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1、——圓 ◆知識(shí)講解 一．圓的定義 1、在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。 2、圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合。 3、確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素：一是位置二是大小，圓心確定其位置，半徑確定其大小。 4、連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。以A、B為端點(diǎn)的弦記作“圓弧AB”，或者“弧AB”。大于半圓的弧叫作優(yōu)?。ㄓ萌齻€(gè)字母表示，如ABC）叫優(yōu)??；小于半圓的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直徑、弧、弦、圓心角 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弦。

2、2、垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。 3、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。 在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等。 在等圓中，弦心距相等的弦相等。 三、圓周角 1、定義：頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊和圓相交的角。 2、定理：一條弧所以的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。 3、推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所以的圓周角相等。 （2）直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 四、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 1、設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d。 則d>r ó點(diǎn)在圓外

3、，d=r ó點(diǎn)在圓上，d

4、 （1）從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷 直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與圓相離。 （2）從點(diǎn)到直線(xiàn)的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷 dr時(shí)，直線(xiàn)與圓相離； 2、切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。 六、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系（二） 1、切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。 2、切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等。這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。 3、與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是

5、三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊距離相等。 七、圓與圓的位置關(guān)系 1、位置關(guān)系 （1）從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部還是內(nèi)部來(lái)考慮，兩個(gè)圓的位置關(guān)系有五種，外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。 （2）從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離（外離、內(nèi)含），相切（外切、內(nèi)切）。 兩圓的位置關(guān)系 d與r1和r2之間的關(guān)系 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) 相離 d>r1+r2 無(wú) 外切 d=r1+r2 1 相交 r1-r2

6、，d是圓心距，且r1>r2） 八、正多邊形的有關(guān)概念及計(jì)算 1、正多邊形的有關(guān)概念：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。 2、正多邊形的計(jì)算： （1）正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。 （2）邊長(zhǎng)（an）、半徑（R）、邊心距（rn）、中心角（an）、周長(zhǎng)（Pn）、面積（Sn）之間的關(guān)系為： ①中心角an=；②周長(zhǎng)Pn=nan；③面積Sn =n rn an =Pn rn.. （3）作正多邊形：利用、規(guī)等分圓周。

7、 九、弧長(zhǎng)和扇形面積 1、弧長(zhǎng)計(jì)算公式：在半徑為R的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l= 2、扇形面積計(jì)算公式：S扇形= (其中R為扇形半徑，n為圓心角)； 3、弧長(zhǎng)和扇形面積的關(guān)系：S扇形=R 十、圓錐的側(cè)面積和全面積 1、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖形狀:扇形 2、側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè) = 全面積的計(jì)算公式：S全 = +（其中l(wèi) 為圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)，r為底面圓的半徑） ◆例題解析 【例1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。試判斷A、B、C三點(diǎn)與⊙O的位置

8、關(guān)系。 【分析】要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系就是要比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。 解：∵OA＝ ∴點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O內(nèi)，點(diǎn)C在⊙O外。 【例2】如圖，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三條邊所截得的弦長(zhǎng)都相等，則∠BOC＝ 。 【分析】由于⊙O截△ABC的三條邊所截得的弦長(zhǎng)都相等，則點(diǎn)O到三邊的距離也相等，即O是△ABC角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，問(wèn)題就容易解決了。 解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，則OD＝OE＝OF ∴O為△ABC角平分線(xiàn)的交點(diǎn) ∵∠A＝700 ∴∠ABC＋∠ACB＝1

9、100 ∴∠OBC＋∠OCB＝×1100＝550 ∴∠BOC＝1800－550＝1250 【例3】如圖1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ） A、 B、 C、 D、與的大小關(guān)系不能確定 【分析】如圖1，把作出來(lái)，變成一段弧，然后比較與的大小。 解：如圖1，作，則 ∵在△CDE中，CD＋DE＞CE ∴2CD＞CE ∵AB＝2CD ∴AB＞CE ∴，即 變式：如圖，在⊙O中，，問(wèn)AB與2CD的大小關(guān)系？ 略解：取的中點(diǎn)E，則

10、 ∴AB＝BE＝CD ∵在△AEB中，AE＋BE＞AB ∴2CD＞AB，即AB＜2CD 探索與創(chuàng)新： 【問(wèn)題】已知點(diǎn)M（，）在拋物線(xiàn)上，若以M為圓心的圓與軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)于的方程的兩根（如上圖）。 （1）當(dāng)M在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙M在軸上截得的弦長(zhǎng)是否變化？為什么？ （2）若⊙M與軸的兩個(gè)交點(diǎn)和拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，試求、的值。 【分析】（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是、，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，那么：，又因?yàn)镸在拋物線(xiàn)上，所以。故AB＝2，即⊙M在軸上截得的弦長(zhǎng)不變。 （2）C（0，－1），， ①當(dāng)AC＝BC，

11、即時(shí)，，； ②當(dāng)AC＝AB時(shí)，，，，或， ③當(dāng)BC＝AB時(shí)，，，或， ◆強(qiáng)化訓(xùn)練 一、選擇題： 1、兩個(gè)圓的圓心都是O，半徑分別為、，且＜OA＜，那么點(diǎn)A在（ ） A、⊙內(nèi) B、⊙外 C、⊙外，⊙內(nèi) D、⊙內(nèi)，⊙外 2、一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是（ ） A、2.5 cm或6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm或13cm 3、三角形的外心恰在它的一條邊上，那么這個(gè)三角形是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形

12、 C、鈍角三角形 D、不能確定 4、如圖，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個(gè)半圓，自上半圓上一點(diǎn)C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在上半圓（不包括A、B兩點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P（ ） A、到CD的距離保持不變 B、位置不變 C、等分 D、隨C點(diǎn)移動(dòng)而移動(dòng) 二、填空題： 1、若為⊙O的直徑，為⊙O的一條弦長(zhǎng)，則與的大小關(guān)系是 。 2、△ABC的三邊分別為5 cm、12 cm、13 cm，則△ABC的外心和垂心的距離是 。 3、如圖，⊙O中兩弦AB＞CD，AB

13、、CD相交于E，ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，連結(jié)OM、ON、MN，則∠MNE與∠NME的大小關(guān)系是∠MNE ∠NME。 4、如圖，⊙O中，半徑CO垂直于直徑AB，D為OC的中點(diǎn)，過(guò)D作弦EF∥AB，則∠CBE＝ 。 5、在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為和，則∠BAC的度數(shù)為 。 三、計(jì)算或證明： 1、如圖，的度數(shù)為900，點(diǎn)C和點(diǎn)D將三等分，半徑OC、OD分別和弦AB交于E、F。求證：AE＝CD＝FB。 2、如圖，在⊙O中，兩弦AB與CD的中點(diǎn)分別是P、

14、Q，且，連結(jié)PQ，求證：∠APQ＝∠CQP。 3、如圖，在⊙O中，兩弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半徑。 4、如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)順次在⊙O上，且，BM⊥AC于M，求證：AM＝DC＋CM。 參考答案 一、選擇題：CABB 二、填空題： 1、≥；2、6.5cm；3、＞；4、300；5、150或750 三、計(jì)算或證明： 1、提示：連結(jié)AC、BD，先證AC＝CD＝BD，再利用角證AC＝AE，BD＝DF即可； 2、提示：連結(jié)OP、OQ ∵P、Q是AB、CD的中點(diǎn)，∴OP⊥AB，OQ⊥CD ∵，∴OP＝OQ ∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP 3、提示：連結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連結(jié)ED、AE，設(shè)⊙O的半徑為R，則∠EDC＝∠EAC＝900，∴?！逜C⊥BD，∴AE∥BD，∴，∴AB＝ED，∴，而AB＝6，CD＝8，∴R＝5 4、提示：延長(zhǎng)DC至N，使CN＝CM，連結(jié)NB，則∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可證得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN。 8