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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被2,5整除的數(shù)的特征
同學(xué)們都知道,自然數(shù)和0統(tǒng)稱為(非負(fù))整數(shù)。同學(xué)們還知道,兩個(gè)整數(shù)相加,和仍是整數(shù);兩個(gè)整數(shù)相乘,乘積也是整數(shù);兩個(gè)整數(shù)相減,當(dāng)被減數(shù)不小于減數(shù)時(shí),差還是整數(shù)。兩個(gè)整數(shù)相除時(shí),情況就不那么簡(jiǎn)單了。如果被除數(shù)除以除數(shù),商是整數(shù),我們就說這個(gè)被除數(shù)能被這個(gè)除數(shù)整除;否則,就是不能整除。例如,
84能被2,3,4整除,因?yàn)?4÷2=42,84÷3=28,84÷4=21,42,28,21都是整數(shù)。
而84不能被5整除,因?yàn)?4÷5=16……4,有余數(shù)4。也不能被13整除,因?yàn)?4÷13=6……6,有余數(shù)6。
因
2、為0除以任何自然數(shù),商都是0,所以0能被任何自然數(shù)整除。
這一講的內(nèi)容是能被2和5整除的數(shù)的特征,也就是討論什么樣的數(shù)能被2或5整除。
1.能被2整除的數(shù)的特征
因?yàn)槿魏握麛?shù)乘以2,所得乘數(shù)的個(gè)位數(shù)只有0,2,4,6,8五種情況,所以,能被2整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是0,2,4,6或8。也就是說,凡是個(gè)位數(shù)是0,2,4,6,8的整數(shù)一定能被2整除,凡是個(gè)位數(shù)是1,3,5,7,9的整數(shù)一定不能被2整除。
例如,38,172,960等都能被2整除,67,881,235等都不能被2整除。
能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù),不能被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。
0,2,4,6,8,10
3、,12,14,…就是全體偶數(shù)。
1,3,5,7,9,11,13,15,…就是全體奇數(shù)。
偶數(shù)和奇數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì):
偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù),
奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù),
偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù),
奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù),
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù),
偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù),
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。
例1在1~199中,有多少個(gè)奇數(shù)?有多少個(gè)偶數(shù)?其中奇數(shù)之和與偶數(shù)之和誰(shuí)大?大多少?
分析與解:由于1,2,3,4,…,197,198,199是奇、偶數(shù)交替排列的,從小到大兩兩配對(duì):
(1,2),(3,4),…,(197,198),
還剩一個(gè)199。共有198÷2=99(對(duì)
4、),還剩一個(gè)奇數(shù)199。所以
奇數(shù)的個(gè)數(shù)=198÷2+1=100(個(gè)),
偶數(shù)的個(gè)數(shù)=198÷2=99(個(gè))。
因?yàn)槊繉?duì)中的偶數(shù)比奇數(shù)大1,99對(duì)共大99,而199-99=100,所以奇數(shù)之和比偶數(shù)之和大,大100。
如果按從大到小兩兩配對(duì):
(199,198),(197,196),…,(3,2),那么怎樣解呢?
例2(1)不算出結(jié)果,判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)?
(2)數(shù)(42□+30-147)能被2整除,那么,□里可填什么數(shù)?
(3)下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)?
1×3×5×7×9×11×13×14×15。
解:根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算
5、性質(zhì):
(1)因?yàn)?24,42是偶數(shù),所以(524+42)是偶數(shù)。又因?yàn)?29是奇數(shù),所以(524+42-429)是奇數(shù)。
(2)數(shù)(42□+30-147)能被2整除,則它一定是偶數(shù)。因?yàn)?47是奇數(shù),所以數(shù)(42□+30)必是奇數(shù)。又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù),所以,數(shù)42□必為奇數(shù)。于是,□里只能填奇數(shù)1,3,5,7,9。
(3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇數(shù),由1×3為奇數(shù),推知1×3×5為奇數(shù)……推知
1×3×5×7×9×11×13×15
為奇數(shù)。因?yàn)?4為偶數(shù),所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數(shù),即
1×3×5×7×9×1
6、1×13×14×15為偶數(shù)。
由例2得出:
(1)在全部是加、減法的運(yùn)算中,若參加運(yùn)算的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),則結(jié)果是偶數(shù);若參加運(yùn)算的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),則結(jié)果是奇數(shù)。
(2)在連乘運(yùn)算中,只要有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù),則整個(gè)乘積一定是偶數(shù)。
例3在黑板上先寫出三個(gè)自然數(shù)3,然后任意擦去其中的一個(gè),換成所剩兩個(gè)數(shù)的和。照這樣進(jìn)行100次后,黑板上留下的三個(gè)自然數(shù)的奇偶性如何?它們的乘積是奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么?
解:根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知:
第一次擦后,改寫得到的三個(gè)數(shù)是6,3,3,是“二奇一偶”;
第二次擦后,改寫得到的三個(gè)數(shù)是6,3,3或6,9,3或6,3,9,都是“二奇一偶”
7、。
以后若擦去的是偶數(shù),則改寫得到的數(shù)為二奇數(shù)之和,是偶數(shù);若擦去的是奇數(shù),則改寫得到的數(shù)為一奇一偶之和,是奇數(shù)??傊?,黑板上仍保持“二奇一偶”。
所以,無論進(jìn)行多少次擦去與改寫,黑板上的三個(gè)數(shù)始終為“二奇一偶”。它們的乘積
奇數(shù)×奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。
故進(jìn)行100次后,所得的三個(gè)自然數(shù)的奇偶性為二奇數(shù)、一偶數(shù),它們的乘積一定是偶數(shù)。
2.能被5整除的數(shù)的特征
由0×5=0,2×5=10,4×5=20,6×5=30,8×5= 40,…可以推想任何一個(gè)偶數(shù)乘以5,所得乘積的個(gè)位數(shù)都是0。
由1×5=5,3×5=15,5×5=25,7×5=35,9×5= 4
8、5,…可以推想,任何一個(gè)奇數(shù)乘以5,所得乘積的個(gè)位數(shù)都是5。
因此,能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是0或5。也就是說,凡是個(gè)位數(shù)是0或5的整數(shù)一定能被5整除;凡是個(gè)位數(shù)不是0或5的整數(shù)一定不能被5整除。例如,870,6275,1234567890等都能被5整除,264,3588等都不能被5整除。
例4由0,3,5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,有哪些能被5整除?
解:因?yàn)閭€(gè)位數(shù)為0或5的數(shù)才能被5整除,所以由0,3,5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,只有350,530,305三個(gè)數(shù)能被5整除。
例5下面的連乘積中,末尾有多少個(gè)0?
1×2×3×…×29×30。
解:因?yàn)?×5=10
9、,所以在連乘積中,有一個(gè)因子2和一個(gè)因子5,末尾就有一個(gè)0。連乘積中末尾的0的個(gè)數(shù),等于1~30中因子2的個(gè)數(shù)與因子5的個(gè)數(shù)中較少的一個(gè)。而在連乘積中,因子2的個(gè)數(shù)比因子5的個(gè)數(shù)多(如4含兩個(gè)因子2,8含三個(gè)因子2),所以,連乘積末尾0的個(gè)數(shù)與連乘積中因子5的個(gè)數(shù)相同。連乘積中含因子5的數(shù)有5,10,15,20,25,30,這些數(shù)中共含有七個(gè)因子 5(其中25含有兩個(gè)因子5)。所以,1×2×3×…×29×30的積中,末尾有七個(gè)0。
?
附送:
2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征
上一講我們講了能被2,5整除的數(shù)的特征,根據(jù)這些特征,很容易就能判別出一
10、個(gè)數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會(huì)問,有沒有類似的簡(jiǎn)便方法,直接判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除?
我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù):
18,345,4737,25674
18能被3整除,1+8=9也能被3整除;
345能被3整除,3+4+5=9也能被3整除;
4737能被3整除,4+7+3+7=21也能被3整除;
25674能被3整除,2+5+6+7+4=24也能被3整除。
怎么這么巧?我們?cè)僭囈粋€(gè):7896852能被3整除,7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了,不用再試了,同學(xué)們可能已經(jīng)在想:“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3
11、整除?”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹,我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。
由99和9都能被3整除,推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除,推知(7+4+1)能被3整除;反之,由(7+4+1)能被3整除,推知741能被3整除。
因此,判斷一個(gè)整數(shù)能否被3整除的簡(jiǎn)便方法是:
如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除,那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除,那么此整數(shù)不能被3整除。
例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除:
2574,38974,587931。
解:因?yàn)?+5+7+4=18,18能被3整除,所以2574能被3整除;
12、
因?yàn)?+8+9+7+4=31,31不能被3整除,所以38974不能被3整除;
因?yàn)?+8+7+9+3+1=33,33能被3整除,所以587931能被3整除。
為了今后使用方便,我們介紹一個(gè)表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母來表示時(shí),為防止理解錯(cuò)誤,就在這個(gè)多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個(gè)多位數(shù)。例如,表示這個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位依次是3,a,5;又如,表示這個(gè)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位依次是a,b,c,d。
例2六位數(shù)能被3整除,數(shù)字a=?
解:2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除,數(shù)字a只能是2,5或8。即符合題意的a是2,5或8。
13、
例3由1,3,5,7這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,有幾個(gè)能被3整除?
解:在1,3,5,7這四個(gè)數(shù)中,任取三個(gè),共有4組:
1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7。其中,1+3+5和3+5+7能被3整除,所以,由1,3,5或3,5,7寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1,3,5可寫成135,153,315,351,513,531六個(gè)三位數(shù);同理,由3,5,7也能寫成6個(gè)三位數(shù)。
所以,符合題意的三位數(shù)有6×2=12(個(gè))。
例4被2,3,5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾?
解:除1以外,被2除余1的所有整數(shù)是
3,5,7,9,11,…,27,2
14、9,31,33,…
被3除余1的所有整數(shù)是
4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…
被5除余1的所有整數(shù)是
6,11,16,21,26,31,36,…
上面三列數(shù)中,第一個(gè)同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)是31,所以31是同時(shí)滿足被2,3,5除均余1且不等于1的最小數(shù)。
例4中使用的方法是解這類題型的基本方法,但不夠簡(jiǎn)捷。一個(gè)較簡(jiǎn)捷的方法是:
因?yàn)?大于2和3,所以先從被5除余1的數(shù)
1,6,11,16,21,26,31,36,…
中找出第一個(gè)(1除外)同時(shí)滿足被2和3除都余1的數(shù)31,就為所求。
到五年級(jí)學(xué)了更多的知識(shí)后,還可直接由2×
15、3×5+1=31得到所求數(shù)。
例5同時(shí)能被2,3,5整除的最小三位數(shù)是幾?
解:能被5整除的三位數(shù)是
100,105,110,115,120,125,…其中,第一個(gè)能同時(shí)被2,3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù),且1+2+0=3),故120為所求。
?
練習(xí)
1.直接判斷25874和978651能否被3整除。
3.由2,3,4,5這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,有幾個(gè)能被3整除?
4.(1)被2,3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾?
(2)被3,5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾?
5.同時(shí)能被2,3,5整除的最小自然數(shù)是幾?
6.同時(shí)能被2,3,5整除的最大三位數(shù)是幾?
7.一根鐵絲長(zhǎng)125厘米,要把它剪成長(zhǎng)2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段?