圍是________． 答案：c≥ 解析：由題意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥. 2. (2013·某某)函數f(x)＝ln＋1，如此f(lg2)＋f＝________． 答案：2 解析：f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 3. (2013·某某檢測)x＋(log0.5)－y<(－y)＋(log0.5)x，如此實數x、y的關系為________． 答案：x＋y<0 解析：由x＋(log0.5)－y<(－y)＋(log0.5)x，得x－(log0.5)x<(－y)－(log0.5)－y.設f(x)＝x－(log0.5)x，如此f(x)<f(－y)，由于0<log0.5<1，所以函數f(x)是R上的增函數，所以x<－y，即x＋y<0. 4. (2013·某某密卷)f(x)＝假如對任意的x∈R，af2(x)≥f(x)－1成立，如此實數a的最小值為________． 答案： 解析：易得x∈R，f(x)>0，由af2(x)≥f(x)－1，得a≥＝－＝－≤(當且僅當f(x)＝2時等號成立)，所以實數a的最小值為. 1. 假如函數f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，當x≠時，有f(x)＝f(1－x)，如此a＝________． 答案：2 解析：由f(x)＝f(1－x)，知函數f(x)的圖象關于x＝對稱， 而f(x)＝log2＋log2|a|，從而＝，所以a＝2. 2. 函數f(x)＝x，x∈[－1，8]，函數g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，假如存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，如此實數a的取值X圍是________． 答案：∪[1，＋∞) 解析：分別作出函數f(x)＝x，x∈[－1，8]與函數g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的圖象．當直線經過點(－1，1)時，a＝1；當直線經過點(8，4)時，a＝.結合圖象有a≤或a≥1. 3. 函數f(x)＝|lgx|，假如0<a<b，且f(a)＝f(b)，如此a＋2b的取值X圍是________． 答案：(3，＋∞) 解析：因為f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，如此f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上為減函數，得f(a)>f(1) ＝1＋2＝3，即a＋2b的取值X圍是(3，＋∞)． 4. 兩條直線l1：y＝m和l2：y＝，l1與函數y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點A、B，l2與函數y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點C、D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b.當m變化時，求的最小值． 解：由題意得xA＝m，xB＝2m，xC＝，xD＝2，所以a＝|xA－xC|＝，b＝|xB－xD|＝，即＝＝2·2m＝2＋m. 因為＋m＝(2m＋1)＋－≥2－＝，當且僅當(2m＋1)＝ ，即m＝時取等號．所以，的最小值為2＝8. 1. 指數函數的底數、對數函數的底數、真數應滿足的條件，是求解有關指數、對數問題時必須予以重視的，如果底數含有參數，一般需分類討論． 2. 與對數函數有關的復合函數的單調性的求解步驟 (1) 確定定義域； (2) 把復合函數分解為幾個初等函數； (3) 確定各個根本初等函數的單調區(qū)間； (4) 根據“同增異減〞判斷復合函數的單調性．