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專題綜合強化 第二部分 專題三圓的相關證明與計算 ?？碱}型 精講 1 證明圓的切線時 可以分以下兩種情況 1 若直線過圓上某一點 證明直線是圓的切線時 只需連接過這點的半徑 證明這條半徑與直線垂直即可 可簡述為 有切點 連半徑 證垂直 證垂直 時通常利用圓中的關系得到90 的角 類型1與圓有關的角平分線問題 2 直線與圓沒有已知的公共點時 通常過圓心作直線的垂線段 證明垂線段的長等于圓的半徑 可簡述為 無切點 作垂直 證半徑 證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等 2 圓中求角度或證明角相等的幾種思路 1 利用切線的性質 構造直角三角形 由兩銳角和等于90 進行角度轉化求解 2 利用圓周角定理及其推論 通常圓中相等的角代換可得角的大小 3 利用圓周角定理的推論 勾股定理等得到一組平行線 通常圓中相等的角代換可得角的大小 3 求線段長度的幾種思路 1 當解決有關切線的問題時 一定會存在直角三角形 故運用勾股定理是求長度最常用的方法 另外注意 直徑所對的圓周角是直角也是構造直角三角形的常用方法 2 利用直角三角形的邊角關系求解 在圓的綜合題中 當含有直角三角形或已知條件為三角函數(shù)值時 常利用直角三角形的邊角關系求出相關線段長 有時需運用同弧所對圓周角相等進行角之間的轉化求解 3 利用相似三角形求解 圓的綜合題中往往會涉及切線的性質與圓周角定理推論的結合 因此利用等角之間的等量代換找出與要求線段相關的兩個三角形相似是解題關鍵 另外對圓周角定理的靈活運用也非常重要 4 運用等面積公式 也可求解點到直線距離類題 例1 2018 泰州 如圖 AB為 O的直徑 C為 O上一點 ABC的平分線交 O于點D DE BC于點E 1 試判斷DE與 O的位置關系 并說明理由 要證DE與 O相切 連接OD 只要OD DE 由切線的判定即可證明 解答 DE與 O相切 理由 連接DO DO BO ODB OBD ABC的平分線交 O于點D EBD DBO EBD BDO DO BE DE BC DEB EDO 90 OD DE DE與 O相切 思路點撥 陰影部分的面積可以轉化為求S扇形AOD S DFO 由角平分線的性質和直角三角形的邊角關系即可求出S DFO 思路點撥 類型2與圓有關的雙切線問題 例2如圖 已知AB為 O的直徑 AD BD是 O的弦 BC是 O的切線 切點為B OC AD BA CD的延長線相交于點E 1 求證 DC是 O的切線 首先連接OD 易證得 COD COB SAS 然后由全等三角形的對應角相等 得 CDO 90 即可證得直線CD是 O的切線 解答 連接DO AD OC DAO COB ADO COD 又 OA OD DAO ADO COD COB 思路點撥 2 若AE 1 ED 3 求 O的半徑 設 O的半徑為R 則OE R 1 在Rt ODE中 利用勾股定理列出方程 求解即可 解答 設 O的半徑為R 則OD R OE R 1 CD是 O的切線 EDO 90 ED2 OD2 OE2 32 R2 R 1 2 解得R 4 O的半徑為4 思路點撥 類型3與圓有關的弦切角問題 例3如圖 在 ABC中 以BC為直徑的 O交AC于點E 過點E作EF AB于點F 延長EF交CB的延長線于點G 且 ABG 2 C 1 求證 EF是 O的切線 連接EO 由 EOG 2 C ABG 2 C知 EOG ABG 從而得AB EO 根據(jù)EF AB得EF OE 即可得證 解答 連接EO 則OE OC EOG 2 C ABG 2 C EOG ABG AB EO EF AB EF OE 又 OE是 O的半徑 EF是 O的切線 思路點撥 思路點撥