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第2講整式運(yùn)算及因式分解 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 考點(diǎn)一代數(shù)式1 定義 用運(yùn)算符號(hào) 加 減 乘 除 乘方 開(kāi)方 把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連接而成的式子 單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式 2 代數(shù)式的值 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母 按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算所得的結(jié)果 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 考點(diǎn)二整式1 整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式 1 只表示數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù) 所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù) 2 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式 組成多項(xiàng)式的每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng) 多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都要帶著前面的符號(hào) 2 同類(lèi)項(xiàng) 1 定義 所含字母相同 并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng) 常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng) 2 合并同類(lèi)項(xiàng)法則 把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加 所得的和作為合并后的系數(shù) 字母和字母的指數(shù)不變 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 3 整式的運(yùn)算 1 加減 去括號(hào)與添括號(hào) a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 整式加減的步驟是先去括號(hào) 再合并同類(lèi)項(xiàng) 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 2 乘法 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式 把它們的系數(shù) 相同字母分別相乘 對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 m a b c ma mb mc 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 m n a b ma mb na nb 乘法公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 3 除法 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 把系數(shù) 同底數(shù)冪分別相除 作為商的因式 對(duì)于只在被除式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式 am bm m a b 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 4 冪的運(yùn)算 a 0 b 0 m n p為正整數(shù) 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 考點(diǎn)三因式分解1 定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式 叫做把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解 2 因式分解的常用方法 1 提公因式法 ma mb mc m a b c 2 運(yùn)用公式法 a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 3 因式分解的一般步驟 1 一提 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式 那么要先提公因式 2 二用 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式 那么可以嘗試運(yùn)用公式法或分組分解法來(lái)分解 3 三查 分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 根據(jù)幾何圖形列代數(shù)式列代數(shù)式就是把問(wèn)題中圖形表示數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式表示出來(lái) 例1 2018浙江衢州 有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面 因?yàn)閷?shí)際需要 需將正方形邊長(zhǎng)增加b厘米 木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案 小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式 a2 2ab b2 a b 2 對(duì)于方案一 小明是這樣驗(yàn)證的 a2 ab ab b2 a2 2ab b2 a b 2 請(qǐng)你根據(jù)方案二 方案三 寫(xiě)出公式的驗(yàn)證過(guò)程 方案二 方案三 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 解 由題意可得 方案二 a2 ab a b b a2 ab ab b2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 方法點(diǎn)撥認(rèn)真觀察圖形特點(diǎn) 根據(jù)題目中每個(gè)圖形的擺放方法 可以寫(xiě)出方案二和方案三的推導(dǎo)過(guò)程 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 代數(shù)式求值求代數(shù)式的值的步驟是先化簡(jiǎn) 再代入求值 例2 2017河南 先化簡(jiǎn) 再求值 2x y 2 x y x y 5x x y 解原式 4x2 4xy y2 x2 y2 5x2 5xy 9xy 方法點(diǎn)撥先根據(jù)整式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后再代入求值 如果字母取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí) 那么做乘方運(yùn)算或者性質(zhì)符號(hào)前有運(yùn)算符號(hào)的都必須加上小括號(hào) 運(yùn)算時(shí)要弄清楚運(yùn)算符號(hào) 注意運(yùn)算順序 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 冪的運(yùn)算冪的運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法 除法 積的乘方 冪的乘方 零指數(shù) 負(fù)整數(shù)指數(shù)等運(yùn)算法則 既可順用 也可逆用 例3 2018山東濱州 下列運(yùn)算 a2 a3 a6 a3 2 a6 a5 a5 a ab 3 a3b3 其中結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為 A 1B 2C 3D 4答案 B解析 a2 a3 a6是同底數(shù)冪的乘法應(yīng)用 計(jì)算錯(cuò)誤 a3 2 a6是冪的乘方應(yīng)用 a5 a5 a是同底數(shù)冪的除法應(yīng)用 計(jì)算錯(cuò)誤 ab 3 a3b3是積的乘方應(yīng)用 方法點(diǎn)撥本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法 同底數(shù)冪的除法 冪的乘方 積的乘方 熟練掌握冪的運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 整式的運(yùn)算整式的運(yùn)算涉及去括號(hào) 合并同類(lèi)項(xiàng) 多項(xiàng)式乘法 乘法公式 冪的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn) 要注意掌握法則 注意運(yùn)算順序 例4 2018吉林 某同學(xué)化簡(jiǎn)a a 2b a b a b 出現(xiàn)了錯(cuò)誤 解答過(guò)程如下 原式 a2 2ab a2 b2 第一步 a2 2ab a2 b2 第二步 2ab b2 第三步 1 該同學(xué)解答過(guò)程從第步開(kāi)始出錯(cuò) 錯(cuò)誤原因是 2 寫(xiě)出此題正確的解答過(guò)程 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 解 1 該同學(xué)解答過(guò)程從第二步開(kāi)始出錯(cuò) 錯(cuò)誤原因是去括號(hào)時(shí)沒(méi)有變號(hào) 故答案是 1 二 2 去括號(hào)時(shí)沒(méi)有變號(hào) 2 原式 a2 2ab a2 b2 a2 2ab a2 b2 2ab b2 方法點(diǎn)撥此題考查了整式運(yùn)算中去括號(hào) 合并同類(lèi)項(xiàng) 熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵 考法1 考法2 考法3 考法4 考法5 因式分解因式分解最常用的方法是提取公因式法和運(yùn)用公式法 分解因式不徹底是因式分解常見(jiàn)錯(cuò)誤之一 分解因式的結(jié)果是否正確可以用整式乘法來(lái)檢驗(yàn) 例5 2017貴州黔東南 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解 x5 4x 解析原式 x x4 22 x x2 2 x2 2 方法點(diǎn)撥因式分解時(shí)首先要分析多項(xiàng)式的特點(diǎn) 選擇合適的分解方法 其結(jié)果要分解到每一個(gè)因式不能再分解為止 口訣 找準(zhǔn)公因式 一次要提凈 全家都搬走 留1把家守 提負(fù)要變號(hào) 變形看奇偶 1 2017甘肅慶陽(yáng) 下列計(jì)算正確的是 A x2 x2 x4B x8 x2 x4C x2 x3 x6D x 2 x2 02 2015甘肅甘南 下列運(yùn)算中 結(jié)果正確的是 A x3 x3 x6B 3x2 2x2 5x4C x2 3 x5D x y 2 x2 y2 A B C D D A A 4 2018甘肅白銀 下列計(jì)算結(jié)果等于x3的是 A x6 x2B x4 xC x x2D x2 x D 解析 A x6 x2 x4 不符合題意 B x4 x不能再計(jì)算 不符合題意 C x x2不能再計(jì)算 不符合題意 D x2 x x3 符合題意 故選D 5 2018甘肅蘭州 因式分解x2y y3 y x y x y 5 2018甘肅蘭州 因式分解x2y y3 y x y x y 6 2016甘肅慶陽(yáng) 如果單項(xiàng)式2xm 2nyn 2m 2與x5y7是同類(lèi)項(xiàng) 那么nm的值是 7 2016甘肅白銀 分解因式 2a2 8 8 2015甘肅甘南 分解因式 ax2 ay2 9 2014甘肅白銀 分解因式 2a2 4a 2 10 2014甘肅張掖 觀察下列各式 13 1213 23 3213 23 33 6213 23 33 43 102 猜想13 23 33 103 2 a 2 a 2 a x y x y 2 a 1 2 552