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第十講 鴿巢問題 一、知識點： 鴿巢原理又稱抽屜原理，它是組合數(shù)學的一個基本原理，最先是由德國數(shù)學家狹利克雷明確地提出來的，因此,也稱為狹利克雷原理。把3個蘋果放進2個抽屜里,一定有一個抽屜里放了2個或2個以上的蘋果。類似的,如果有5只鴿子飛進四個鴿籠里,那么一定有一個鴿籠飛進了2只或2只以上的鴿子。 鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n，且n是非零自然數(shù)），那么一定有一個抽屜里至少放進了放進了2個物體。 如：將4支鉛筆放入3個筆筒，總有一個筆筒至少有2支鉛筆，“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，一定有1個筆筒里的鉛筆數(shù)大于或等于2支。 鴿巢原理（二）：如果把多于kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非0的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進了（k+1)個物體。 如：把10本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進4本書。 我們把這些例子中的“蘋果”、“鴿子”、“信”看作一種物體，把“盒子”、“鴿籠”、“信箱”看作鴿巣,可以得到鴿巣原理最簡單的表達形式 物體個數(shù)鴿巣個數(shù)=商……余數(shù)至少個數(shù)=商+1 摸同色球計算方法： ①要保證摸出同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色數(shù)多1。 物體數(shù)＝顏色數(shù)（相同顏色數(shù)－1）＋1 ②極端思想（最壞打算）： 用最不利的摸法先摸出兩個不同顏色的球，再無論摸出一個什么顏色的球，都能保證一定有兩個球是同色的。 二、例題講解： 1、教室里有5名學生正在做作業(yè)，今天只有數(shù)學、英語、語文、地理四科作業(yè) 求證：這5名學生中,至少有兩個人在做同一科作業(yè)。 2、班上有50名學生，將書分給大家,至少要拿多少本，才能保證至少有一個學生能得到兩本或兩本以上的書。 3、木箱里裝有紅色球３個、黃色球５個、藍色球７個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？ 4、把紅、白、藍三種顏色的球各10個放到一個袋子里，至少取多少個球，可以保證取到3個顏色相同的球。 5、證明：某班有52名學生，至少有5個人在同一個月出生 6、一幅撲克牌除大小王有52張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點數(shù)？最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的花色？ 7、幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理。 8、學校圖書館里科普讀物、故事書、連環(huán)畫三種圖書。每個學生從中任意借閱兩本，那么至少要幾個學生借閱才能保證其中一定有2人借閱的讀書相同？ 9、某班有學生49名，在這一次的英語期中考試中，除3人以外，分數(shù)都在85分以上，是否可以推斷，至少有幾人的分數(shù)會一樣？ 三、課堂練習 1、6只雞放進5個雞籠，至少有幾只雞要放進同一個雞籠里。 2、400人中至少有兩個人的生日相同，請證明。 3、紅、黃、藍、白四色小球各10個，混合放在一個暗盒中，一次至少摸出多少個，才能保證有6個小球是同色的。 4、有一個晚上你的房間的電燈忽然間壞了，伸手不見五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的襪子。你有三雙分別為紅、白、藍顏色的襪子，可是你在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的。你想拿最少數(shù)目的襪子出去，在外面借街燈配成同顏色的一雙。這最少數(shù)目應該是多少？ 5、某班有42人開展讀書活動，他們從學校圖書館借了212本圖書，那么其中至少有一人借多少本書？ 6、學校五(一)班40名學生中，年齡最大的是13歲，最小的是11歲，那么其中必有幾名學生是同年同月出生的。 四、家庭作業(yè) 1、今天參加數(shù)學競賽的210名同學中至少有幾名同學是同一個月出生的？ 2、有紅、黃、藍、白四色小球各10個,混合放在一個暗盒里,一次至少摸出個,才能保證有2個小球是同色的. 3、五年級某班有學員13人，請說明在這13名同學中一定有兩個同學是同一星座。 4、盒子里放有三種不同顏色的筷子各若干根，最少摸幾根，才能保證至少有3根筷子同色的。 5、在一間能容納1500個座位的戲院里，證明如果戲院坐滿人時，一定最少有五個觀眾是同月同日生。 6、在38個小朋友中，至少有幾個小朋友同一個月出生的？