《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第35講 方程、函數(shù)思想型問題講解篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第35講 方程、函數(shù)思想型問題講解篇（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第35講　方程、函數(shù)思想型問題 (建議該講放第16講后教學) 內(nèi)容 特性 1.在解決問題時，把某一個未知量或幾個未知量用字母來表示，根據(jù)已知的條件或有關的性質(zhì)、定理或公式，建立起未知量和已知量之間的等量關系，列出方程或方程組，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想． 2．函數(shù)思想是指用變量和函數(shù)來思考問題的一種方法，借助函數(shù)知識來探求變量之間關系的一種思維方式，以生產(chǎn)、生活和學科問題為背景，結(jié)合方程、幾何圖形等知識進行問題解決的一種解題策略，是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型. 解題 策略 (1)解決函數(shù)綜合問題時，注意數(shù)形結(jié)合，在函數(shù)、方程、不等式之間靈活轉(zhuǎn)

2、化； (2)解決幾何綜合問題時，常從面積關系，勾股定理、相似性質(zhì)尋求關系列方程、函數(shù)求解； (3)解決生活中應用問題時，從一些常見數(shù)量關系模型入手，建立方程、函數(shù)求解； (4)對于一個實際問題或數(shù)學問題，構(gòu)建一個相應的函數(shù)，抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì)，運用函數(shù)基本性質(zhì)和方法，從而更快更好地解決問題. 基本 思想 利用方程思想解決問題時，經(jīng)常涉及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想；利用函數(shù)思想解決問題時，充分運用函數(shù)數(shù)學思想分析問題，經(jīng)常涉及函數(shù)與方程、不等式，函數(shù)與圖象. 類型一　運用方程思想求解幾何綜合性問題 　如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm

3、，AC＝30 cm，點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒4 cm的速度向點B運動；同時Q點從C點出發(fā)，沿CA以每秒3 cm的速度向點A運動．設運動的時間為x秒． (1)當x為何值時，PQ∥BC? (2)△APQ能否與△CQB相似？若能．求出AP的長；若不能．請說明理由． 【解后感悟】由相似三角形的對應邊成比例，可列出分式方程，從而求解；在已知一個角對應相等的前提下考慮兩個三角形相似時，有兩種情況，不可遺漏． 1． (2016·舟山)如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，過點A，C作相距為2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點E，F(xiàn)，則DE的長是(　　)

4、 A. B. C．1 D. 類型二　運用函數(shù)思想求解方程、不等式問題 　(2017·杭州)在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(1，－2)，求函數(shù)y1的表達式； (2)若一次函數(shù)y2＝ax＋b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a，b滿足的關系式； (3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值范圍． 【解后感悟】二次函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為方程，解(1)的關鍵是利用待定

5、系數(shù)法；解(2)的關鍵是把點的坐標代入函數(shù)解析式；解(3)的關鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等量關系，同時要分類討論，以防遺漏． 2．(1)已知函數(shù)y＝x和y＝的圖象如圖，則不等式>x的解集為(　　) A．－2≤x<2 B．－2≤x≤2 C．x<2 D．x>2 (1)圖 (2)圖 (2)如圖，已知函數(shù)y＝－與y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的圖象交于點P，點P的縱坐標為1，則關于x的方程ax2＋bx＋＝0的解為　　　　　

6、　　　. 類型三　運用方程、函數(shù)思想求解幾何最值問題 　(2016·黃岡模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，現(xiàn)將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點置于AB的中點O，兩直角邊分別經(jīng)過點B、C，然后將三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α(0°<α<90°)，旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點K、H, 四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過程中三角板與△ABC的重疊部分(如圖所示)，那么，在上述旋轉(zhuǎn)過程中： (1)線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關系？四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； (2)連結(jié)HK，設BH＝x. ①當△CKH的面積為時，求出x的

7、值； ②試問△OHK的面積是否存在最小值，若存在，求出此時x的值，若不存在，請說明理由． 　 　　　　　 【解后感悟】本題利用方程、函數(shù)思想把問題構(gòu)建為方程、函數(shù)模型，再用方程、函數(shù)知識來解決問題．解題的關鍵是根據(jù)題意列出方程、函數(shù)關系式． 3． (2015·德州模擬)一個包裝盒的設計方法如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形的包裝盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm.若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)

8、最大，試問x應取的值為　　　　　　　　cm. 類型四　運用方程、函數(shù)思想求解三角形、四邊形與圓問題 　(2015·汕尾)如圖，已知直線y＝－x＋3分別與x、y軸交于點A和B. (1)求點A、B的坐標； (2)求原點O到直線l的距離； (3)若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標． 【解后感悟】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，借助這些知識，再利用方程、函數(shù)思想來解決問題．以此設計問題在中考中出現(xiàn)的頻率很高，是中考中比較典型的題型．

9、 4． 如圖，已知拋物線y＝x2＋bx與直線y＝2x交于點O(0，0)，A(a，12)．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E. (1)求拋物線的函數(shù)解析式； (2)若點C為OA的中點，求BC的長； (3)以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設點D的坐標為(m，n)，求出m，n之間的關系式． 　　 　　　　　　 類型五　運用方程、函數(shù)思想求解實際問題 　某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關系可以近似地看作一次函數(shù)y＝－2x＋100.(利潤

10、＝售價－制造成本) (1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式； (2)當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？ (3)根據(jù)相關部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？ 【解后感悟】本題是通過方程、函數(shù)思想解決實際問題，一是通過方程思想列函數(shù)解析式，二是通過函數(shù)思想解決變量間關系． 5．(2015·濟寧)小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：

11、 服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元．計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件． (1)若購進這100件服裝的費用不得超過7500元，則甲種服裝最多購進多少件？ (2)在(1)的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a(0＜a＜20)元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調(diào)整進貨方案才能獲得最大利潤？ 【開放探究題】 實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5時內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時間x (時)的關系可近似地用二次函數(shù)y＝－200x2

12、＋400x刻畫；1.5時后(包括1.5時)y與x可近似地用反比例函數(shù)y＝(k＞0)刻畫(如圖所示)． (1)根據(jù)上述數(shù)學模型計算： ①喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？ ②當x＝5時，y＝45.求k的值； (2)按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學模型，假設某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由． 　　　　　　　　 【方法與對策】本題實質(zhì)是通過方程、函數(shù)思想解決反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應用問題，根據(jù)圖象得

13、出正確信息是解題關鍵， 這是中考中的新題型． 【忽視變量范圍而出錯】 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一點(P與B、C不重合)，過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E. (1)連結(jié)AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長； (2)若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？ (3)若PE∥BD，試求出此時BP的長． 參考答案 第35講　方程、函數(shù)思想型問題 【例題精析】 例1　(1)根據(jù)題意AP＝4xcm，AQ＝AC－

14、QC＝(30－3x)cm，若PQ∥BC，則＝.則＝，解得x＝.所以當運動時間為s時，PQ∥BC. (2)因為∠A＝∠C，所以當＝或＝時，△APQ能與△CQB相似．①當＝時，＝，解得x＝，所以AP＝4x＝cm.②當＝時，＝，解得x1＝5，x2＝－10(舍去)．所以AP＝4x＝20cm.所以當AP＝cm或20cm時，△APQ與△CQB相似．　 例2　(1)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函數(shù)y1的表達式為y＝(x－2)(x＋2－1)，化簡，得y＝x2－x－2；或函數(shù)y1的表達式為y＝(x＋1)(x－2)化簡，得y＝x2－x－2，綜上所述：

15、函數(shù)y1的表達式為y＝x2－x－2； (2)當y＝0時，(x＋a)(x－a－1)＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的圖象與x軸的交點是(－a，0)，(a＋1，0)，當y2＝ax＋b經(jīng)過(－a，0)時，－a2＋b＝0，即b＝a2；當y2＝ax＋b經(jīng)過(a＋1，0)時，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a； (3)當P在對稱軸的左側(cè)(含頂點)時，y隨x的增大而減小，(1，n)與(0，n)關于對稱軸對稱，由m＜n，得0＜x0≤；當P在對稱軸的右側(cè)時，y隨x的增大而增大，由m＜n，得＜x0＜1，綜上所述：x0的取值范圍為0＜x0＜1.　 例3　(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，BH＝CK，四邊形CHOK的

16、面積始終保持不變，其值為△ABC面積的一半．理由如下：連結(jié)OC.∵△ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點，CO⊥AB，∴∠OCK＝∠B＝45°，CO＝OB.又∵∠COK與∠BOH均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠COK＝∠BOH＝α，在△COK和△BOH中，∴△COK≌△BOH，∴BH＝CK，S四邊形CHOK＝S△COK＋S△COH＝S△BOH＋S△COH＝S△COB＝S△ABC＝9. (2)①由(1)知CK＝BH＝x，∵BC＝6，∴CH＝6－x，根據(jù)題意，得CH·CK＝，即(6－x)x＝5，解這個方程得x1＝1，x2＝5，此兩根滿足條件：0

17、KH的面積為S，由(1)知四邊形CHOK的面積為9，∴S△OKH＝S四邊形CHOK－S△CKH＝9－x(6－x)＝(x2－6x)＋9＝(x－3)2＋，∵>0，∴當x＝3時，函數(shù)S△OKH有最小值，∵x＝3滿足條件0

18、l的距離為.　(3)過M作MD⊥AB交AB于點D，當圓M在直線l下方與直線相切時，MD＝2，在△BOA和△BDM中，∵∠OBA＝∠DBM，∠BOA＝∠BDM，∴△BOA∽△BDM，∴＝，∴BM＝＝，∴OM＝OB－BM＝，當⊙M在直線l上方與直線相切時，同理可得OM＝OB＋BM＝，∴點M的坐標為M(0，)或M(0，)． 　例5　(1)∵z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1800，∴z與x之間的函數(shù)解析式為z＝－2x2＋136x－1800.　(2)由z＝350，得350＝－2x2＋136x－1800，解這個方程得x1＝25，x2＝43.∴銷售單價定為25

19、元或43元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤．∵z＝－2x2＋136x－1800＝－2(x－34)2＋512，∴當銷售單價為34元時，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元．　 (3)結(jié)合(2)及函數(shù)z＝－2x2＋136x－1800的圖象(如圖所示)可知，當25≤x≤43時，z≥350.又由限價32元，得25≤x≤32.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y＝－2x＋100中y隨x的增大而減小，∴當x＝32時，每月制造成本最低．最低成本是18×(－2×32＋100)＝648(萬元)．∴所求每月最低制造成本為648萬元． 【變式拓展】 1． D　2.(1)A　(2)x＝－3　3.15　 4. (

20、1)∵點A(a，12)在直線y＝2x上，∴12＝2a，解得：a＝6，又∵點A是拋物線y＝x2＋bx上的一點，將點A(6，12)代入y＝x2＋bx，可得b＝－1，∴拋物線解析式為y＝x2－x.　 (2)∵點C是OA的中點，∴點C的坐標為(3，6)，把y＝6代入y＝x2－x，解得：x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，故BC＝1＋－3＝－2. (3)∵點D的坐標為(m，n)，∴點E的坐標為(n，n)，點C的坐標為(m，2m)，∴點B的坐標為(n，2m)，把點B(n，2m)代入y＝x2－x，可得m＝n2－n，∴m、n之間的關系式為m＝n2－n.　 5.(1)設購進甲種服裝x件，由題意可知：80x＋60

21、(100－x)≤7500，解得：x≤75.答：甲種服裝最多購進75件． (2)設總利潤為W元，因為甲種服裝不少于65件，所以65≤x≤75.W＝(40－a)x＋30(100－x)＝(10－a)x＋3000.方案1：當0＜a＜10時，10－a＞0，W隨x的增大而增大，所以當x＝75時，W有最大值，則購進甲種服裝75件，乙種服裝25件；方案2：當a＝10時，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進貨都可以；方案3：當10＜a＜20時，10－a＜0，W隨x的增大而減小，所以當x＝65時，W有最大值，則購進甲種服裝65件，乙種服裝35件． 【熱點題型】 【分析與解】(1)①當x＝－＝1時，y＝200，

22、∴喝酒后1時血液中的酒精含量達到最大值，最大值為200毫克/百毫升．?、凇弋攛＝5時，y＝45，且(5，45)在反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上，∴把(5，45)代入y＝得45＝，解得k＝225.　 (2)把y＝20代入反比例函數(shù)y＝得x＝11.25.∴喝完酒經(jīng)過11.25時為早上7：15.∴第二天早上7：15以后才可以駕駛，7：00時不能駕車去上班． 【錯誤警示】(1)由△APE≌△ADE可得AP＝AD＝3，在Rt△ABP中，運用勾股定理即可求得BP的長．∵△APE≌△ADE，∴AP＝AD＝3.在Rt△ABP中，AB＝2，∴BP＝＝＝.　 (2)由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關系式．化為頂點式即可求得當x＝時，y的值最大，最大值是.∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE.∴＝，即＝，∴y＝－x2＋x，∵y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，∴當x＝時，y的值最大，最大值是. (3)由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式求得BP的長．設BP＝x，由(2)得CE＝y(tǒng)＝－x2＋x，∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.∴＝，即＝，化簡得3x2－13x＋12＝0，解得x1＝或x2＝3(不合題意，舍去)，∴當BP＝時，PE∥BD. 12