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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 植樹問題
綠化工程是造福子孫后代的大事。確定在一定條件下栽樹、種花的棵數(shù)是最簡單、最基本的“植樹問題”。還有許多應(yīng)用題可以化為“植樹問題”來解,或借助解“植樹問題”的思考方法來解。
先介紹四類最簡單、最基本的植樹問題。
為使其更直觀,我們用圖示法來說明。樹用點(diǎn)來表示,植樹的沿線用線來表示,這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。
顯然,只有下面四種情形:
(1)非封閉線的兩端都有“點(diǎn)”時(shí),
“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”+1。
(2)非封閉線只有一端有“點(diǎn)”時(shí),
2、 “點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。
(3)非封閉線的兩端都沒有“點(diǎn)”時(shí),
“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”-1。
(4)封閉線上,“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。
最簡單、最基本的植樹問題只有這四類情形。
例如,一條河堤長420米,從頭到尾每隔3米栽一棵樹,要栽多少棵樹?這是第(1)種情形,所以要栽樹420÷3+1=141(棵)。
又如,肖林家門口到公路邊有一條小路,長40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵樹,一共要栽多少棵樹?由于門的一端不能栽樹,公路邊要栽樹,所以,屬于第(2)種情形,要栽樹40÷2=20(棵)。
再如,兩座樓房之間相距30米,每隔2米栽一棵樹,一直行能栽多
3、少棵樹?因緊挨樓房的墻根不能栽樹,所以,屬于第(3)種情形,能栽樹30÷2-1=14(棵)。
再例如,一個(gè)圓形水池的圍臺(tái)圈長60米。如果在此臺(tái)圈上每隔3米放一盆花,那么一共能放多少盆花?這屬于第(4)種情形,共能放花60÷3=20(盆)。
許多應(yīng)用題都可以借助或歸結(jié)為上述植樹問題求解。
例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿,包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿,共埋設(shè)了10根。這段路長多少米?
解:這是第(1)種情形,所以,“段數(shù)”=10-1=9。這段路長為50×(10-1)=450(米)。
答:這段路長450米。
例2小明要到高層建筑的11層,他走到5層用了100秒,照此速度
4、計(jì)算,他還需走多少秒?
分析:因?yàn)?層不用走樓梯,走到5層走了4段樓梯,由此可求出走每段樓梯用100÷(5-1)=25(秒)。走到11層要走10段樓梯,還要走6段樓梯,所以還需
25×6=150(秒)。
解:[100÷(5-1)]×(11-5)=150(秒)。
答:還需150秒。
例3一次檢閱,接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共30輛,每輛車長4米,前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了多長?如果車隊(duì)每秒行駛2米,那么這列車隊(duì)要通過535米長的檢閱場地,需要多少時(shí)間?
解:車隊(duì)間隔共有
30-1=29(個(gè)),
每個(gè)間隔5米,所以,間隔的總長為
(30-1)×5=1
5、45(米),
而車身的總長為30×4=120(米),故這列車隊(duì)的總長為
(30-1)×5+30×4=265(米)。
由于車隊(duì)要行265+535=800(米),且每秒行2米,所以,車隊(duì)通過檢閱場地需要
(265+535)÷2=400(秒)=6分40秒。
答:這列車隊(duì)共長265米,通過檢閱場地需要6分40秒。
例4下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長度是多少?十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長?
解:如上圖所示。關(guān)鍵是求出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個(gè)長6毫米)。根據(jù)植樹問題的第(3)種情形知,五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為5-1=4(個(gè)),所以重疊部分的長為
6、6×(5-1)=24(毫米),
又4厘米=40毫米,所以五個(gè)鐵環(huán)連在一起長
40×5-6×(5-1)=176(毫米)。
同理,十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為
40×10-6×(10-1)=346(毫米)。
答:五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為176毫米。十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為346毫米。
例5父子倆一起攀登一個(gè)有300個(gè)臺(tái)階的山坡,父親每步上3個(gè)臺(tái)階,兒子每步上2個(gè)臺(tái)階。從起點(diǎn)處開始,父子倆走完這段路共踏了多少個(gè)臺(tái)階?(重復(fù)踏的臺(tái)階只算一個(gè))。
解:因?yàn)閮啥说呐_(tái)階只有頂?shù)呐_(tái)階被踏過,根據(jù)已知條件,兒子踏過的臺(tái)階數(shù)為
300÷2=150(個(gè)),
父親踏過的臺(tái)階數(shù)
7、為300÷3=100(個(gè))。
由于2×3=6,所以父子倆每6個(gè)臺(tái)階要共同踏一個(gè)臺(tái)階,共重復(fù)踏了300÷6=50(個(gè))。所以父子倆共踏了臺(tái)階
150+100-50=200(個(gè))。
答:父子倆共踏了200個(gè)臺(tái)階。
?
?練習(xí)
1.學(xué)校有一條長60米的走道,計(jì)劃在道路一旁栽樹。每隔3米栽一棵。
(1)如果兩端都各栽一棵樹,那么共需多少棵樹苗?
(2)如果兩端都不栽樹,那么共需多少棵樹苗?
(3)如果只有一端栽樹,那么共需多少棵樹苗?
2.一個(gè)長100米,寬20米的長方形游泳池,在離池邊3米的外圍圈(仍為長方形)上每隔2米種一棵樹。共種了多少棵樹?
8、
3.一根90厘米長的鋼條,要鋸成9厘米長的小段,一共要鋸幾次?
4.測量人員測量一條路的長度。先立了一個(gè)標(biāo)桿,然后每隔40米立一根標(biāo)桿。當(dāng)立桿10根時(shí),第1根與第10根相距多少米?
5.學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。參加入場式的儀仗隊(duì)共180人,每6人一行,前后兩行間隔120厘米。這個(gè)儀仗隊(duì)共排了多長?
6.在一條長1200米的河堤邊等距離植樹(兩端都要植樹)。已挖好每隔6米植一棵樹的坑,后要改成每隔4米植一棵樹。還要挖多少個(gè)坑?需要填上多少個(gè)坑?
7.一個(gè)車隊(duì)以5米/秒的速度緩緩地通過一座210米長的大橋,共用100秒。已知每輛車長5米,兩車之間相隔10米,那么這個(gè)車隊(duì)共有
9、多少輛車?
附送:
2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 橫式數(shù)字謎(一)
在一個(gè)數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分?jǐn)?shù)字,或用字母、文字來代替部分?jǐn)?shù)字的不完整的算式或豎式,叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。
例如,求算式324+□=528中□所代表的數(shù)。
根據(jù)“加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)”知,
□=582-324=258。
又如,求右豎式中字母A,B所代表的數(shù)字。顯然個(gè)位數(shù)相減時(shí)必須借位,所以,由12-B=5知,B=12-5=7;由A-1=3知,A=3+1=4。
解數(shù)字謎問題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力,又能加深對(duì)運(yùn)算
10、的理解,還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。
這一講介紹簡單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。
解橫式數(shù)字謎,首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則:
(1)一個(gè)加數(shù)+另一個(gè)加數(shù)=和;
(2)被減數(shù)-減數(shù)=差;
(3)被乘數(shù)×乘數(shù)=積;
(4)被除數(shù)÷除數(shù)=商。
由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則:
由(1),得 和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù);
其次,要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如,8可用加法拆分為
8=0+8=1+7=2+6=3+5=4+4;
24可用乘法拆分為
24=1×24=2×12=3×8=4×6(兩個(gè)數(shù)之積)
=1×2×12=2×2×6=…(三個(gè)數(shù)之
11、積)
=1×2×2×6=2×2×2×3=…(四個(gè)數(shù)之積)
例1 下列算式中,□,○,△,☆,*各代表什么數(shù)?
(1)□+5=13-6; (2)28-○=15+7;
(3)3×△=54; (4)☆÷3=87;
(5)56÷*=7。
解:(1)由加法運(yùn)算規(guī)則知,□=13-6-5=2;
(2)由減法運(yùn)算規(guī)則知,○=28-(15+7)=6;
(3)由乘法運(yùn)算規(guī)則知,△=54÷3=18;
(4)由除法運(yùn)算規(guī)則知,☆=87×3=261;
(5)由除法運(yùn)算規(guī)則知,*=56÷7=8。
例2 下列算式中,□,○,△,☆各代表什么數(shù)?
(1)□+□+□=48;
(2)○+○+6=21
12、-○;
(3)5×△-18÷6=12;
(4)6×3-45÷☆=13。
解:(1)□表示一個(gè)數(shù),根據(jù)乘法的意義知,
□+□+□=□×3,
故□=48÷3=16。
(2)先把左端(○+○+6)看成一個(gè)數(shù),就有
(○+○+6)+○=21,
○×3=21-6,
○=15÷3=5。
(3)把5×△,18÷6分別看成一個(gè)數(shù),得到
5×△=12+18÷6,
5×△=15,
△=15÷5=3。
(4)把6×3,45÷☆分別看成一個(gè)數(shù),得到
45÷☆=6×3-13,
45÷☆=5,
☆=45÷5=9。
例3(1)滿足58<12×□
13、<71的整數(shù)□等于幾?
(2)180是由哪四個(gè)不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的?試把這四個(gè)數(shù)按從小到大的次序填在下式的□里。
180=□×□×□×□。
(3)若數(shù)□,△滿足
□×△=48和□÷△=3,
則□,△各等于多少?
分析與解:(1)因?yàn)?
58÷12=4……10,71÷12=5……11,
并且□為整數(shù),所以,只有□=5才滿足原式。
(2)拆分180為四個(gè)整數(shù)的乘積有很多種方法,如
180=1×4×5×9=1×2×3×30=…
但拆分成四個(gè)“大于1”的數(shù)字的乘積,范圍就縮小了,如
180=2×2×5×9=2×3×5×6=…
若再限
14、制拆分成四個(gè)“不同的”數(shù)字的乘積,范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種:
180=2×3×5×6。
所以填的四個(gè)數(shù)字依次為2,3,5,6。
(3)首先,由□÷△=3知,□>△,因此,在把48拆分為兩數(shù)的乘積時(shí),有
48=48×1=24×2=16×3=12×4=8×6,
其中,只有48=12×4中,12÷4=3,因此
□=12,△=4。
這道題還可以這樣解:由□÷△=3知,□=△×3。把□×△=48中的□換成△×3,就有
(△×3)×△=48,
于是得到△×△=48÷3=16。因?yàn)?6=4×4,所以△=4。再把□=△×3中的△換成4,就
15、有
□=△×3=4×3=12。
這是一種“代換”的思想,它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。
下面,我們再結(jié)合例題講一類“填運(yùn)算符號(hào)”問題。
例4 在等號(hào)左端的兩個(gè)數(shù)中間添加上運(yùn)算符號(hào),使下列各式成立:
(1)4 4 4 4=24;
(2)5 5 5 5 5=6。
解:(1)因?yàn)?+4+4+4<24,所以必須填一個(gè)“×”。4×4=16,剩下的兩個(gè)4只需湊成8,因此,有如下一些填法:
4×4+4+4=24;
4+4×4+4=24;
4+4+4×4=24。
(2)因?yàn)?+1=6,等號(hào)左端有五個(gè)5,除一個(gè)5外,另外四個(gè)5湊成1,至少要有一個(gè)“÷”,有如下填
16、法:
5÷5+5-5+5=6;
5+5÷5+5-5=6;
5+5×5÷5÷5=6;
5+5÷5×5÷5=6。
由例4看出,填運(yùn)算符號(hào)的問題一般會(huì)有多個(gè)解。這些填法都是通過對(duì)問題的綜合觀察、分析和試算得到的,如果只是盲目地“試算”,那么就可能走很多彎路。
例5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號(hào),使等式成立:
8 2 3=3 3。
分析與解:首先考察右端“3 3”,它有四種填法:
3+3=6; 3-3=0;
3×3=9; 3÷3=1。
再考察左端“8 2 3”,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)奇數(shù)3,所以要想得到奇數(shù),3的前面只能填“+”或“-”,要想得到偶數(shù),3的前面只能填“×”。經(jīng)試算,只有兩種符合題意的填法:
8-2+3=3×3;8÷2-3=3÷3。
填運(yùn)算符號(hào)可加深對(duì)四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識(shí),也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。
?