11、一個(gè)公共點(diǎn),某某數(shù)a的取值X圍.
解:(1) 由函數(shù)f(x)是偶函數(shù),可知f(x)=f(-x),
∴ log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx.
log4=-2kx,即x=-2kx對(duì)一切x∈R恒成立,
∴ k=-.
(2) 函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即方程log4(4x+1)-x=log4有且只有一個(gè)實(shí)根,化簡(jiǎn)得方程2x+=a·2x-a有且只有一個(gè)實(shí)根.令t=2x>0,如此方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一個(gè)正根.
①a=1t=-,不合題意;②a≠1時(shí),Δ=0a=或-3.假如a=t=-2,不合題意,假如a=-3t=;③a≠1時(shí),
12、Δ>0,一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根,即<0a>1.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值X圍是{-3}∪(1,+∞).
函數(shù)f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1) 求函數(shù)y=f(x)的定義域;
(2) 在函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn),使過(guò)此兩點(diǎn)的直線平行于x軸;
(3) 當(dāng)a、b滿足關(guān)系時(shí),f(x)在區(qū)間上恒取正值.
解:(1) 由ax-bx>0,得x>1,因?yàn)閍>1>b>0,所以>1,所以x>0,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
(2) 設(shè)x1>x2>0,因?yàn)閍>1>b>0,所以ax1>ax2,bx1-bx2,所以ax1-bx1>ax2
13、-bx2>0,于是lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),即f(x1)>f(x2),因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),使得直線AB平行于x軸,即x1≠x2,y1=y(tǒng)2,這與f(x)是增函數(shù)矛盾.故函數(shù)y=f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn),使過(guò)此兩點(diǎn)的直線平行于x軸.
(3) 由(2)知,f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>f(1),故只需f(1)≥0,即lg(a-b)≥0,即a-b≥1,所以當(dāng)a≥b+1時(shí),f(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒取正值.
14、
1. (2013·南師大模擬)函數(shù)f(x)=log2x-2log2(x+c),其中c>0,假如對(duì)任意x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,如此c的取值X圍是________.
答案:c≥
解析:由題意,在x∈(0,+∞)上恒成立,所以c≥.
2. (2013·某某)函數(shù)f(x)=ln+1,如此f(lg2)+f=________.
答案:2
解析:f(x)+f(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2=2,所以f(lg2)+f=f(lg2)+f(-lg2)=2.
3. (2013·某某檢測(cè))x+(log0.5)-y<(-y)+(log0.5)x,
15、如此實(shí)數(shù)x、y的關(guān)系為_(kāi)_______.
答案:x+y<0
解析:由x+(log0.5)-y<(-y)+(log0.5)x,得x-(log0.5)x<(-y)-(log0.5)-y.設(shè)f(x)=x-(log0.5)x,如此f(x)0,由af2(x)≥f(x)-1,得a≥=-=-≤(當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=2時(shí)等號(hào)成立),所以
16、實(shí)數(shù)a的最小值為.
1. 假如函數(shù)f(x)=log2|ax-1|(a>0),當(dāng)x≠時(shí),有f(x)=f(1-x),如此a=________.
答案:2
解析:由f(x)=f(1-x),知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng),
而f(x)=log2+log2|a|,從而=,所以a=2.
2. 函數(shù)f(x)=x,x∈[-1,8],函數(shù)g(x)=ax+2,x∈[-1,8],假如存在x∈[-1,8],使f(x)=g(x)成立,如此實(shí)數(shù)a的取值X圍是________.
答案:∪[1,+∞)
解析:分別作出函數(shù)f(x)=x,x∈[-1,8]與函數(shù)g(x)=ax+2,x∈[-1,8]的圖象.當(dāng)直線
17、經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1)時(shí),a=1;當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8,4)時(shí),a=.結(jié)合圖象有a≤或a≥1.
3. 函數(shù)f(x)=|lgx|,假如0f(1) =1+2=3,即a+2b的取值X圍是(3,+∞).
4. 兩條直線l1:y=m和l2:y=,l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左
18、至右相交于點(diǎn)A、B,l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C、D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a、b.當(dāng)m變化時(shí),求的最小值.
解:由題意得xA=m,xB=2m,xC=,xD=2,所以a=|xA-xC|=,b=|xB-xD|=,即==2·2m=2+m.
因?yàn)椋玬=(2m+1)+-≥2-=,當(dāng)且僅當(dāng)(2m+1)=
,即m=時(shí)取等號(hào).所以,的最小值為2=8.
1. 指數(shù)函數(shù)的底數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)、真數(shù)應(yīng)滿足的條件,是求解有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題時(shí)必須予以重視的,如果底數(shù)含有參數(shù),一般需分類(lèi)討論.
2. 與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟
(1) 確定定義域;
(2) 把復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)初等函數(shù);
(3) 確定各個(gè)根本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(4) 根據(jù)“同增異減〞判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.