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1、word 目錄 1.多維有約束優(yōu)化- 3 - 1.1 題目- 3 - 1.2 條件- 3 - 1.3 建立優(yōu)化模型- 3 - 問題分析與設(shè)計變量確實定- 3 - 目標(biāo)函數(shù)確實定- 4 - 1.3.3 約束條件的建立- 4 - 1.4 優(yōu)化方法的選擇- 5 - 1.5 數(shù)學(xué)模型的求解- 5 - 1.5.1 確定數(shù)學(xué)優(yōu)化模型- 5 - 運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學(xué)模型求解- 6 - 最優(yōu)解以與結(jié)果分析- 7 - 2.多維無約束優(yōu)化- 8 - 2.1 題目- 8 - 2.2 確定優(yōu)化設(shè)計模型- 8 - 運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學(xué)模型求解- 9 - 2

2、.3.1 編寫目標(biāo)函數(shù)- 9 - 2.3.2 繪制該函數(shù)的平面和空間等值線- 9 - 利用matlab工具箱fminunc函數(shù)對該模型進展求解- 11 - 求解結(jié)果- 11 - 1.1 題目 對一對單級圓柱齒輪減速器，以體積最小為目標(biāo)進展多維有約束優(yōu)化設(shè)計。 1.2 條件 數(shù)輸入功p=58kw，輸入轉(zhuǎn)速n1=1000r/min，齒數(shù)比u=5，齒輪的許用應(yīng)力[]H=550Mpa，許用彎曲應(yīng)力[]F=400Mpa。 1.3 建立優(yōu)化模型 問題分析與設(shè)計變量確實定 由條件得求在滿足零件剛度和強度條件下，使減速器體積最小的各項設(shè)計參數(shù)。由于齒輪和軸的尺寸〔即殼體

3、的零件〕是決定減速器體積的依據(jù)，故可按它們的體積之和最小的原如此建立目標(biāo)函數(shù)。 單機圓柱齒輪減速器的齒輪和軸的體積可近似的表示為： 式中符號意義由結(jié)構(gòu)圖給出，其計算公式為 由上式知，齒數(shù)比給定之后，體積取決于b、z1 、m、l、dz1 和dz2 六個參數(shù)，如此設(shè)計變量可取為 目標(biāo)函數(shù)確實定 根據(jù)以上分析，可知，該齒輪減速器以體積最小的目標(biāo)函數(shù)為： 約束條件的建立 (1)為防止發(fā)生根切，應(yīng)有，得 (2)齒寬應(yīng)滿足，和為齒寬系數(shù)的最大值和最小值，一般取=0.9，=1.4，得: (3)動力傳遞的齒輪模數(shù)應(yīng)大于2mm，得 (4)為了限制大齒輪的直徑不至

4、過大，小齒輪的直徑不能大于，得 (5)齒輪軸直徑的圍：得 (6)軸的支撐距離按結(jié)構(gòu)關(guān)系，應(yīng)滿足條件：〔可取=20〕，得 (7)齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力應(yīng)不大于許用值，得 (8)齒輪軸的最大撓度不大于許用值，得 (9)齒輪軸的彎曲應(yīng)力不大于許用值，得 1.4 優(yōu)化方法的選擇 由于該問題有6個設(shè)計變量，16個約束條件的優(yōu)化設(shè)計問題，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計方法比擬繁瑣，比擬復(fù)雜，所以選用Matlab優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)來求解此非線性優(yōu)化問題，防止了較為繁重的計算過程。 1.5 數(shù)學(xué)模型的求解 確定數(shù)學(xué)優(yōu)化模型 將與數(shù)據(jù)代入上式，該優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)優(yōu)

5、化模型表示為： 〔1〕求變量： 〔2〕目標(biāo)函數(shù)： 〔3〕約束條件： 運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學(xué)模型求解 〔1〕首先在Matlab優(yōu)化工具箱中編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件 myfun.m，返回x處的函數(shù)值f： function f = myfun(x) f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4

6、)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2) 〔2〕由于約束條件中有非線性約束，故需要編寫一個描述非線性約束條件的M文件mycon.m： function[c,ceq]=myobj(x) c=[17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3));x(1)/(x(2)*x(3))-1.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550; 7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.16

7、9+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)^2))-400;117.04*x(4)^4/(x(2)*x(3)*x(5)^4)-0.003*x(4);(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+2.4*10^12)-5.5;(1/(x(6)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)-5.5]; ceq=[]; 〔3〕最后求解，調(diào)用目標(biāo)函數(shù)和約

8、束條件，用matlab軟件中工具箱里的fmincon函數(shù)，求解有約束的優(yōu)化，在mand window里輸入： x0=[230;21;8;420;120;160];%給定初始值 [x,fval,exitflag,output]=fmincon(myfun,x0,[],[],[],[],[],[],myobj,output) %調(diào)用優(yōu)化過程 最優(yōu)解以與結(jié)果分析 運行結(jié)果如如下圖所示： x = fval = 2.3168e+007 exitflag = -2 output = iterations

9、: 43 funcCount: 563 lssteplength: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: 1.9956e+007 message: [1x750 char] 故優(yōu)化后的最終結(jié)果為 x=[123.3565 99.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096] f(x)=2.36e*107 由于齒輪模數(shù)應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)值

10、，齒數(shù)必須為整數(shù)，其它參數(shù)也要進展圓整，所以最優(yōu)解不能直接采用，按設(shè)計規(guī)，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化和圓整后： x=[124 100 2 148 150 130] f(x)=6.16 *107 結(jié)果比照分析： ×107mm3×107mm3，優(yōu)化結(jié)果比初始值體積減少為： Δ×107/×107)×100%＝2.5% 所以優(yōu)化后的體積比未優(yōu)化前減少了2.5%，說明優(yōu)化結(jié)果相比照擬成功。 在機械設(shè)計問題中，難以防止生產(chǎn)，加工，裝配，經(jīng)濟性等問題，故少有無約束優(yōu)化設(shè)計問題。在本次試驗中，針對一個管道流量問題的二維函數(shù)，設(shè)計了一個非線性無約束優(yōu)化設(shè)計問題，并加以求解。 2.

11、1 題目 梯形截面管道的參數(shù)：底邊長c，高度h，斜邊與底邊的夾角θ，橫截面積A=64516mm2，如圖1所示。管道液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系。試按照使液體流速最大的條件，確定管道的參數(shù)。 圖1 梯形截面管道參數(shù) 2.2 確定優(yōu)化設(shè)計模型 〔1〕管道截面周長： 〔2〕管道截面面積： 由此可得底邊長度的關(guān)系式：〔與h和θ有關(guān)〕 將c代入管道橫截面周長的計算式中，得到管道截面周長關(guān)系式： 因此，取與管道界面周長有關(guān)的獨立參數(shù)h和θ作為設(shè)計變量，有： 為使液體流速最大，取管道截面周長最小作為目標(biāo)函數(shù)，即： Min 故該函數(shù)的數(shù)學(xué)

12、模型： 〔1〕變量： 〔2〕目標(biāo)函數(shù)： Min 編寫目標(biāo)函數(shù) 首先在Matlab優(yōu)化工具箱中編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件 ，返回x處的函數(shù)值f： % 1----二維無約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)文件(sc_wysyh.m) function f=sc_wysyh(x) a=64516;hd=pi/180; f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd); 繪制該函數(shù)的平面和空間等值線 % 2----繪制水槽截面周長等高線和曲面圖的程序 % 按(初值,終值,等分?jǐn)?shù))產(chǎn)生等間隔向量xx1,xx2 xx1=linspace(100

13、,300,25); xx2=linspace(30,120,25); % 產(chǎn)生兩個[5x10]的網(wǎng)格矩陣x1,x2 [x1,x2]=meshgrid(xx1,xx2); % 定義目標(biāo)函數(shù) a=64516;hd=pi/180; f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd); % 將整個圖形窗口分隔成2個子窗口,取左邊窗口 figure(1); % 繪制等值線并標(biāo)注函數(shù)值 h=contour(x1,x2,f); clabel(h); % 定義左邊窗口坐標(biāo)軸刻度圍 axis([100 300 30 120]) % 標(biāo)注左邊窗口和坐標(biāo)軸

14、xlabel('高度 h (mm)') ylabel('傾斜角 theta (度)') title('目標(biāo)函數(shù)(截面周長)等值線') % 將整個圖形窗口分隔成2個子窗口,取右邊窗口 figure(2); % 繪制曲面圖 surfc(x1,x2,f); % 定義右邊窗口坐標(biāo)軸刻度圍a axis([100 300 30 120 600 1200]) % 標(biāo)注右邊窗口 xlabel('高度 \bf h (mm)'); ylabel('斜邊夾角 \bf theta(度)'); zlabel('目標(biāo)函數(shù)值\bf f (mm)'); title('目標(biāo)函數(shù)(截面周長)曲面圖')

15、 運行結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)的曲面如圖2，目標(biāo)函數(shù)等值曲線如圖3。 圖2 截面周長曲面圖 圖3 截面周長等值線 利用matlab工具箱fminunc函數(shù)對該模型進展求解 % 初始點 x0=[25;45]; % 調(diào)用梯度法搜索 [x,Fmin，exitflag,output]=fminunc('sc_wysyh',x0); disp ' ******** 輸出最優(yōu)解 ********' fprintf (1,' 截面高度h x(1)* = %3.4f mm \n',x(1)) fprintf (1,'

16、 斜邊夾角theta x(2)* = %3.4f 度 \n',x(2)) fprintf (1,' 截面周長s f* = %3.4f mm \n',Fmin) 求解結(jié)果 運行上述程序，可以解得如下參數(shù)： exitflag = 1 output = iterations: 18 funcCount: 60 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search' message: [1x85 char] ******** 輸出最優(yōu)解 ******** 截面高度h x(1)* = 192.9958 mm 斜邊夾角theta x(2)* = 60.0005 度 截面周長s f* = 668.5656 mm 最終圓整高度h = 193 mm，斜邊夾角θ=60°。求解周長s=mm，偏差幾乎可以忽略。 - 10 - / 10