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111 第5節(jié) 伽利略對自由落體運動的研究 理解領(lǐng)悟 對于落體運動，自古以來許多人都研究過。本節(jié)課介紹落體運動的研究歷史，主要是介紹伽利略對自由落體運動的研究過程和他的科學(xué)思維方法。要通過自主學(xué)習(xí)，獨立的思考、歸納和總結(jié)，提出自己的看法與體會。 另外，作為勻變速直線運動規(guī)律的應(yīng)用，我們補(bǔ)充介紹了豎直上拋運動的相關(guān)知識。這部分內(nèi)容教材沒有涉及，屬于“提高級”知識，供學(xué)有余力的同學(xué)參考。 基礎(chǔ)級 1. 延續(xù)了兩千年的錯誤認(rèn)識 古希臘的學(xué)者們認(rèn)為，物體下落的快慢是由它們的重量決定的，物體越重，下落得越快。生活在公元前四世紀(jì)的古希臘哲學(xué)家亞里士多德最早闡述了這種看法，他認(rèn)為，物體下落的快慢精確地與它們的重量成正比。亞里士多德的論斷影響深遠(yuǎn)，在其后兩千多年的時間里，人們一直信奉他的學(xué)說。但是，這種從表面上的觀察得出的結(jié)論實際上是錯誤的。 2. 伽利略對自由落體運動的研究 16世紀(jì)，意大利學(xué)者伽利略對亞里士多德的看法提出了質(zhì)疑，并對自由落體運動進(jìn)行了深入的研究。伽利略對自由落體運動的研究方法大體可歸結(jié)為以下幾點： 發(fā)現(xiàn)問題 伽利略發(fā)現(xiàn)亞里士多德的觀點有自相矛盾的地方。伽利略認(rèn)為，如果亞里士多德的觀點是對的，即重物比輕物下落得快，那么把重物和輕物拴在一起下落，它們將是什么結(jié)果呢？照亞里士多德的說法，重物下落得快，輕物下落的得慢，由于兩物拴在一起，“輕的”被“慢的”拉著，“慢的”被“快的”拖著，所以兩物拴在一起的速度應(yīng)是不快不慢。同樣，照亞里士多德的說法，兩物拴在一起，應(yīng)該是更重了，那它們應(yīng)該下落得更快。這兩個結(jié)論都是由亞里士多德的論斷推出來的，但得到的卻是互相矛盾的結(jié)果。可見，亞里士多德的觀點是錯誤的。 提出假設(shè) 伽利略認(rèn)為，重物與輕物應(yīng)該下落得同樣快。他猜想落體運動應(yīng)該是一種最簡單的變速運動，物體的速度應(yīng)該是均勻變化的。但是，速度的變化怎樣才算是均勻的呢？他考慮了兩種可能：一種是速度的變化對時間來說是均勻的，即v與t成正比；另一種是速度的變化對位移來說是均勻的，即v與x成正比。 數(shù)學(xué)推理 伽利略通過數(shù)學(xué)運算得出：如果v與x成正比，將會得到荒謬的結(jié)論；如果v與t成正比，它通過的位移x就與t2成正比。 實驗驗證 為了便于測量時間，伽利略設(shè)法用斜面做實驗。他在木制斜槽上蒙上羊皮紙，讓銅球從光滑的羊皮斜槽上滾下，通過上百次對不同質(zhì)量的小球沿不同傾角的光滑斜面越大的定量研究，發(fā)現(xiàn)小球沿光滑斜面運動時通過的位移x確實與t2成正比，小球的運動是勻變速直線運動，且傾角一定不同小球的加速度一定，傾角越大加速度越大。 合理外推 伽利略將他在斜面實驗中得出的結(jié)論做了合理的外推：設(shè)想斜面的傾角越接近900，小球沿斜面滾下的運動就越接近于自由落體運動；當(dāng)斜面的傾角達(dá)到900時，小球就做自由落體運動。從而，自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動，且所有物體自由下落時的加速度都相同。 3. 從伽利略看科學(xué)與社會 教材在本節(jié)“STS”欄目中講述了“從伽利略的一生看科學(xué)與社會”這一問題，建議認(rèn)真讀一讀。文中提到：文藝復(fù)興的精神打破了束縛人們思想的桎梏，激發(fā)了人們對自然的興趣和對自然的探索?；钴S在人們心中的各種思想，終于得到實在的結(jié)果。而教會對科學(xué)的干涉和對伽利略的迫害則造成了嚴(yán)重后果。以前一直人才輩出的意大利，在伽利略死后，它的科學(xué)活動便很快地衰落下去了。這說明，沒有學(xué)術(shù)的民主和思想的自由，科學(xué)就不能繁榮。 發(fā)展級 4. 重物下落引發(fā)的兩個有趣問題 1969年美國實現(xiàn)登月，這是人類首次登月成功。在一次登月活動中，宇航員David R.Scott在月球上證實了榔頭與羽毛下落一樣快，月球的引力加速度為1.67m/s2。 1922年美國人厄阜等做了重物下落的細(xì)微實驗，發(fā)現(xiàn)重力加速度隨不同材料大約有1%的變化。1986年菲斯巴赫等人認(rèn)為，物體與物體之間除引力外還存在微小的排斥力，稱為超負(fù)載力。美國馬薩諸塞大學(xué)的約多諾古和假斯坦導(dǎo)出了不同物體下落加速度不同的結(jié)論，引力加速度與質(zhì)量和溫度有關(guān)。這個問題現(xiàn)在還沒有最后定論。 5. 什么是豎直上拋運動 將物體用一定的初速度沿豎直方向向上拋出去，物體在只受重力作用下所做的運動叫做豎直上拋運動。 6. 豎直上拋運動的兩種分析方法 對于豎直上拋運動，有兩種不同的分析方法，即分段法和整體法。 分段法： 豎直上拋的物體，在上升過程中，速度越來越小，加速度的方向跟速度的方向相反，是豎直向下的；當(dāng)速度減小到0的時候，物體上升到最大高度。然后物體從這個高度自由下落，速度越來越大，加速度的方向跟速度的方向相同，也是豎直向下的。由于物體只受重力作用，這兩個過程的加速度都是重力加速度g。因此，在處理豎直上拋運動的問題時，可以分兩步進(jìn)行計算：上升過程用初速度為0的勻變速直線運動公式來計算，下降過程用自由落體運動公式來計算。 整體法： 由于上升過程和下降過程的加速度矢量是相同的，我們也可以把豎直上拋運動看作是一個統(tǒng)一的勻變速直線運動，而上升運動和下降運動不過是這個統(tǒng)一的運動的兩個過程。這樣，我們就可以用勻變速直線運動的公式或關(guān)系式來統(tǒng)一討論豎直上拋運動。在討論這類問題中，我們習(xí)慣上總是取豎直向上的方向作為正方向，重力加速度g總是取絕對值。這樣，豎直上拋運動的公式或關(guān)系式通常就寫做： 速度公式 ， 位移公式 ， 速度—位移關(guān)系式 ， 用平均速度求位移的公式 。 注意：上述公式中的t是從拋出時刻開始計時的，x是運動物體對拋出點的位移。 5. 豎直上拋運動的幾個具體問題 現(xiàn)在，我們應(yīng)用豎直上拋運動的上述規(guī)律討論幾個具體問題。 （1）物體上升的時間 設(shè)物體經(jīng)過時間t1上升到最高點，在這一時刻，物體是靜止的，由此可得 ， 所以物體上升的時間 。 （2）上升的最大高度 物體上升的最大高度，就是時的高度。把這個式子代入位移公式就可以得出物體上升的最大高度H: 。 上式也可以直接從速度—位移關(guān)系式得出。 （3）物體下落的時間 物體落回到初位置時位移為0，即。代入位移公式得 ，。 所以 ，。 表示物體運動開始時的時刻，表示物體經(jīng)過上升和下降過程后落回原地所需的時間。如果物體下降過程的時間為t2，那么，所以 。 比較t1和t2可知t1= t2，，即物體上升到最大高度所用的時間跟物體從這個最大高度落回原地所用的時間相等。 (4) 落地速度 已知落地時間為，由公式可以求出落回原地的速度為 。 可見，物體落回原地的速度跟拋出的初速度大小相等，方向相反。 實際上，在豎直上拋運動中，不但上升時間等于下落時間，而且在上述過程中通過某一位置的速度和下落過程中通過這個位置的速度總是大小相等、方向相反的。有興趣的同學(xué)，對于后一論斷可以自己試做證明。 應(yīng)用鏈接 本節(jié)課的應(yīng)用主要涉及伽利略的科學(xué)探究方法，以及豎直上拋運動規(guī)律的分析和計算。 基礎(chǔ)級 例1 伽利略以前的學(xué)者認(rèn)為，物體越重，下落越快。伽利略等一些物理學(xué)家否定了這種看法。 （1）在一高塔頂端同時釋放一片羽毛和一個玻璃球，玻璃球先于羽毛到達(dá)地面，這主要是因為（ ） A. 它們的質(zhì)量不等 B. 它們的密度不等 C. 它們的材料不同 D. 它們所受的空氣阻力不等 （2）在此塔頂端同時釋放大小相等的實心鐵球和空心鐵球，下列說法中正確的是（ ） ① 它們受到的空氣阻力不等 ② 它們的加速度相等 ③ 它們落地的速度不等 ④ 它們下落的時間相等 A. ①③ B. ②④ C. 只有② D. 只有③ 提示 羽毛下落時空氣阻力不能忽略，玻璃球和鐵球下落時空氣阻力可以忽略。 解析 （1）玻璃球先于羽毛到達(dá)地面，這主要是因為羽毛受到的空氣阻力大的緣故。正確選項為D。 （2）大小相等的實心鐵球和空心鐵球受到的空氣阻力相等。在忽略空氣阻力的情況下，兩球均做自由落體運動，它們的加速度相等。因下落高度相等，故下落的時間相等，落地的速度相等。正確選項為B。 點悟 羽毛下落得比玻璃球慢，是由于空氣阻力的影響。在空氣阻力很小而可以忽略的情況下，實心鐵球和空心鐵球均做自由落體運動，下落的快慢程度相同。要拋棄亞里士多德的錯誤觀點，不要以為重物比輕物下落得快。 例2 滴水法測重力加速度的過程是這樣的：讓水龍頭的水一滴一滴地滴在其正下方的盤子里，調(diào)整水龍頭，讓前一滴水滴到盤子而聽到聲音時，后一滴恰好離開水龍頭。從第1次聽到水擊盤聲時開始計時，測出n次聽到水擊盤聲的總時間為t，用刻度尺量出水龍頭到盤子的高度差為h，即可算出重力加速度。設(shè)人耳能區(qū)別兩個聲音的時間間隔為0.1s，聲速為340m/s，則（ ） A. 水龍頭距人耳的距離至少為34m B. 水龍頭距盤子的距離至少為34m C. 重力加速度的計算式為 D. 重力加速度的計算式為 提示 從自由落體運動位移公式出發(fā)進(jìn)行分析。 解析 只要相鄰兩滴水滴下的時間間隔超過0.1s，人耳就能分辨出兩滴水的擊盤聲，而與水龍頭距人耳的距離無關(guān)（只要人耳能夠聽到聲音）。在0.1s內(nèi)，水滴下落的距離 m=0.05m, 所以，水龍頭距人耳的距離只要超過0.05m就行。 水龍頭滴兩滴水的時間間隔為，由可得 。 所以，本題正確選項為D。 點悟 這是一種既“土”又實用的測定重力加速度的方法，同學(xué)們不妨動手做一做。請進(jìn)一步思考：在這個實驗中，為什么要測從第1滴水滴開始下落到第n滴水滴恰好落到盤中這段時間，而不是直接測第1滴水滴在空中的運動時間？當(dāng)?shù)?滴水滴落到盤中時，第2滴水滴離水龍頭的距離為多少？ 例3 實驗室備有下列儀器： A. 長度為1m、最小刻度為毫米的刻度尺； B. 長度為1m、最小刻度為分米的刻度尺； C. 秒表； D. 打點計時器； E. 低壓交流電源（50Hz） F. 低壓直流電源 G. 天平。 為了測量重錘下落的加速度的數(shù)值，上述儀器中必須有的是 （填字母代號），實驗是通過研究重錘做 運動來測量重錘下落加速度的。 把重錘固定在紙帶下端，讓紙帶穿過打點計時器，當(dāng)重錘自由下落時，打點計時器在紙帶上打出一系列的點。取連續(xù)清晰的7個點，用刻度尺測出第2、3、4、5、6、7各點與第1點的距離d如下表所示： 點的次序 1 2 3 4 5 6 7 距離 d/cm 0 6.0 12.5 19.3 26.5 34.1 42.1 請用這些數(shù)據(jù)求出重力加速度的測量值。 提示 算出各點的速度，畫出速度圖象，由圖線的斜率可得重錘下落的加速度即重力加速度；或者由速度值求加速度，再取平均值；也可用逐差法直接求加速度，再取平均值。 解析 實驗時，上述儀器中必須有的是：低壓交流電源（50Hz）和打點計時器（用來打點），以及長度為1m、最小刻度為毫米的刻度尺（用來測量點跡之間的距離）。第1空內(nèi)應(yīng)填A(yù)、D、E。第2空內(nèi)應(yīng)填自由落體運動。 我們用逐差法來求重力加速度的測量值：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得紙帶上相鄰兩點間的距離依次為 d1=6.0cm, d2=12.5cm－6.0cm=6,5cm, d3=19.3cm－12.5cm=6.8cm, d4=26.5cm－19.3cm=7.2cm, d5=34.1cm－26.5cm=7.6cm, d6=42.1cm－34.1cm=8.0cm。 可得重物下落的加速度為 cm/s2=10m/s2, cm/s2≈9.17m/s2, cm/s2=10m/s2。 從而，重力加速度的測量值為 m/s2≈9.72m/s2。 點悟 用打點計時器測量物體運動的加速度，這是最基本的一項實驗。要掌握實驗原理、實驗器材、操作步驟和數(shù)據(jù)處理方法。 例4 一種實驗器材叫做光電門，它可以測出某物體經(jīng)過光電門所用的時間，如果知道物體的寬度，就可以求出這一小段過程的平均速度。你能用這種器材設(shè)計出研究自由落體運動的實驗嗎？ 提示 一小段過程的平均速度可當(dāng)作物體通過光電門時的瞬時速度。 解析 讓物體自由下落，將光電門放在物體經(jīng)過的不同位置，測出物體經(jīng)過光電門所用的時間△t，量出物體的寬度△x，則物體通過光電門時的速度v。量出光電門與物體初位置間的距離h，如果能得出的關(guān)系，就可說明物體的運動是初速度為0的勻加速直線運動。由，可得。多次測量，可求出g的平均值。 點悟 本題為設(shè)計性實驗題，題目要求根據(jù)提供的器材設(shè)計研究自由落體運動的實驗。根據(jù)題中有關(guān)光電門作用的提示，結(jié)合自由落體運動的規(guī)律，不難得出測量方法。要注意培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提高這種設(shè)計實驗的能力。 發(fā)展級 例5 在15m高的塔上以4m/s的初速度豎直上拋一個石子，求經(jīng)過2s后石子離地面的高度。（g取10m/s2） 提示 用位移公式來計算。 解析 由豎直上拋運動位移公式可得 mm=－12m。 這表示經(jīng)過2s后石子對拋出點的位移的大小為12m，方向是豎直向下的，即石子經(jīng)過2s后在塔頂下方12m處，因而離地面的高度為 m－12m=3m。 點悟 上述解法采用了整體分析法，我們也可以分上升運動和下降運動兩步來計算： 石子上升到最高點的時間 s=0.4s， 離塔頂?shù)淖畲蟾叨? m=0.8m， 石子從最高點下落的距離 m=12.8m。 可見，石子離地面的高度為 m+0.8m－12.8m=3m。 顯然，這樣分步計算比較麻煩。 例6 由地面豎直上拋一個物體，通過樓房上1.55m高的窗戶，需要0.1s；當(dāng)物體下落時，由下窗沿落到地面的時間為0.2s。求物體上升的最大高度。（g取10m/s2） 提示 應(yīng)用勻變速直線運動規(guī)律，設(shè)法求出物體豎直上拋的初速度。 解析 物體做豎直上拋運動，根據(jù)對稱性，下降階段經(jīng)過窗戶的時間與上升階段經(jīng)過窗戶的實際相等。研究下降階段物體經(jīng)過窗戶的運動，由位移公式可得物體到達(dá)窗戶上沿時的速度m/s=15m/s。 由速度公式可得物體落地的速度 =15m/s+10(0.1+0.2)m/s=18m/s。 根據(jù)對稱性，可知物體從地面拋出時的速度也為18m/s，即v’=18m/s。所以，物體上升的最大高度 m=16.2m。 點悟 豎直上拋運動上升階段與下降階段的運動，在時間、位移、速度上均具有對稱性。運用這種對稱性分析求解豎直上拋運動的有關(guān)問題，往往能出奇制勝。 練習(xí)鞏固（2—5） 基礎(chǔ)級 1. 自由落體運動的條件是什么？研究自由落體運動的價值在哪里？ 2. 你在“錢羽管”演示實驗中觀察到什么現(xiàn)象？該實驗說明了什么？ 3. 早在2000多年前，古希臘的哲學(xué)家亞里士多德通過對落體運動的觀察、研究，得出“物體下落快慢由物體重力決定”，即“物體越重下落越快”的結(jié)論。請舉例說明亞里士多德的這一觀點是錯誤的。 4. 請簡要說明伽利略對自由落體運動的研究方法。 5. 甲、乙兩位同學(xué)一起做測量反應(yīng)時間的實驗（參見教材圖2.4-2）。實驗時，甲用一只手在直尺下部做握住直尺的準(zhǔn)備，當(dāng)看到乙同學(xué)放開手時，他立即握住直尺。如果測出直尺下降的高度為11.25cm，請你計算甲同學(xué)的反應(yīng)時間。（g取10m/s2） 6. 用下列兩種方法觀察自由落體運動的特點： 方法一 取一根長2m左右的細(xì)線，5~6個鐵墊圈和一個金屬盤。在線的最下端系上第一個墊圈，隔12cm再系一個，以后墊圈之間的距離依次為36cm、60cm、84cm，即各墊圈之間的距離為1︰3︰5︰7︰……。 方法二 仍取2m長的線，5個鐵墊圈。線端系第一個墊圈，以后每隔48cm系一個。 站在椅子上，提起線的上端，讓線自由垂下。松手后，注意聽個墊圈落到盤上的聲音間隔。兩種方法之間聲音間隔有什么不同？為什么有這種區(qū)別？ 7. 到圖書館去或上網(wǎng)查閱有關(guān)文藝復(fù)興時期的史料和伽利略的生平，然后寫篇短文，談?wù)勀銓Α翱茖W(xué)與社會”的認(rèn)識，并與同學(xué)交流。 發(fā)展級 8. 豎直向上射出的箭，初速度是35m/s，上升的最大高度是多大？從射出到落回原地一共用多長時間？落回原地的速度是多大？（g取10m/s2） 9. 豎直上拋的物體，初速度是30m/s，經(jīng)過2.0s、3.0s、4.0s，物體的位移分別是多大？通過的路程分別是多長？各秒末的速度分別是多大？（g取10m/s2） 10. 氣球以10m/s的速度勻速豎直上升，從氣球上掉下一個物體，經(jīng)過17s到達(dá)地面。求物體剛脫離氣球時氣球的高度。（g取10m/s2） 111