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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律(一)
這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”,然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。
按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如,
(1) 1,2,3,4,5,6,…
(2) 1,2,4,8,16,32;
(3) 1,0,0,1,0,0,1,…
(4) 1,1,2,3,5,8,13。
一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù),稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如,數(shù)列(1)的第3項(xiàng)是3,數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地,我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an。
數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè),如數(shù)列(2)(4),也可以是無限多個(gè),如數(shù)列(1)(3)。
許多數(shù)列中的數(shù)
2、是按一定規(guī)律排列的,我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。
數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的,也叫做自然數(shù)數(shù)列,其規(guī)律是:后項(xiàng)=前項(xiàng)+1,或第n項(xiàng)an=n。
數(shù)列(2)的規(guī)律是:后項(xiàng)=前項(xiàng)×2,或第n項(xiàng)
數(shù)列(3)的規(guī)律是:“1,0,0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。
數(shù)列(4)的規(guī)律是:從第三項(xiàng)起,每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和,即
a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,
a6=3+5=8,a7=5+8=13。
常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類:
第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān),或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。
第二類是前后
3、幾項(xiàng)為一組,以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。
第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些,我們用后面的例3、例4來作一些說明。
例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)4,7,10,13,( ),…
(2)84,72,60,( ),( );
(3)2,6,18,( ),( ),…
(4)625,125,25,( ),( );
(5)1,4,9,16,( ),…
(6)2,6,12,20,( ),( ),…
解:通過對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析,可發(fā)現(xiàn)
(1)的規(guī)律是:前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)
4、填16。
(2)的規(guī)律是:前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48,36。
(3)的規(guī)律是:前項(xiàng)×3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填54,162。
(4)的規(guī)律是:前項(xiàng)÷5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5,1。
(5)的規(guī)律是:數(shù)列各項(xiàng)依次為
1=1×1, 4=2×2, 9=3×3, 16=4×4,
所以應(yīng)填5×5=25。
(6)的規(guī)律是:數(shù)列各項(xiàng)依次為
2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,
所以,應(yīng)填 5×6=30, 6×7=42。
說明:本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān),因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為
(1)an=3n+1;(2)an=96-1
5、2n;
(3)an=2×3n-1;(4)an=55-n;(5)an=n2;(6)an=n(n+1)。
這樣表示的好處在于,如果求第100項(xiàng)等于幾,那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算,直接就可以算出來,比如數(shù)列(1)的第100項(xiàng)等于3×100+1=301。本例中,數(shù)列(2)(4)只有5項(xiàng),當(dāng)然沒有必要計(jì)算大于5的項(xiàng)數(shù)了。
例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)1,2,2,3,3,4,( ),( );
(2)( ),( ),10,5,12,6,14,7;
(3) 3,7,10,17,27,( );
(4) 1,2,2,4,8,32,( )。
解:通過對(duì)各數(shù)列
6、已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。
(1)把數(shù)列每兩項(xiàng)分為一組,1,2,2,3,3,4,不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是:前一組每個(gè)數(shù)加1得到后一組數(shù),所以應(yīng)填4,5。
(2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組:10,5,12,6,14,7,每組中兩數(shù)的商都是2,且由5,6,7的次序知,應(yīng)填8,4。
(3)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是:前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng),故應(yīng)填( 17+27=)44。
(4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是:前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng),故應(yīng)填(8×32=)256。
例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)18,20,24,30,( );
(2)11,12,14,18,26,(
7、);
(3)2,5,11,23,47,( ),( )。
解:(1)因20-18=2,24-20=4,30-24=6,說明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列2,4,6,…其規(guī)律是“依次加2”,因?yàn)?后面是8,所以,a5-a4=a5-30=8,故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1,14-12=2, 18-14=4, 26-18=8,組成一新數(shù)列1,2,4,8,…按此規(guī)律,8后面為16。因此,a6-a5=a6-26=16,故a6=16+26=42。
(3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系,后項(xiàng)=前項(xiàng)×2+1,所以
a6=2a5+1=2×47+1=95,
a7=2a6+1=2×95
8、+1=191。
例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)12,15,17,30, 22,45,( ),( );
(2) 2,8,5,6,8,4,( ),( )。
解:(1)數(shù)列的第1,3,5,…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12,17, 22,…其規(guī)律是“依次加5”,22后面的項(xiàng)就是27;數(shù)列的第2,4,6,…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列15,30,45,…其規(guī)律是“依次加15”,45后面的項(xiàng)就是60。故應(yīng)填27,60。
(2)如(1)分析,由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2,5,8,…中,8后面的數(shù)應(yīng)為11;由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8,6,4,… 中,4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11,2。
??
9、
?練習(xí)5
按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。
1.56,49,42,35,( )。
2.11, 15, 19, 23,( ),…
3.3,6,12,24,( )。
4.2,3,5,9,17,( ),…
5.1,3,4,7,11,( )。
6.1,3,7,13,21,( )。
7.3,5,3,10,3,15,( ),( )。
8.8,3,9,4,10,5,( ),( )。
9.2,5,10,17,26,( )。
10.15,21,18,19,21,17,( ),( )。
11.數(shù)列1,3,5,7,11,13
10、,15,17。
(1)如果其中缺少一個(gè)數(shù),那么這個(gè)數(shù)是幾?應(yīng)補(bǔ)在何處?
(2)如果其中多了一個(gè)數(shù),那么這個(gè)數(shù)是幾?為什么?
附送:
2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律(二)
這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。
例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律,并按照這個(gè)規(guī)律將第四個(gè)圖形補(bǔ)充完整。
分析與解:觀察前三個(gè)圖,從左至右,黑點(diǎn)數(shù)依次為4,3,2個(gè),并且每個(gè)圖形依次按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,所以第四個(gè)圖如右圖所示。
觀察圖形的變化,主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對(duì)位置入手,從中找出變化規(guī)律。
例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)
11、律,并按此規(guī)律在“?”處填上合適的數(shù):
解:(1)觀察前兩個(gè)圖形中的數(shù)可知,大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個(gè)小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半,故
第三個(gè)圖形中的“?”=5×3×8÷2=60;
第四個(gè)圖形中的“?”=(21×2)÷3÷2=7。
(2)觀察前兩個(gè)圖形中的已知數(shù),發(fā)現(xiàn)有
10=8+5-3, 8=7+4-3,
即三角形里面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故
第三個(gè)圖形中的“?”=12+1-5=8;
第四個(gè)圖形中的“?”=7+1-5=3。
例3 尋找規(guī)律填數(shù):
解:(1)考察上、下兩數(shù)的差。32-16=16,31-15=16
12、,33-17=16,可知,上面那個(gè)“?”=35-16=19,下面那個(gè)“?”=18+16=34。
(2)從左至右,一上一下地看,由1,3,5,?,9,…知,12下面的“?”=7;一下一上看,由6,8,10,12,?,…知,9下面的“?”=14。
例4 尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù):
解:(1)因?yàn)榍皟蓤D中的三個(gè)數(shù)滿足:
256=4×64,72=6×12,
所以,第三圖中空格應(yīng)填12×15=180;第四圖中空格應(yīng)填169÷13=13。第五圖中空格應(yīng)填224÷7=32。
(2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對(duì)應(yīng)數(shù)的3倍,故43下面應(yīng)填43×3=129;87上面應(yīng)填87÷3=2
13、9。
例5在下列表格中尋找規(guī)律,并求出“?”:
解:(1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)3+8=11,4+2=6,所以,?=5+7=12。
(2)觀察每列中三數(shù)的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)1+3×2=7,7+2×2=11,所以,?=4+5×2=14。
例6 尋找規(guī)律填數(shù):
(1)
(2)
解:(1)觀察其規(guī)律知
(2)觀察其規(guī)律知:
觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化,并能從圖形、數(shù)量間的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,這種能力對(duì)于同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)將大有益處。
?
?練習(xí)
尋找規(guī)律填數(shù):
6.下圖中第50個(gè)圖形是△還是○?
○△○○○△○○○△○…