word 第10講 數(shù)陣圖和幻方〔二〕 幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年，它是具有獨特形式的填數(shù)字問題。傳說公元前二千多年，在大禹治水的時候，在黃河支流洛水浮起一只大烏龜，它的背上有個奇特的圖案，〔如圖1〕，后來人們把它稱之為“洛書〞、 相傳在我國遠古的時代，有一匹龍馬游于黃河，馬背上負有一幅奇的圖案，這就是所謂的“河圖〞，實際上它是由九個數(shù)字排成一定的格式〔如圖2〕，圖中有一個非常有趣的性質：它的橫、豎、對角線上的每三個數(shù)字之和都是15。 一般地，在n×n〔n行n列〕的方格，不重不漏填上n×n個連續(xù)自然數(shù)，并且每行、每列、每條對角線上n個自然數(shù)的和都相等，如此稱它為n階幻方。這個和叫做幻和，n叫做階。 幻方又叫魔方，九宮算或縱橫圖。 魔方：我國的縱橫圖通過東南亞國家，印度、阿拉伯傳到西方。由于縱橫圖具有十分奇幻的特性，西方把縱橫圖叫作Magic Square，翻譯成中文就是“幻方〞或“魔方〞。 九宮算：所謂九宮，就是將一個正方形用兩組與邊平行的分割線，每組兩條，分割成的九個小正方格。每個小方格分別填入從1到9這九個自然數(shù)中的其中一個，不同的方格填入的數(shù)不同，使得三橫行中每一橫行三個數(shù)的和〔叫行和〕，三縱列中每一縱列三個數(shù)的和〔叫列和〕，兩條對角線中每一條對角線上三個數(shù)的和〔叫對角和〕都相相等，這樣得到的圖就叫九宮〔算〕圖。 縱橫圖：長期以來，縱橫圖一直被看作是一種數(shù)字游戲。一直到南宋時期的數(shù)學家輝，才真正把它作為一個數(shù)學問題而加以深入的研究。輝在他的《續(xù)古摘奇算法》一書中，不僅搜集到了大量的各種類型的縱橫圖，而且對其中的局部縱橫圖還給出了如何構造的規(guī)如此和方法，從而開創(chuàng)了這一組合數(shù)學研究的新領域。 解決幻方問題的關鍵是確定中心數(shù)和頂點數(shù)?！捕ㄖ虚g數(shù)，填四角數(shù)，算其余數(shù)〕 三階幻方：就是將九個連續(xù)自然數(shù)填入3×3〔三行三列〕的方格，使每行每列、每條對角線的和相等，這叫做三階幻方。 奇數(shù)階幻方： “羅伯法〞“樓貝法〞 西歐在十六，十七世紀時，構造幻方非常盛行。十七世紀，法E路第十四對構造幻方有著濃厚的興趣，他專門派De La Loubere〔樓貝〕出使泰國〔1687-1688〕，Loubere：將在邏羅學的構造作畫何奇數(shù)階幻方法的一種統(tǒng)一的方法 1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框時往下填，右出框時左邊放，排重便在下格填，右上排重一個樣。 揚輝方法：揚輝在《續(xù)古摘奇算法》中，寫到“九子排列，上下對易，左右相更，四維挺出〞 輝給出的方形縱橫圖共有十三幅，它們是：洛書數(shù)〔三階幻方〕一幅，四四圖〔四階幻方〕兩幅，五五圖〔五階幻方〕兩幅，六六圖〔六階幻方〕兩幅，七七圖〔七階幻方〕兩幅，六十四圖〔八階幻方〕兩幅，九九圖〔九階幻方〕一幅，百子圖〔十階幻方〕一幅〔參見圖1-9-3〕。其中還給出了“洛書數(shù)〞和“四四陰圖〞的構造方法。如“洛書數(shù)〞的構造方法為：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出〞。 但可惜的是，輝只停留在個別縱橫圖的構造上，沒有上升成一般的理論。他所造出的百子圖，雖然每一行和，每一列都等于〔1+2+3+…97+98+99+100〕=505，但兩對角和不是等于505，直到我國清代的潮〔165—？〕費了九牛二虎之力才造出第一個兩對角和也是505的百子圖。 偶數(shù)階幻方：對稱交換的方法。 1、 將數(shù)依次填入方格中，對角線滿足要求。 2、 調整行，對角線數(shù)不動，對稱行的其它數(shù)對調。 3、 調整列，對角線數(shù)不動，對稱列的其它數(shù)對調。 數(shù)陣圖：把一些數(shù)字按照一定的要求，排列成各種各樣的圖形，叫做數(shù)陣圖。 1、封閉型：封閉型數(shù)陣圖的解題突破口，是確定各邊頂點所應填的數(shù)。為確定這些數(shù)，采用的方法是建立有關的等式，通過以最小值到最大值的討論，來確定每條邊上的幾個數(shù)之和，再將和數(shù)進展拆分以找到頂點應填入的數(shù)，其余的數(shù)再利用和與頂點的數(shù)就容易被填出?！?—6〕 2、輻射型：輻射型數(shù)陣圖，解法的關鍵是確定中心數(shù)。具體方法是：通過所給條件建立有關等式，通過整除性的討論，確定出中心數(shù)的取值，然后求出各邊上數(shù)的和，最后將和自然數(shù)分拆成中心數(shù)的假如干個自然數(shù)之和，確定邊上其他的數(shù)。〔1—9和相等〕 3、復合型：復合型數(shù)陣圖，解題的關鍵是要以中心數(shù)和頂點數(shù)為突破口?！?~7，和相等〕 典型舉例1 將1～8這八個數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個大圓上的五個數(shù)之和都等于21。 解：中間兩個數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個重疊數(shù)之和為 　　21×2-(1+2+…+8)=6。 　　在的八個數(shù)中，兩個數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個大圓上另外三個數(shù)之和為21-6=15。 　　如果兩個重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有 　　2+6+7=15和3+4+8=15， 　　故有左如下圖的填法。 　　如果兩個重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁右如下圖的填法。 練習1 1、 把1—6六個數(shù)字填入如下圖，使每個大圓上四個數(shù)字之和都是16。 2、 把2、4、6、8、10、12、14、16這八個數(shù)分別填入如下圖，使每個大圓五個數(shù)的和都是44。 典型舉例2 將1～6這六個自然數(shù)分別填入右圖的六個○，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于11。 解：此題有三個重疊數(shù)，即三角形三個頂點○的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個重疊數(shù)之和等于 　　11×3-(1+2+…+6)=12。 　　1～6中三個數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。 　　如果三個重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個數(shù)之和等于11，可得左如下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是1～6，不合題意。 　　同理，三個重疊數(shù)也不能是3，4，5。 　　經(jīng)試驗，當重疊數(shù)是2，4，6時，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。 練習2 將3—8這六個數(shù)分別填入如下圖中，使得每條邊上的三數(shù)之和都是15。 典型舉例3 將1～6這六個自然數(shù)分別填入如下圖的六個○中，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都相等。 解：與典型舉例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因為三個重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×3，得到每邊的三數(shù)之和等于 　　[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]÷3 　　=(21+重疊數(shù)之和)÷3 　　=7+重疊數(shù)之和÷3。 　　因為每邊的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應是3的倍數(shù)?？紤]到重疊數(shù)是1～6中的數(shù)，所以三個重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對應的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。 　　與例2的方法類似，可得如下圖的四種填法： 每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12 典型舉例4 將2～9這八個數(shù)分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個數(shù)之和都等于18。 解：四個角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個重疊數(shù)之和等于 　　18×4-(2+3+…+9)=28。 　　而在的八個數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有： 　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。 　　又由于18-9-8=1，1不是的八個數(shù)之一，所以，8和9只能填對角處。由此得到左如下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法： “試填〞的結果，只有右上圖的填法符合題意。 說明：以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。 　　一般地，在m邊形中，每條邊上有n個數(shù)的形如如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。 　　與“輻射型m-n圖只有一個重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1〞不同的是，封閉型m-n圖有m個重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。 　　對于封閉型數(shù)陣圖，因為重疊數(shù)只重疊一次，所以 　　各數(shù)之和+重疊數(shù)之和 　　=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。 　　由這個關系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。 　　前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)〞進展分析，就能解決很多數(shù)陣問題。 練習4 1、 將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分別填入下面的圖里，使得每條邊上的三個數(shù)之和是12。 2、將2—9這八個數(shù)填入如下圖，使每條邊上的三個數(shù)的和都等于16。 典型舉例5 把1～7分別填入左如下圖中的七個空塊里，使每個圓圈里的四個數(shù)之和都等于13。 解：這道題的“重疊數(shù)〞很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(三個數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應有 　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3， 　　即 a+a+b+c+d=11。 　　因為1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。 練習5 在下面圓圈的空白處填入7、8、10、12，使每個院的四個數(shù)的和都相等。 6 4 1 典型舉例6 把1—9這九個數(shù)填入如下圖的方格中 ，并使每一行、每一列和對角線上的數(shù)的和都相等 解：方法一： 〔1〕先填中心數(shù)，把1－9按從小到大順序排成一排，第五個數(shù)填在中心格。 〔2〕將剩下的八個數(shù)排成兩排，第一排為1、2、3、4、第二排為8、7、6、5即                 1 2 3 4 8 7 6 5 〔3〕根據(jù)兩排數(shù)字填上四個角，四個角的數(shù)就是兩排中第二、第四列中的四個數(shù)，這兩列數(shù)字按對角填。 〔4〕用對角線的和減去每行或每列知道的數(shù)字就完成了。 方法二： （1） 將這9個數(shù)字按照如下方式排列： 1 2 4 3 5 7 6 8 9 （2） 上下兩個數(shù)互換： 9 2 4 3 5 7 6 8 1 〔3〕左右兩個數(shù)互換： 9 2 4 7 5 3 6 8 1 〔4〕填入表格即可。 練習6 1、將20－28填入九宮格中，使每行、每列、兩條對角線的和相等。 1、將17－25填入九宮格中，使之成為一個三階幻方。 A根底訓練 　　1.把1～8填入下頁左上圖的八個○里，使每個圓圈上的五個數(shù)之和都等于20。 　　2.把1～6這六個數(shù)填入右上圖的○里，使每個圓圈上的四個數(shù)之和都相等。 　　3.將1～8填入左如下圖的八個○中，使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于15。 　　4.將1～8填入右上圖的八個○中，使得每條直線上的四個數(shù)之和與每個圓周上的四個數(shù)之和都相等。 　　5.將1～7填入右圖的七個○，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。 　　6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個空塊中，使得每個圓的四個數(shù)之和都等于34。 答案與提示練習17 　　每個圓周的四數(shù)之和=12每個圓周的四數(shù)之和=13 　　每個圓周的四數(shù)之和=14 　每個圓周的四數(shù)之和=15每個圓周的四數(shù)之和=16 　　3.提示：四個頂點數(shù)之和為15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四個頂點數(shù)有3，6，7，8和4，5，7，8兩種可能。經(jīng)試驗只有左如下圖一個解。 　　4.提示：每條直線或每個圓周上的四個數(shù)之和都等于 　　(1＋2＋…＋8)÷7＝18。 　　填法見右上圖。(填法不唯一) 　　5.提示：頂上的數(shù)重疊2次，其它數(shù)都重疊1次。 　　(1＋2＋…＋7)×2＋頂上數(shù)=每條線上的和×5， 　　56＋頂上數(shù)=每條線上的和×5。 　　由上式等號左端是5的倍數(shù)，推知“頂上數(shù)〞=4。所以每條線上的三個數(shù)之和為 　　(56＋4)÷5＝12。 　　經(jīng)試驗填法如上圖。(填法不唯一) 例5類似(見上圖)。 B沖刺奪冠 1. 把1~8這8個數(shù),分別填入圖中的方格(每個數(shù)必須用一次),使“十一〞三筆中每三個方格數(shù)的和都相等. 2. 把1~11這11個數(shù)分別填入如如下圖11個○,使每條虛線上三個○數(shù)的和相等,一共有幾種不同的和? 3. 在如下圖中的幾個圈各填一個數(shù),使每一條直線上的三個數(shù)中,當中的數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù),現(xiàn)在已經(jīng)填好兩個數(shù),那么( ). 17 13 4. 在圖的每個圓圈填上適當?shù)馁|數(shù)(不得重復),使每條直線上三個數(shù)的和相等,且均為偶數(shù). 5. 圖有五個圓,它們相交相互分成9個區(qū)域,現(xiàn)在兩個區(qū)域里已經(jīng)填上10與6，請在另外七個區(qū)域里分別填進2七個數(shù),使每圓的和都等于15. 10 6 6. 10個連續(xù)的自然數(shù)中第三個的數(shù)是9,把這10個數(shù)填入圖中的10個方格,每格填一個數(shù),要求圖中3個2×2的正方形中4個數(shù)之和相等,那么這個和最小值是______. 7. 將1~10這十個數(shù)分別填入如下圖中的十個○,使每條線段上四個○數(shù)的和相等,每個三角形三個頂點上○數(shù)的和也相等. 8. 把1~16這16個數(shù),填入圖中的16個○,使五個正方形的四個頂點上○數(shù)的和相等. 9. 將1-12這十二個數(shù)分別填入圖中的十二個小圓圈里,使每條直線上的四個小圓圈中的數(shù)字之和26. 90 20 36 50 10. 在圖中的空格中填入四個數(shù),使每個橫行,每個豎行的三個數(shù)的積都相等. 11. 在圖中分別填入,,,和,,,,,使每橫行,每豎列,每斜行的三個分數(shù)之和都相等. 12. 把1~12這十二個數(shù),填入如下圖中的12個○,使每條線段上四個數(shù)的和相等,兩個同心圓上的數(shù)的和也相等. 13. 將1~5這五個數(shù)填入如下圖中,使每行和每列的3個數(shù)的和相等. 14. 將1~9這九個數(shù)分別填入圖中○,使每條線段三個數(shù)相等. ———————————————答 案—————————————————————— 3 8 2 4 6 5 7 1 1. 10 11 4 5 6 7 1 3 8 2 9 2. 7 5 13 15 17 9 11 3. 53 59 67 73 79 83 89 91 43 37 29 23 17 13 7 5 2 4. 10 3 6 4 6 5 7 2 9 5. 6. 24. 10 2 1 6 9 4 5 7 8 3 7. 等: 16 2 3 10 9 12 1 15 8 7 14 4 11 5 6 13 8. 4 8 1 11 3 12 2 5 6 9 7 10 9. 90 20 1 36 50 18 2 10 5 10. 11. 12. 1 12 5 8 10 3 7 6 2 4 9 11 13. 1 5 3 2 4 14. 4 7 1 3 8 2 9 5 6 16 / 16