人教版八年級數(shù)學上冊 第十三章軸對稱 13.3.1等腰三角形（第一課時）課后練習 一、選擇題 1．在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為16cm，則AB邊的取值范圍是（　?。? A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm   C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 2．等腰三角形的一個外角等于，則與它不相鄰的兩個內角的度數(shù)分別為　　 A．， B．， C．， D．，或， 3．一個等腰三角形的頂角是底角的4倍，則其頂角的度數(shù)為() A．20° B．30° C．80° D．120° 4．已知等腰△ABC的底邊BC＝8，且|AC﹣BC|＝2，那么腰AC的長為（　?。? A．10或6 B．10 C．6 D．8或6 5．已知△ABC是等腰三角形,且∠A=40°,那么∠ACB的外角的度數(shù)是 A．110° B．140° C．110°或140° D．以上都不對 6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列說法中不正確的是( ) A．BC邊上的高和中線互相重合 B．AB和AC邊上的中線相等 C．三角形中頂點為B和頂點為C的角平分線相等 D．AB，BC邊上的高相等 7．在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在AC，AB上，下列條件中，不能使BD＝CE的是( ) A．BD，CE為AC，AB上的高 B．BD，CE都為△ABC的角平分線 C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB D．∠ABD＝∠BCE 8．在一個三角形ABC中，∠A＝∠B＝45°，則△ABC是（ ） A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對 9．等腰三角形的三邊均為整數(shù)，且周長為13，則底邊是( ) A．1或3 B．3或5 C．1或5 D．1或3或5 10．已知A和B兩點在線段EF的中垂線上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，則∠AEB等于( ) A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30° 二、填空題 11．若等腰三角形的一個角為，則頂角為__________，底角為__________． 12．△ABC中其周長為7，AB=3，當BC=___時，△ABC為等腰三角形． 13．中，若，，，則的長為______. 14．已知等腰三角形的一個內角為80°，則另兩個角的度數(shù)是___________． 15．在△ABC中,AB=AC,∠B=80°,則∠A=_______°. 三、解答題 16．如圖所示，在中，，，是上一點，，垂足為，交于，又．求證：是的平分線． 17．如圖，在中，，點，、分別在邊、、上，，，是的中點，求證：． 18．已知一個等腰三角形的兩角分別為(2x－2)°，(3x－5)°，求這個等腰三角形各角的度數(shù)． 19．如圖，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，點D到點B與點C的距離相等，過點D作DE⊥BC于點E. (1)求證：BE＝CE； (2)請直接寫出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之間的數(shù)量關系； (3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度數(shù)． 20．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F，CG是AB邊上的高； （）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以說明； （）若D在底邊的延長線上，（）中的結論還成立嗎?若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由． 21．如圖，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，連接AD交射線EB于F，AC∥DE，延長CA交射線EB于點G，點F恰好是AD中點. （1）求證：△AFG≌△DFE； （2）若BC=CE， ①求證：∠ABF=∠DEF； ②若∠BAC=30°，試求∠AFG的度數(shù). 22．如圖，在中，已知是的中點，，求證：． 23．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E． （1）若∠A=40°，求∠DBC的度數(shù)； （2）若AE=4，△CBD的周長為20，求BC的長． 【參考答案】 1．C 2．A 3．D 4．A 5．D 6．D 7．D 8．A 9．D 10．C 11．100° 40° 12．1或2或3 13．5 14．50°，50°或80°，20° 15．20. 16．證明：如圖，延長、交于點 ，又 又 又 是的平分線 17． 證明：連接、 ∵ ∴． 在與中， ， ∴≌（SAS）． ∴． ∵是的中點， ∴． 18．解：①當（2x－2）°作為頂角時，即（2x－2）＋2×（3x－5）＝180，解得x＝24，三角形三個角的度數(shù)分別為46°，67°，67°； ②當（3x－5）°為頂角時，即（3x－5）＋2×（2x－2）＝180，解得x＝27，三角形三個角的度數(shù)分別為52°，52°，76°； ③當以上兩個角均為底角時，即2x－2＝3x－5，解得x＝3，三角形三個內角分別為4°，4°，172°． 19．（1）證明：如圖1中， ∵DB=DC，DE⊥BC， ∴CE=BE（等腰三角形底邊上三線合一）． （2）結論：∠ABC-∠ACB=2∠ADE． 理由：如圖2中，作BN⊥AD于N，交AC于M． ∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°， ∴∠ABN=∠AMN， ∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°， ∴∠EDA=∠CBM， ∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ABC=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA． 故答案為∠ABC-∠ACB=2∠ADE （3）解：如圖3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N． ∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB， ∴DM=DN， 在Rt△DBN和Rt△DCM中， ， ∴△DBN≌△DCM， ∴∠BDN=∠CDM， ∴∠CDB=∠MDN， ∵∠CAB+∠MDN=180°， ∴∠CDB+∠CAB=180°， ∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE ∴∠ABC=80°， ∴∠CAB=180°-80°-40°=60°， ∴∠CDB=120°， ∴∠EDB=∠EDC=60°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=30°． 20．（（）；理由如下： 連接，則 , 即 , ∵ ∴ . （）當點在延長線上時，（）中的結論不成立，但有； 理由：連接，則 , 即 , ∵ ∴，即 , 同理當點D在的延長線上時，則有，說明方法同上． 21．（1）∵AG∥DE，點F是AD的中點， ∴∠G=∠DEF，AF=DF， ∵△AGF和△DEF中， ， ∴△AGF≌△DEF（AAS）； （2）① ∵BC=CE， ∴∠CBE=∠CEB， ∵∠ABC=DEC=90°， ∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°， ∴∠ABF=∠DEF； ②∵△AGF≌△DEF， ∴∠G=∠DEF， ∵∠ABF=∠DEF， ∴∠ABF=∠G， ∴AG=AB， ∵△AGF≌△DEF， ∴AG=DE， ∴DE=AB， ∵△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC，（SAS） ∴AC=CD，∠BAC=∠EDC， ∵AC∥DE， ∴∠EDC=∠ACD， ∴∠ACD=∠BAC=30°， ∴∠CAD=75°， ∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°， ∴∠G=15°， ∵∠CAD=∠G+∠AFG， ∴∠AFG=60°.． 22． 證明：延長FD到M使MD=DF，連接BM，EM. ∵是的中點， ∴． 在與中， ， ∴≌（SAS） ∴． 在中，． 又∵，， ∴． ∴，即． 23．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C==70°， ∵AB的垂直平分線MN交AC于點D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°； （2）∵AE=4， ∴AC=AB=2AE=8， ∵△CBD的周長為20， ∴BC=20-(CD+BD)=20-(CD+AD)=20-8=12， ∴BC=12． 9 / 9