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1、
類型五 與特殊四邊形有關(guān)的問題
1. (2017重慶江北區(qū)一模)如圖①,拋物線y=-x2+x+2的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,連接BC,過點A作AD∥BC交拋物線的對稱軸于點D.
(1)求點D的坐標;
(2)如圖②,點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點,作PQ⊥BC于Q,當PQ的長度最大時,在線段BC上找一點M(不與點B、點C重合),使PM+BM的值最小,求點M的坐標及PM+BM的最小值;
(3)拋物線的頂點為點E,平移拋物線,使拋物線的頂點E在直線AE上移動,點A、E平移后的對應(yīng)點分別為點A′、E′.在平面內(nèi)有一動點F,當以點A′、E′、B、F為頂點的四邊形為菱形時,求出點
2、A′的坐標.
第1題圖
2. 如圖①,拋物線y=x2-x-與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C.連接AC,過點A作AC的垂線交拋物線的對稱軸于點D.
(1)求點D的坐標;
(2)點P為直線AD下方拋物線上一動點,當△PAD面積最大時,作PE⊥x軸于點E,連接AP,點M,N分別為線段AP,AE上的兩個動點,求EM+MN的最小值;
(3)如圖②,拋物線的頂點為點Q,平移拋物線,使拋物線的頂點Q在直線AQ上移動,點A,Q平移后的對應(yīng)點分別為點A′,Q′.在平面內(nèi)有一動點G,當以點A′,Q′,B,G為頂點的四邊形為平行四邊
3、形時,在直線AQ下方找一個滿足條件的點G,與在直線AQ上方所有滿足條件的點G為頂點的多邊形為軸對稱圖形時,求點Q′的坐標.
第2題圖
答案
1. 解:(1)當y=0時,-x2+x+2=0,
解得x1=,x2=-,
即A(-,0),B(,0)
當x=0時,y=2,即C(0,2),
∴直線BC的解析式為y=-x+2,
∴直線AD的解析式為y=-x-,
拋物線的對稱軸為x=-=,
當x=時,y=-x-=-,
即D點坐標為(,-);
(2)如解圖①,作PF∥y軸交BC于點F,
則△PQF∽△BOC,
第1題解圖①
4、
∴==,
即PQ=PF,
設(shè)P(t,-t2+t+2),F(xiàn)(t,-t+2),
∴PF=-t2+t,
當t=時,PF取最大值,PQ取最大值,
此時P(,),
作MN⊥x軸于點N,則△BMN∽△BCO,
∴==,
即MN=BM,
則當P,M,N共線時,PN有最小值,PM+BM=PN=,
此是M(,1);
(3)如解圖②,
1)當A′E′=A′B,A′E′∥BF1,A′E′=BF1時四邊形A′E′F1B是菱形,此時
A1′(,),A′2(-,-);
2)當A′E′=E′B,A′E′∥BF2,A′E′=BF2時四邊形A′E′F2B是菱形,此時
A′3(-,0),A
5、′4(-,-);
3)當A′B=E′B,A′F3∥BE′,A′F3=BE′時四邊形A′F3E′B是菱形,此時
A′5(-,-).
綜上所述,A′的坐標分別為(,)或(-,-)或(-,0)或(-,-)或(-,-).
第1題解圖②
2. 解:(1)如解圖①,設(shè)對稱軸交AB于點H,對于拋物線y=x2-x-,
令x=0得y=-,令y=0,得x2-x-=0,解得x=-1或x=3,
∴C(0,-),A(-1,0),B(3,0),
∴OA=1,OC=,
∴tan∠OAC==,
∴∠OAC=60°,
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°,∠DAH=30°,
∵拋物線的對稱軸x=-=
6、1,
∴AH=2,DH=AH·tan30°=,
∴D(1,);
第2題解圖①
(2)如解圖②,延長PE交直線AD于點K,
∵點A(-1,0),D(1,),
∴直線AD的解析式為y=x+.
設(shè)點K(x,x+),則點P(x,x2-x-).
∴PK=-x2+x+.
∴S△PAD=S△PKA-S△PKD=×(xD-xA)·PK=-x2+x+=-(x-)2+.
∴當x=時,△PAD的面積最大,此時點P的坐標為(,-).
∵PE⊥x軸于點E,∴E(,0),
∴AE=,PE=.
在Rt△PAE中,PA=,
如解圖②,作點E關(guān)于直線AP的對稱點E′,過點E′作E′N⊥x軸于點N
7、,交AP于點M,
第2題解圖②
連接EM,此時EM+MN的值最小,EM+MN=E′M+MN=E′N.
EE′=,由△E′NE∽△AEP可知,
=,
∴E′N=.
∴EM+MN的最小值為.
(3)如解圖③,
∵點A(-1,0),Q(1,-),
∴直線AQ的解析式為y=-x-.
設(shè)點Q′(x,-x-),則點A′(x-2,-x+).
若以點A′,Q′,B,G為頂點的平行四邊形以A′Q′為邊時,
∵A′Q′∥BG1且A′Q′=BG1,
∴xG1-xB=xA′-xQ′=xA-xQ=-2.
∴yG1-yB=y(tǒng)A′-yQ′=y(tǒng)A-yQ=.
又∵點B(3,0),∴點G1(1,
8、).
同理得點G2(5,-).
∴在直線AQ上方滿足條件的點G有兩個,分別為G1(1,),G2(5,).
若以點A′,Q′,B,G為頂點的平行四邊形以A′Q′為對角線時,線段A′Q′中點的坐標點F(x-1,-x),此時點F也為BG3中點,
又∵B(3,0),
∴G3(2x-5,-x).
由題意得,以滿足條件的點G為頂點的多邊形為三角形,
∵△G1G2G3為軸對稱圖形,
∴△G1G2G3為等腰三角形.
∴G1G22=,
G2G32=x2-x+,
G1G32=x2-x+,
①若G3G1=G3G2,
則有x2-x+=x2-x+,
∴x=,∴Q(,-).
②若G1G2=G1G3,則有x2-x+=,
∴x1=1,x2=,
∴Q′(1,-)或(,-).
③若G2G1=G2G3,則有x2-x+=,
∴x1=,x2=3,
∴Q′(,-)或(3,-).
綜上所述,點Q′的坐標為(,-)或(1,-)或(,-)或(,-)或(3,-).
第2題解圖③
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