《勾股定理》單元檢測題 時間：100分鐘 滿分：100分 一．選擇題（每題4分，共40分） 1．觀察下列各組數(shù)：①7，24，25；②9，16，25；③8，15，17；④12，15，20．其中能作為直角三角形邊長的組數(shù)為（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 2．若正整數(shù)a，b，c是直角三角形三邊，則下列各組數(shù)一定還是直角三角形三邊的是（　?。? A．a(chǎn)+1，b+1，c+1 B．a(chǎn)2，b2，c2 C．2a，2b，2c D．a(chǎn)﹣1，b﹣1，c﹣1 3．如果三條線段a、b、c滿足a2＝（c+b）（c﹣b），那么這三條線段組成的三角形是（　?。? A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 4．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC邊上的中線AD＝4，則△ABC的面積為（　　） A．30 B．24 C．20 D．48 5．如圖，由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形面積是9，小正方形面積是1，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則ab的值是（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 6．如圖的陰影部分是兩個正方形，圖中還有兩個直角三角形和一個大正方形，則陰影部分的面積是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 7．將一個直角三角形兩直角邊同時擴大到原來的兩倍，則斜邊擴大到原來的（　?。? A．4倍 B．2倍 C．不變 D．無法確定 8．如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.9米，則梯子頂端A下落了（　　） A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 9．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以AC為直徑的圓恰好過點B，AB＝8，BC＝6，則陰影部分的面積是（　　） A．100π﹣24 B．100π﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣48 10．有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（　?。? A．8m B．10m C．12m D．14m 二．填空題（每題4分，共20分） 11．如圖，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，則∠ABD＝　 ?。? 12．已知△ABC的三邊的長分別是AB＝5、BC＝4、AC＝3，那么∠C＝　 ?。? 13．如圖，一根長20cm的吸管置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，吸管露在杯子外面的長度最短是　 　cm． 14．如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短的直角邊長為a，較長的直角邊長為b，那么a+b的值為　 ?。? 15．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝　 ?。? 三．解答題（每題8分，共40分） 16．如圖，CD是△ABC的中線，CE是△ABC的高，若AC＝9，BC＝12，AB＝15． （1）求CD的長． （2）求DE的長． 17．“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街道上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方30米C處，過了2秒后，小汽車行駛到B處，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50米， （1）求BC的長； （2）這輛小汽車超速了嗎？ 18．如圖所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝． （1）求CD的長； （2）求AD的長； （3）求證：△ABC是直角三角形． 19．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，設(shè)△ABC的面積為S，周長為l． （1）填表： 三邊a、b、c a+b﹣c 3、4、5 2 　 　 5、12、13 4 　 　 8、15、17 6 　 　 （2）如果a+b﹣c＝m，觀察上表猜想：＝　 ?。ㄓ煤衜的代數(shù)式表示）． （3）證明（2）中的結(jié)論． 20．觀察、思考與驗證 （1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式　 ??； （2）如圖2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直線上．試說明：∠ACE＝90°； （3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你寫出驗證過程． 參考答案 一．選擇題 1．解：①∵72+242＝252＝625，∴能作為直角三角形邊長； ②∵92+162＝337≠252＝625，∴不能作為直角三角形邊長； ③∵82+152＝172＝289，∴能作為直角三角形邊長； ④∵122+152＝369≠202＝400，∴不能作為直角三角形邊長． 其中能作為直角三角形邊長的組數(shù)為2． 故選：C． 2．解：∵a2+b2＝c2， ∴（2a）2+（2b）2＝（2c）2也成立，其它三個不成立， 故選：C． 3．解：∵a2＝（c+b）（c﹣b）， ∴a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴這三條線段組成的三角形是直角三角形． 故選：C． 4．解：延長AD到E，使DE＝AD，連接CE， ∵D為BC的中點， ∴DC＝BD， 在△ADB與△EDC中， ∵， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴CE＝AB＝6． 又∵AE＝2AD＝8，AB＝CE＝6，AC＝10， ∴AC2＝AE2+CE2， ∴∠E＝90°， 則S△ABC＝S△ACE＝CE?AE＝×6×8＝24． 故選：B． 5．解：由題意得：大正方形的面積是9，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b， 即a2+b2＝9，a﹣b＝1， 所以ab＝[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]＝（9﹣1）＝4，即ab＝4． 解法2，4個三角形的面積和為9﹣1＝8； 每個三角形的面積為2； 則ab＝2； 所以ab＝4 故選：A． 6．解：兩個陰影正方形的面積和為132﹣122＝25． 故選：B． 7．解：設(shè)兩直角邊分別為a、b， 由勾股定理得，斜邊＝， 擴大后的直角三角形的斜邊＝＝2． 故選：B． 8．解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝2.52﹣1.52＝4， ∴AC＝2， ∵BD＝0.9， ∴CD＝2.4． 在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49， ∴EC＝0.7， ∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3． 故選：B． 9．解：∵Rt△ABC中∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝＝＝10， ∴AC為直徑的圓的半徑為5， ∴S陰影＝S圓﹣S△ABC＝25π﹣×6×8＝25π﹣24． 故選：C． 10．解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝10m， 小樹高為CD＝4m， 過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形， 連接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m， 在Rt△AEC中，AC＝＝10m． 故選：B． 二．填空題（共5小題） 11．解：在直角△BCD中，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4， ∴BD＝5， 在△ABD中，∵AD2＝132＝AB2+BD2＝122+52， ∴∠ABD＝90°， 故答案為：90°． 12．解：∵△ABC中，AB＝5、BC＝4、AC＝3， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°． 故答案為：90°． 13．解：如圖，當吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，h最短， 此時AB＝（cm）， 故h最短＝20﹣15＝5（cm）； 故答案為：5． 14．解：根據(jù)勾股定理可得a2+b2＝13， 四個直角三角形的面積是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12， 則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25， 則a+b＝5． 故答案為：5． 15．解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故答案為：20． 三．解答題（共5小題） 16．解：（1）由AB＝15，BC＝12得AB2﹣BC2＝225﹣144＝81． 由AC2＝81得AB2﹣BC2＝AC2 即：AB2＝BC2+AC2， ∴∠ACB＝90°， ∵點D是AB的中點， ∴CD＝AB＝7.5； （2）由∠ACB＝90°可得：S△ABC＝AC?BC＝AB?CE， ∴×9×12＝×15CE， 解得：CE＝7.2， Rt△CDE中：DE＝＝2.1． 17．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米， 且AB為斜邊，則BC＝＝40米． 答：小汽車在2秒內(nèi)行駛的距離BC為40米； （2）小汽車在2秒內(nèi)行駛了40米，所以平均速度為20米/秒， 20米/秒＝72千米/時， 因為72＞70， 所以這輛小汽車超速了． 答：這輛小汽車的平均速度大于70千米/時，故這輛小汽車超速了． 18．（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝； （2）解：在Rt△CDA中 AD＝＝＝； （3）證明：∵BC2＝9，AC2＝16， （BD+AD）2＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 19．解（1） 三邊a、b、c a+b﹣c 3、4、5 2 5、12、13 4 1 8、15、17 6 故答案為：，1；； （2）． 故答案為：． （3）證明： 在Rt△ABC中， ∵a2+b2＝c2， ∴2ab＝（a+b）2﹣c2即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）， ∵S△ABC＝ab＝S， ∴2ab＝4S， ∵a+b+c＝l a+b﹣c＝m 2ab＝4S 2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）， ∴4S＝l×m， ∴． 20．（1）解：這個公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下： ∵大正方形的邊長為a+b， ∴大正方形的面積＝（a+b）2， 又∵大正方形的面積＝兩個小正方形的面積+兩個矩形的面積＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）證明：∵△ABC≌△CDE， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°； （3）證明：∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠B+∠D＝180°， ∴AB∥DE，即四邊形ABDE是梯形， ∴四邊形ABDE的面積＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab， 整理得：a2+b2＝c2． 12 / 12