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1、2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征
上一講我們講了能被2,5整除的數(shù)的特征,根據(jù)這些特征,很容易就能判別出一個(gè)數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會問,有沒有類似的簡便方法,直接判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除?
我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù):
18,345,4737,25674
18能被3整除,1+8=9也能被3整除;
345能被3整除,3+4+5=9也能被3整除;
4737能被3整除,4+7+3+7=21也能被3整除;
25674能被3整除,2+5+6+7+4=24也能被3整除。
怎么這么巧?我們再試一個(gè):7896852能
2、被3整除,7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了,不用再試了,同學(xué)們可能已經(jīng)在想:“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3整除?”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹,我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。
由99和9都能被3整除,推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除,推知(7+4+1)能被3整除;反之,由(7+4+1)能被3整除,推知741能被3整除。
因此,判斷一個(gè)整數(shù)能否被3整除的簡便方法是:
如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除,那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除,那么此整數(shù)不能被3整除。
例1判斷下
3、列各數(shù)是否能被3整除:
2574,38974,587931。
解:因?yàn)?+5+7+4=18,18能被3整除,所以2574能被3整除;
因?yàn)?+8+9+7+4=31,31不能被3整除,所以38974不能被3整除;
因?yàn)?+8+7+9+3+1=33,33能被3整除,所以587931能被3整除。
為了今后使用方便,我們介紹一個(gè)表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母來表示時(shí),為防止理解錯(cuò)誤,就在這個(gè)多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個(gè)多位數(shù)。例如,表示這個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位依次是3,a,5;又如,表示這個(gè)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位依次是a,b,c,d。
例2六位數(shù)
4、能被3整除,數(shù)字a=?
解:2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除,數(shù)字a只能是2,5或8。即符合題意的a是2,5或8。
例3由1,3,5,7這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,有幾個(gè)能被3整除?
解:在1,3,5,7這四個(gè)數(shù)中,任取三個(gè),共有4組:
1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7。其中,1+3+5和3+5+7能被3整除,所以,由1,3,5或3,5,7寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1,3,5可寫成135,153,315,351,513,531六個(gè)三位數(shù);同理,由3,5,7也能寫成6個(gè)三位數(shù)。
所以,符合題意的三位數(shù)有6×2=12
5、(個(gè))。
例4被2,3,5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾?
解:除1以外,被2除余1的所有整數(shù)是
3,5,7,9,11,…,27,29,31,33,…
被3除余1的所有整數(shù)是
4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…
被5除余1的所有整數(shù)是
6,11,16,21,26,31,36,…
上面三列數(shù)中,第一個(gè)同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)是31,所以31是同時(shí)滿足被2,3,5除均余1且不等于1的最小數(shù)。
例4中使用的方法是解這類題型的基本方法,但不夠簡捷。一個(gè)較簡捷的方法是:
因?yàn)?大于2和3,所以先從被5除余1的數(shù)
1,6,11,16,21,
6、26,31,36,…
中找出第一個(gè)(1除外)同時(shí)滿足被2和3除都余1的數(shù)31,就為所求。
到五年級學(xué)了更多的知識后,還可直接由2×3×5+1=31得到所求數(shù)。
例5同時(shí)能被2,3,5整除的最小三位數(shù)是幾?
解:能被5整除的三位數(shù)是
100,105,110,115,120,125,…其中,第一個(gè)能同時(shí)被2,3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù),且1+2+0=3),故120為所求。
?
練習(xí)
1.直接判斷25874和978651能否被3整除。
3.由2,3,4,5這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,有幾個(gè)能被3整除?
4.(1)被2,3除余1且不等于1的
7、最小整數(shù)是幾?
(2)被3,5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾?
5.同時(shí)能被2,3,5整除的最小自然數(shù)是幾?
6.同時(shí)能被2,3,5整除的最大三位數(shù)是幾?
7.一根鐵絲長125厘米,要把它剪成長2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段?
附送:
2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 趣題巧解
為了考考同學(xué)們的智力和靈氣,先提幾個(gè)問題:
一張長方形的紙,用剪刀剪掉一個(gè)角,還剩幾個(gè)角?
把一根毛線對折兩次后剪一刀,毛線被剪成了幾段?
一樹枝上有10只鳥,用汽槍打中了一只,樹枝上還剩幾只鳥?
這類智力問題很有趣,但回答
8、時(shí)要小心,稍有不慎,就可能落入“圈套”。要想正確地解答這類題目,一是要全面考慮各種情況,二是要充分運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識,再就是還需要些思考問題的靈氣和非常規(guī)的思考方法。
例1一張長方形紙片有四個(gè)角,用剪刀沿直線剪掉一個(gè)角后,還剩幾個(gè)角?
分析:由于已知“剪掉一個(gè)角”,但沒有限制如何剪,所以必須對這個(gè)已知條件中的“剪法”有一個(gè)全面的考慮。否則,不加思索地順口答出“還剩3個(gè)角”,答案就不全面了。當(dāng)我們仔細(xì)考慮“剪法”的各種可能性后,再根據(jù)角的定義,就會得到全面而正確的答案。
解:由于剪掉長方形紙片的一個(gè)角有下頁圖所示的三種不同剪法(圖中陰影部分為剪掉的角),所以,可能還有5個(gè)角、4個(gè)角或3
9、個(gè)角。
答:還剩5個(gè)角、4個(gè)角或3個(gè)角。
例2 37個(gè)同學(xué)要坐船過河,渡口處只有一只能載5人的小船(無船工)。他們要全部渡過河去,至少要使用這只小船渡河多少次?
分析:如果由37÷5=7……2,得出7+1=8次,那么就錯(cuò)了。因?yàn)楹鲆暳酥辽僖?個(gè)人將小船劃回來這個(gè)特定的要求。實(shí)際情況是:小船前面的每一個(gè)來回至多只能渡4個(gè)人過河去,只有最后一次小船不用返回才能渡5個(gè)人過河。
解:因?yàn)槌詈笠淮慰梢远?個(gè)人外,前面若干個(gè)來回每個(gè)來回只能渡過4個(gè)人,每個(gè)來回是2次渡河,所以至少渡河
[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。
答:至少要渡河17次。
例3(1)右圖是
10、10枚硬幣,移動(dòng)其中1枚硬幣,使每一行上都有6枚硬幣。
(2)用12根火柴拼出6個(gè)邊長為1根火柴的正方形。
分析與解:(1)10枚硬幣擺兩行,一般來說每行有10÷2=5(枚)。圖中的兩行卻是一行5枚一行6枚,原因是中間有1枚在兩行的交叉點(diǎn)上,所以出現(xiàn)了5+6>10。由于題中并沒有規(guī)定每個(gè)位置上只準(zhǔn)放一枚,所以,只要使其中1枚硬幣在兩直行的交叉點(diǎn)上再“重復(fù)”一下,即在兩行的交叉點(diǎn)上重疊地放2枚硬幣(見右上圖),就可達(dá)到目的。
(2)一個(gè)正方形需要4根火柴才能拼出,12根火柴只能拼出3個(gè)正方形,即使如左下圖所示,也只能拼出4個(gè)正方形。如果我們放棄“在平面上拼”這種平常的思路,而改為在
11、“立體空間中去拼”的新思路,那么就可能“柳暗花明”。
當(dāng)思路轉(zhuǎn)向立體空間后,自然會聯(lián)想到正方體圖形。因?yàn)樗辛鶄€(gè)正方形表面,而且正方體的棱恰好是12條,所以完全符合題意。
拼法如右上圖所示。
例3的解法說明,“換一個(gè)角度”或“換一個(gè)方向”去思考問題,往往能收到“奇效”!本題(2)如果把思路始終局限在平面上那么就絕無出路。事實(shí)上,題目中并沒有這樣的限制,而是習(xí)慣的思維方式把我們限制了。一旦轉(zhuǎn)到立體空間去思考,問題就迎刃而解了。
例4一群動(dòng)物在一起玩疊羅漢游戲。每只動(dòng)物的重量都是整千克數(shù),其中,最輕的重1千克,最重的重60千克。疊羅漢規(guī)定每只動(dòng)物上面的總重量不能超過自己的重量。
12、在重1~60千克的動(dòng)物都有的情況下,它們最多能疊幾層?(疊一個(gè)動(dòng)物算一層)
分析與解:由于要求疊的層數(shù)盡量多,所以應(yīng)該想到:①最上一層應(yīng)是最輕的動(dòng)物;②每只動(dòng)物上面的總重量盡量等于自己的重量(也滿足“不超過”自己的重量要求)。按這兩條原則疊羅漢,能很容易找出各層的動(dòng)物重量,從上到下,它們依次為:
第1層 第2層 第3層 第4層 第5層 第6層 第7層 第8層
1 2 3 6 12 24 48 96
因?yàn)?6>60,所以這群動(dòng)物最多只能疊七層羅漢。(疊法不唯一)
如果只有重1,3,5,7,9,11,21千克的七個(gè)動(dòng)物,
13、按例4中的要求疊羅漢,那么最多能疊幾層?它是由哪些重量的動(dòng)物疊出來的?(答案: 5層;由重1, 3, 5, 9, 21千克的動(dòng)物疊出)
例5(1)小麗家里的鬧鐘每天早晨6點(diǎn)半準(zhǔn)時(shí)響鈴,提醒小麗起床,準(zhǔn)備上學(xué)。有一次,小麗第二天要6點(diǎn)鐘起床到學(xué)校去大掃除,她在頭天晚上9點(diǎn)時(shí)把鬧鐘鐘面時(shí)間調(diào)到8點(diǎn)半還是調(diào)到9點(diǎn)半,才能使鬧鐘第二天早晨6點(diǎn)鐘響鈴?
(2)小明和小強(qiáng)約定10點(diǎn)鐘在學(xué)校門口碰面,小明的表慢5分鐘,而他卻以為慢10分鐘;小強(qiáng)的表慢10分鐘,而他卻以為快5分鐘。他倆會面時(shí),誰遲到了?先到者等了多少時(shí)間才見到遲到者?
分析與解:解決這兩個(gè)問題的關(guān)鍵是弄清“正確時(shí)間”和“鐘面時(shí)間”的含意
14、。
(1)要使鬧鈴6點(diǎn)鐘響,即比平常提前半小時(shí)響,此時(shí)的鐘面時(shí)間是6點(diǎn)半,它比正確時(shí)間多半小時(shí)。所以,在頭天晚上9點(diǎn)調(diào)時(shí)針時(shí),必須使鐘面時(shí)間比正確時(shí)間多半小時(shí),即應(yīng)調(diào)到9點(diǎn)半。
(2)以正確時(shí)間為準(zhǔn)。小明以為他的表慢10分,所以,他比鐘面時(shí)間提早10分到達(dá),實(shí)際上他的鐘面時(shí)間只比正確時(shí)間慢5分,所以小明提前了10-5=5(分);小強(qiáng)以為他的表快5分,所以,他比鐘面時(shí)間晚到5分,實(shí)際上他的鐘面時(shí)間比正確時(shí)間慢10分,小強(qiáng)遲到了10+5=15(分)。會面時(shí),小強(qiáng)遲到了,小明等了小強(qiáng)
5+15=20(分)。
例6(1)三個(gè)小朋友三分鐘削三支鉛筆,照此效率,六個(gè)小朋友幾分鐘削六支鉛筆?
15、(2)三只貓三天吃三只老鼠,照此效率,六只貓六天吃幾只老鼠?
分析與解:這兩個(gè)問題用來訓(xùn)練對倍數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確理解。
(1)中小朋友個(gè)數(shù)變成2倍,削的鉛筆也變成2倍,所以,完成的時(shí)間應(yīng)不變,即3分鐘。
如果具體分析,那么由已知條件推知,一個(gè)小朋友削一支鉛筆需3分鐘,所以,六個(gè)小朋友削六支鉛筆還是需3分鐘。
(2)中貓的只數(shù)變成2倍,天數(shù)也變成2倍,所以,吃的老鼠只數(shù)就變成了2×2=4(倍),即吃了
3×4=12(只)。
具體分析,由已知條件推知,一只貓三天吃一只老鼠,所以,當(dāng)貓變成6倍(六只),而天數(shù)不變時(shí),就有六只貓三天吃1×6=6(只)老鼠。進(jìn)而,當(dāng)貓不變(六只),而天
16、數(shù)變?yōu)?倍(六天)時(shí),就有六只貓六天吃老鼠
6×2=12(只)。
?
練習(xí)
1.畫三條線段,能構(gòu)成幾個(gè)角?
2.用6根長短、粗細(xì)一樣的火柴棍拼出四個(gè)等邊三角形(即三邊相等的三角形),如何拼?
3.一只掛鐘,1點(diǎn)整敲1下,2點(diǎn)整敲2下……12點(diǎn)整敲12下,每半點(diǎn)整敲1下。一晝夜(24時(shí))一共要敲多少下?
4.打靶時(shí),小林和小峰各打了三槍,環(huán)數(shù)為1,2,4,5,7,9環(huán)。已知小林的總環(huán)數(shù)比小峰的總環(huán)數(shù)多6環(huán)。哪幾環(huán)是小峰打的?
5.五個(gè)小朋友圍坐在一個(gè)大圓桌邊,按順時(shí)針方向依次編為1,2,3,4,5號。老師給1,2,3,4,5號小朋友分別發(fā)1,2,3,4,5個(gè)蘋果。從5號小朋友開始,依次按順時(shí)針方向看,若鄰坐的蘋果比自己少,則送給對方一個(gè);若鄰坐的蘋果不比自己少就不送。照此做下去,到第三圈為止,他們每人手中各有多少個(gè)蘋果?
6.球場休息時(shí),保管員慌忙中把甲、乙、丙三個(gè)運(yùn)動(dòng)員先前交給他的水瓶都遞送錯(cuò)了,結(jié)果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是誰的?
7.有一個(gè)臺稱,只能稱40千克以上的重量,甲、乙、丙三個(gè)小朋友的體重都在20~39千克之間,他們都想知道自己的體重。用這臺稱怎樣才能知道他們各自的體重?
8.
(1)三個(gè)小朋友三分鐘削三支鉛筆,九個(gè)小朋友六分鐘削幾支鉛筆?
(2)三只貓三天吃三只老鼠,六只貓幾天吃18只老鼠?