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1、第四章4.3角 年 級 初一 學(xué) 科 數(shù)學(xué) 版 本 人教版 課程標(biāo)題 4.3角 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、理解角的概念、表示方法、測量方法和畫法． 2、認(rèn)識角的度量單位度、分、秒，會進(jìn)行簡單的換算和角度計算． 3、學(xué)會比較兩個角的大小，會分析圖中角的和差關(guān)系． 4、認(rèn)識角的平分線及角的等分線，會畫角的平分線． 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：角度的換算，分析角的和差關(guān)系，認(rèn)識角平分線． 難點(diǎn)：認(rèn)識復(fù)雜圖形中角的和差關(guān)系，比較兩個角的大?。? 知識梳理 1、角 （1）定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂

2、點(diǎn)，這兩條射線是角的兩邊．角也可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形． （2）表示方法：角的四種表示方法如下表： 表示方法 圖示 記法 適用范圍 ①用三個大寫字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情況都適用，表示頂點(diǎn)的字母寫在中間 ②用一個大寫字母表示 ∠O 以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個時 ③用一個阿拉伯?dāng)?shù)字表示 ∠1 任何情況都適用 ④用一個希臘字母表示 ∠α 任何情況都適用 （3）平角和周角：如果角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)半周而得到的（這時的始邊與終邊互為反向延長線），這樣的角叫做平角；如果角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)一周而得到的（這時終邊與始

3、邊重合），這樣的角叫做周角． 2、角的度量單位及角度制 （1）角的度量單位：角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”． （2）角度制的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． （3）角度制是60進(jìn)位的，它和時間的小時、分鐘、秒間的度量相類似．時鐘被分成12格，相當(dāng)于把圓周12等分，每一等份等于30°，時針每小時走一格為30°，每分鐘走0.5°；分針每小時走一圈是360°，每分鐘走6°． 3、角的比較與運(yùn)算 （1）角的大小的比較方法：①疊合法；②度量法． （2

4、）角的和差：把兩個角的一邊重合，另兩邊在重合邊的兩側(cè)，則另兩邊的夾角即為這兩角之和；若另兩邊在重合邊的同側(cè)，則另兩邊的夾角即為兩角之差． 4、角的平分線 （1）定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線． （2）符號語言敘述：如左圖所示，因為∠AOC＝∠BOC，所以O(shè)C是∠AOB的平分線．反之，如果OC是∠AOB的平分線，那么∠AOC＝∠BOC，并且有∠AOC＝∠AOB或∠BOC＝∠AOB，以及∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC． （3）類似地，還有角的三等分線（如右圖）． 【典型例題】 知識點(diǎn)一：角的表示 例1. 如圖所示，角的表示法正確

5、的個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 思路分析： 1）題意分析：區(qū)別平角與直線、周角與射線，要抓住角的兩個元素：頂點(diǎn)和兩邊． 2）解題思路：角的表示方法中，要注意用三個大寫字母和一個大寫字母表示的適用范圍．②、⑤、⑥是正確的． 解答過程：C 解題后的思考：①表示一個角時，角的符號“∠”不能省略．②理解角的兩個要素和角的表示方法是解本題的關(guān)鍵． 例2. 如圖所示，在直線AB上有一點(diǎn)O，作射線OC、OD、OE、OF，則圖中共有多少個小于平角的角？ 思路分析： 1）題意分析：本題要求數(shù)出小于平角的角的個數(shù)，∠AOB是平角，不能計算在內(nèi)． 2）解題

6、思路：數(shù)小于平角的角的個數(shù)的方法應(yīng)是：以O(shè)A為一邊的有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF；以O(shè)C為一邊的有∠COD、∠COE、∠COF、∠COB；以O(shè)D為一邊的有∠DOE、∠DOF、∠DOB；以O(shè)E為一邊的有∠EOF、∠EOB；以O(shè)F為一邊的有∠FOB． 解答過程：圖中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF；∠COD、∠COE、∠COF、∠COB；∠DOE、∠DOF、∠DOB；∠EOF、∠EOB；∠FOB． 共有4＋4＋3＋2＋1＝14個． 解題后的思考：尋找計數(shù)的規(guī)律，不可遺漏、也不可重復(fù)． 例3. 觀察下圖，回答問題． （1）在∠AOB內(nèi)部任意畫1條射線OC

7、，則圖①中有__________個不同的角； （2）在∠AOB內(nèi)部任意畫2條射線OC、OD，則圖②中有__________個不同的角； （3）在∠AOB內(nèi)部任意畫3條射線OC、OD、OE，則圖③中有__________個不同的角； （4）在∠AOB內(nèi)部任意畫10條射線OC、OD、…，則圖中有__________個不同的角； （5）在∠AOB內(nèi)部任意畫n條射線OC、OD、OE、…，則圖中有__________個不同的角． 思路分析： 1）題意分析：正確數(shù)出角的個數(shù)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)角的個數(shù)，得到一列有規(guī)律的數(shù)，尋找規(guī)律，推廣到一般． 2）解題思路：數(shù)角的個數(shù)時，注意不能重，也不

8、能漏．如圖①中，按逆時針方向，以O(shè)A為邊的角有∠AOC，∠AOB；以O(shè)C為邊的角有∠COB．共3個． 解答過程：（1）2＋1＝3；（2）3＋2＋1＝6；（3）4＋3＋2＋1＝10；（4）11＋10＋9＋…＋2＋1＝66；（5）（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋2＋1＝（n＋1）（n＋2）． 解題后的思考：這類題與線段計數(shù)的方法類似，運(yùn)用分類思想來研究問題． 小結(jié)：對角的表示方法的考查主要有兩個方面：一是角的四種表示方法分別適合在什么情況下使用；二是在有規(guī)律的圖形中數(shù)角的個數(shù)． 知識點(diǎn)二：角的比較和運(yùn)算 例4. 鐘表上12時15分鐘時，時針與分針的夾角是（ ） A．90°

9、B．82.5° C．67.5° D．60° 思路分析： 1）題意分析：如圖所示，12時15分時分針正對著數(shù)字“3”，而時針走過了數(shù)字“12”一點(diǎn)點(diǎn)． 2）解題思路：鐘表上，每一個小格的度數(shù)為＝6°；每一個大格的度數(shù)為＝30°． 解答過程：12時15分鐘時，時針偏轉(zhuǎn)的角度為×30°＝7.5°，分針偏轉(zhuǎn)的角度為3×30°＝90°，所以兩針之間的夾角為90°－7.5°＝82.5°．所以應(yīng)選B． 解題后的思考：由本題可知分針每分鐘走6°，時針每分鐘走0.5°． 例5. 如圖所示，將書頁的一角折過去，使角的頂點(diǎn)落在A’處，BC為折痕，BD為∠A’BE的平分線，則∠CBD＝______

10、____． 思路分析： 1）題意分析：理解折疊的結(jié)果是∠ABC＝∠CBA’＝∠ABA’，即BC為∠ABA’的平分線． 2）解題思路：由BD平分∠A’BE知∠A’BD＝∠A’BE，所以∠CBD＝（∠ABA’＋∠A’BE）＝∠ABE＝90°． 解答過程：90° 解題后的思考：由本題知，用折疊的方法可將一個角分成兩個相等的角． 例6. 從射線OA的端點(diǎn)O引兩條射線OB、OC，如果∠AOB＝75°12′，∠BOC＝26°32′．求∠AOC的度數(shù)． 思路分析： 1）題意分析：先根據(jù)題意畫圖，再求∠AOC的度數(shù)． 2）解題思路：∠AOB是確定的，射線OC與∠AOB有兩種可能的位置

11、關(guān)系． 解答過程：本題有兩種情況，如圖所示： ①OC在∠AOB的外部， ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝75°12′＋26°32′＝101°44′； ②OC在∠AOB的內(nèi)部， ∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝75°12′－26°32′＝48°40′． 所以∠AOC的度數(shù)為101°44′或48°40′． 解題后的思考：考慮問題要全面． 例7. 如圖所示，∠AOB＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)． 思路分析： 1）題意分析：本題應(yīng)根據(jù)角的和差關(guān)系求∠MON的度數(shù)． 2）解題思路：從圖中可以得到∠MON＝∠MOC－∠NOC，而∠MOC＝∠A

12、OC，∠NOC＝∠BOC，由此可求∠MON的度數(shù)． 解答過程：因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC， 因為∠MON＝∠MOC－∠NOC，∠AOB＝90°， 所以∠MON＝∠AOC－∠BOC＝（∠AOC－∠BOC）＝∠AOB＝45°． 解題后的思考：本題中角的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，解題時所分析的數(shù)據(jù)要找和已知與所求有關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系． 例8. 如圖所示，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度數(shù)． 思路分析： 1）題意分析：所求的三個角和已知的角∠AOD正好組成一個周角．

13、 2）解題思路：本題中涉及到的四個角的和是周角360°，合理設(shè)出未知數(shù)，列方程求解． 解答過程：設(shè)∠AOB＝3x，則∠BOC＝2x，∠COD＝4x， 則3x＋2x＋4x＋108°＝360°， 解得x＝28°． 所以3x＝84°，2x＝56°，4x＝112° 即∠AOB＝84°，∠BOC＝56°，∠COD＝112°． 解題后的思考：用方程解決角的計算問題時，關(guān)鍵是合理設(shè)出未知數(shù)，找出相等關(guān)系，這類問題的相等關(guān)系一般是幾個角的和或差等于已知角（或平角或周角等）． 小結(jié)：在角的計算問題中，一般都是利用角的和差關(guān)系求角的度數(shù)，這里應(yīng)重點(diǎn)掌握角的平分線的性質(zhì)和運(yùn)用． 【預(yù)習(xí)】

14、 余角與補(bǔ)角（4.3.3） 一、預(yù)習(xí)新知 1、余角和補(bǔ)角 2、方位角 二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥 探究與反思 探究任務(wù)一：余角和補(bǔ)角 【反思】（1）怎樣理解互為余角和互為補(bǔ)角？ （2）余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是什么？ 探究任務(wù)二：方位角 【反思】（1）什么是方位角？ （2）怎樣用方位角確定方向？ 【練習(xí)】（答題時間：60分鐘） 一、選擇題． 1、如圖所示，圖中小于平角的角的個數(shù)是（ ） A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個 2、下列各角中，不可能是鈍角的角是（ ） A. 周角 B. 平角 C. 鈍角 D. 直角

15、3、已知射線OA、OB，能判定OC是∠AOB的平分線的是（ ） A. ∠AOC＝∠BOC B. ∠AOB＝2∠AOC C. ∠BOC＝∠AOB D. A、B、C都能 4、如果∠1－∠2＝∠3，且∠4＋∠2＝∠1，那么∠3和∠4間的關(guān)系是（ ） A. ∠3＞∠4 B. ∠3＝∠4 C. ∠3＜∠4 D. 不確定 5、用一副三角板不能畫出（ ） A. 75°角 B. 135°角 C. 160°角 D. 105°角 6、如圖所示，若∠AOB＝∠COD，那么（ ） A. ∠1＞∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠1＜∠2 D. 不確定 *7、在鐘表上，1點(diǎn)30分時，時

16、針與分針?biāo)傻慕鞘牵? ） A. 150° B. 165° C. 135° D. 120° *8、如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（ ） A. ∠COD＝∠AOC B. ∠AOD＝∠AOB C. ∠BOD＝∠AOB D. ∠BOC＝∠AOB 二、填空題． 9、如圖所示，把圖中用數(shù)字表示的角，改用大寫字母表示分別是__________． 10、（）°＝__________′＝__________″；6000″＝__________′＝__________°． 11、如果∠1＝∠2，∠1＋∠3＝90°，則∠2＋∠3＝__

17、________． 12、如圖所示，用“＝”或“＞”或“＜”填空： （1）∠AOC_______∠AOB＋∠BOC；（2）∠AOC_______∠AOB；（3）∠BOD－∠BOC______∠DOC；（4）∠AOD______∠AOC＋∠BOD． *13、時鐘從3點(diǎn)10分走到3點(diǎn)35分，它的分針轉(zhuǎn)過__________度． *14、如下圖，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，則圖中相等的角有__________；∠AOD＝______∠AOC＝______∠AOB． 三、解答題． 15、計算：（1）49°38′＋66°22′；（2）180°－79°19′；（3）22°1

18、6′×5． 16、把一個周角7等分，每一等份是多少度的角？（精確到分） 17、如下圖，分別確定四個城市相應(yīng)鐘表上時針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)． 18、如下圖，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°．求（1）∠AOB；（2）∠COD；（3）∠BOD． **19、如下圖，已知∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠COD的3倍，求∠AOB的度數(shù)． **20、（1）如圖所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)． （2）如果（1）中∠AOB＝∠α，其他條件不變，求∠MON的

19、度數(shù)． （3）你從（1）、（2）的結(jié)果中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 一、選擇題： 1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、B 7、C 解析：1點(diǎn)30分時，分針正對著數(shù)字“6”，時針在數(shù)字“1”和“2”正中間，此時時針與分針?biāo)傻慕鞘?35°． 8、A 解析：根據(jù)題意，∠COD＝∠BOC，又因為∠BOC＝∠AOC，所以∠COD＝∠AOC．所以選A．選項B、C、D不一定成立． 二、填空題： 9、∠ADE，∠BDE，∠CED，∠B，∠AED 10、7.5′ 450″ 100′ （） 11、90° 12、（1）＝（2）＞（3）＝（4）＜ 13、150

20、 解析：分針從3點(diǎn)10分走到3點(diǎn)35分，共走過了25分鐘，轉(zhuǎn)過的角度是360°×＝150°． 14、∠AOC＝∠BOC、∠AOD＝∠COD， 三、解答題： 15、解：（1）原式＝115°60′＝116°；（2）原式＝100°41′；（3）原式＝110°80′＝111°20′． 16、解：根據(jù)題意，360°÷7≈51°26′． 17、解：巴黎時間是1點(diǎn)整，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵?60°×＝30°；倫敦時間是12點(diǎn)整，時針與分針?biāo)傻慕鞘?°；北京時間是8點(diǎn)整，時針與分針?biāo)傻慕鞘?0°×4＝120°；東京時間是9點(diǎn)整，時針與分針?biāo)傻慕鞘?0°×3＝90°． 18、解

21、：（1）∠AOB＝∠AOC＝40°；（2）∠COD＝∠DOE＝30°；（3）∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝∠COD＋∠AOB＝70° 19、解：∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOC－∠COD．因為∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，所以∠AOB＝90°＋60°－∠COD．又因為∠AOB是∠COD的3倍，所以∠COD＝∠AOB．所以∠AOB＝90°＋60°－∠AOB．解得∠AOB＝112.5°． 20、解：（1）因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝（∠AOC－∠BOC）＝∠AOB．因為∠AOB＝90°，所以∠MON＝45°． （2）當(dāng)∠AOB＝∠α，其他條件不變時，總有∠MON＝∠AOB＝． （3）由（1）、（2）的結(jié)果和（1）的解答過程，可以得出結(jié)論：∠MON的大小與∠BOC的大小無關(guān)，它總等于∠AOB的一半． 11 / 11