《11.3 多邊形及其內(nèi)角和》 同步訓練題 基礎題訓練（一）：限時30分鐘 1．如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對角線，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求證：AD⊥AC； （2）探求∠BAC與∠ACD之間的數(shù)量關系，并說明理由． 2．將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在點A'處 【感知】如圖①，點A落在四邊形BCDE的邊BE上，則∠A與∠1之間的數(shù)量關系是　 ?。? 【探究】如圖②，若點A落在四邊形BCDE的內(nèi)部，則∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由． 【拓展】如圖③，點A落在四邊形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，則∠A的大小為　 ?。? 3．【知識回顧】： 如圖①，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，我們知道∠A+∠B+∠C＝180°． 如圖②，在△ABC中，點D為BC延長線上一點，則∠ACD為△ABC的一個外角．請寫出∠ACD與∠A、∠B的關系，直接填空：∠ACD＝　 ?。? 【初步運用】：如圖③，點D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點． （1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，則∠ACB＝　 　°．（直接寫出答案） （2）若∠A＝70°，則∠DBC+∠ECB＝　 　°．（直接寫出答案） 【拓展延伸】：如圖④，點D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點． （1）若∠A＝70°，∠P＝150°，則∠DBP+∠ECP＝　 　°．（請說明理由） （2）分別作∠DBP和∠ECP的平分線，交于點O，如圖⑤，若∠O＝40°，求出∠A和∠P之間的數(shù)量關系，并說明理由． （3）分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN，如圖⑥，若∠A＝∠P，求證：BM∥CN． 4．如圖，已知四邊形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．試判斷∠AEF與∠CFE是否相等？并證明你的結(jié)論． 5．如圖，在四邊形ABCD中，∠C+∠D＝210° （1）∠DAB+∠CBA＝　 　度； （2）若∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點E，求∠E的度數(shù)． 基礎題訓練（二）：限時30分鐘 6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求證：∠3＝∠4． 7．“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題． （1）請你根據(jù)已經(jīng)學過的知識求出下面星形圖（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)； （2）若對圖（1）中星形截去一個角，如圖（2），請你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)； （3）若再對圖（2）中的角進一步截去，你能由題（2）中所得的方法或規(guī)律，猜想圖3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度數(shù)嗎？只要寫出結(jié)論，不需要寫出解題過程） 8．（1）如圖1，在△ADC中，∠ADC的平分線和∠ACD的外角平分線交于點P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度數(shù)． （2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC的平分線和∠BCD的外角平分線交于點P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度數(shù)． （3）如圖3，若將（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改為“∠A＝α，∠B＝β”，其余條件不變，直接寫出∠P與α+β之間的數(shù)量關系． 9．三角形的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，叫做三角形的外角． 如圖1，點D為BC延長線上一點，則∠ACD為△ABC的一個外角． 求證：∠ACD＝∠A+∠B 證明：過點C作CE∥AB（過直線外一點　 ?。? ∴∠B＝　 　 ∠A＝　 　 ∵∠ACD＝∠1+∠2 ∴∠ACD＝∠　 　+∠B（等量代換） 應用：如圖2是一個五角星，請利用上述結(jié)論求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值為　 　 10．如圖1，在∠A內(nèi)部有一點P，連接BP、CP，請回答下列問題： ①求證：∠P＝∠1+∠A+∠2； ②如圖2，利用上面的結(jié)論，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　； ③如圖3，如果在∠BAC間有兩個向上突起的角，請你根據(jù)前面的結(jié)論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之間有什么等量關系，直接寫出結(jié)論即可． 基礎題訓練（三）：限時30分鐘 11．觀察每個正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題： （1）將下面的表格補充完整： 正多邊形邊數(shù) 3 4 5 6 … 　 　 ∠a的度數(shù) 　 　 　 　 　 　 　 　 … 10° （2）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正n邊形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由． 12．閱讀材料： 如圖1，點A是直線MN上一點，MN上方的四邊形ABCD中，∠ABC＝140°，延長BC，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，探究∠DCE與∠MAB的數(shù)量關系，并證明． 小白的想法是：“作∠ECF＝∠ECD（如圖2），通過推理可以得到CF∥MN，從而得出結(jié)論” 請按照小白的想法完成解答： 拓展延伸 保留原題條件不變，CG平分∠ECD，反向延長CG，交∠MAB的平分線于點H（如圖3），設∠MAB＝α，請直接寫出∠H的度數(shù)（用含α的式子表示）． 13．（1）思考探究：如圖①，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于P點，請?zhí)骄俊螾與∠A的關系是　 　． （2）類比探究：如圖②，四邊形ABCD中，設∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC與外角∠DCE的平分線相交于點P．求∠P的度數(shù)．（用α，β的代數(shù)式表示） （3）拓展遷移：如圖③，將（2）中α+β＞180°改為α+β＜180°，其它條件不變，請在圖③中畫出∠P，并直接寫出∠P＝　 ?。ㄓ忙?，β的代數(shù)式表示） 14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延長BA至點E，連接CE，且CE交AD于點F，∠EAD和∠ECD的角平分線相交于點P． （1）求證：①AB∥CD；②∠EAD+∠ECD＝2∠APC； （2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度數(shù)； （3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，請你探究m和n之間的數(shù)量關系． 15．如圖1，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，點E在AB邊上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA． （1）求證：AD∥BC； （2）如圖2，已知DF⊥BC交BC邊于點G，交AB邊的延長線于點F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＜45°，試比較∠F與∠EDF的大小，并說明理由． 參考答案 1．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， 在△ABD中， ∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°， ∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB， ∴∠ACB+∠BAD＝180°， 即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°， ∴∠CAD＝90°， ∴AD⊥AC． （2）∠BAC＝2∠ACD； ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD）， ∵∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣∠ACD， ∵∠ADC＝∠BCD， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACD， ∴∠BAC＝90°﹣（90°﹣∠ACD﹣∠ACD）＝2∠ACD． 2．解：（1）如圖①，∠1＝2∠A． 理由如下：由折疊知識可得：∠EA′D＝∠A； ∵∠1＝∠A+∠EA′D， ∴∠1＝2∠A． （2）如圖②，2∠A＝∠1+∠2． 理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°， ∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°， ∴∠A′+∠A＝∠1+∠2， 由折疊知識可得：∠A＝∠A′， ∴2∠A＝∠1+∠2． （3）如圖③， ∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2， ∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2， ∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°， 解得∠A＝28°． 故答案為：∠1＝2∠A；28°． 3．解：【知識回顧】 ∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACD＝∠A+∠B； 故答案為：∠A+∠B； 【初步運用】 （1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝70°，∠DBC＝150°， ∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣70°＝80°； 故答案為：80； （2）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝110°， ∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣110°＝250°， 故答案為：250； 【拓展延伸】 （1）如圖④，連接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC， ∵∠BAC＝70°，∠BPC＝150°， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝70°+150°＝220°， 故答案為：220； （2）∠A和∠P之間的數(shù)量關系是：∠P＝∠A+80°， 理由是：如圖⑤，設∠DBO＝x，∠OCE＝y(tǒng)，則∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y(tǒng)， 由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P， 2∠A+2∠O＝∠A+∠P， ∵∠O＝40°， ∴∠P＝∠A+80°； （3）證明：如圖，延長BP交CN于點Q， ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP， ∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP， ∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC， ∠A＝∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC， ∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP， ∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP， ∴∠MBP＝∠PQC， ∴BM∥CN． 4．解：∠AEF＝∠CFE． 證明：∵∠D＝∠B＝90°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， 又∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB， ∴∠DAE＝∠DAB，∠DCF＝∠DCB， ∴∠DAE+∠DCF＝（∠DAB+∠DCB）＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠DAE+∠DEA＝90°， ∴∠DEA＝∠DCF， ∴AE∥CF， ∴∠AEF＝∠CFE． 5．解：（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°． 故答案為：150； （2）∵∠DAB與∠ABC的平分線交于四邊形內(nèi)一點E， ∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠ABC， ∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA） ＝180°﹣（∠DAB+∠CBA） ＝180°﹣（360°﹣∠C﹣∠D） ＝（∠C+∠D）， ∵∠C+∠D＝210°， ∴∠E＝（∠C+∠D）＝105°． 6．證明：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE∥DF， ∴∠2＝∠5，∠AEB＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠5， ∴∠AEB＝∠4， ∴∠3＝∠4． 7．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°； （2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°； （3）根據(jù)圖中可得出規(guī)律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一個角則會增加180度， 所以當截去5個角時增加了180×5度， 則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°． 8．解：（1）如圖1，在射線DC上取一點E， ∵∠ADC的平分線和∠ACD的平分線交于點P， ∴， ， ∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°； （2）如圖2，在射線DC上取一點E， ∵∠ADC的平分線和∠BCD的外角平分線交于點P， ∴， ， ∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝30°； （3）． 9．證明：過點C作CE∥AB（過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行） ∴∠B＝∠2（兩直線平行，同位角相等）， ∠A＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）， ∵∠ACD＝∠1+∠2， ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換） 應用：對于△BDN，∠MNA＝∠B+∠D， 對于△CEM，∠NMA＝∠C+∠E， 對于△ANM，∠A+∠MNA+∠NMA＝180°， ∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180． 故答案為：有且只有一條直線與已知直線平行；∠2（兩直線平行，同位角相等）；∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；A；180° 10．解：①連接AP并延長，則∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC， 故∠BPC＝∠1+∠A+∠2； ②利用①中的結(jié)論，可得∠1＝∠A+∠C+∠D， ∵∠2＝∠B+∠E， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． ③連接AP、AD、AG并延長， 同①由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC． 故答案為：180°． 11．解：（1）填表如下： 正多邊形的邊數(shù) 3 4 5 6 … 18 ∠α的度數(shù) 60° 45° 36° 30° … 10° 故答案為：60°，45°，36°，30°，18； （2）不存在，理由如下： 假設存在正 n 邊形使得∠α＝21°，得∠α＝（）°＝21°， 解得：n＝8，又 n 是正整數(shù)， 所以不存在正 n 邊形使得∠α＝21°． 12．解：閱讀材料：延長CB交MN于點T， ∵∠ECF＝∠ECD，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC， ∴2∠ECD＝∠MAD+∠ADC＝360°﹣∠CTA﹣∠DCT＝360°﹣（180°﹣∠MTC）﹣（180°﹣∠ECD）＝∠MTC+∠ECD， ∴∠ECD＝∠MTC， ∴∠ECF＝∠MTC， ∴CF∥MN， ∵∠ABC＝140°， ∴∠ABT＝40°， ∴∠MTC＝∠MAB+40°， 即∠DCE＝∠MAB+40°； 拓展延伸：∠H＝360°﹣∠CDA﹣∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠ECD）﹣∠MAB﹣（180°﹣∠ECD）]＝180°﹣（∠ECD﹣∠MAB）， ∵∠DCE＝∠MAB+40°， ∴∠H＝180°﹣（∠MAB+60°）， ∵∠MAB＝α， ∴∠H＝120°﹣α． 13．解：（1）如圖1中，結(jié)論：2∠P＝∠A． 理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵P點是∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點， ∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC， ∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC， 2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC， 2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC， ∴2∠P＝∠A； （2）如圖2中， 解法一：由四邊形內(nèi)角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC， ∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°， 由三角形的外角性質(zhì)得∠PCE＝∠P+∠PBC， ∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCE的平分線， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE， ∴∠P+∠PBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°， ∴∠P＝（∠A+∠D）﹣90°， ∵∠A＝α，∠D＝β， ∴∠P＝（α+β）﹣90°； 解法二：延長BA交CD的延長線于F． ∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°， 由（1）可知：∠P＝∠F， ∴∠P＝（α+β）﹣90°； ②如圖3，延長AB交DC的延長線于F． ∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F， ∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β． 故答案為：2∠P＝∠A；90°﹣α﹣β． 14．解：（1）證明：①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B， ∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D， ∴AB∥CD； ②過點P作PQ∥AB，則∠EAP＝∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠DCP＝∠CPQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠DCP＝∠CPQ， ∵∠EAP＝∠EAD，∠DCP＝， ∴； （2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD， ∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°， 由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC， ∴∠APC＝； （3）過點F作FH∥AB，則∠EAD＝∠AFH， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠ECD＝∠CFH， ∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD， 由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC， ∴∠EFD＝2∠APC， ∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°， ∴． 15．解：（1）證明：∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， 又∵∠ADE＝∠DEA， ∴∠CDE＝∠DEA， ∴CD∥AB， ∴∠B+∠C＝180°， 又∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠A＝180°， ∴AD∥BC； （2）∵DF⊥BC， ∴∠BGF＝90°， 又∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠BGF＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDF＝∠F． 設∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y(tǒng)°， 則∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°， 由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得 2x+y+2x＝90， ∴y＝90﹣4x， ∴∠F﹣∠EDF＝y(tǒng)°﹣2x°＝90°﹣4x°﹣2x°＝90°﹣6x， ∵∠BDC＜45°， ∴x+y＜45°， x+90﹣4x＜45， 解得x＞15， ∴6x＞90． ∴∠F﹣∠EDF＝90°﹣6x°＜0， ∴∠F＜∠EDF． 19 / 19