提分專練03　反比例函數(shù)綜合問(wèn)題 類型1　反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合 1.如圖T3-1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線y1=2x. (1)當(dāng)x　　　　時(shí),y1>0;  (2)如果直線y2=-x+b與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),求b的取值范圍; (3)如果直線y2=-x+b與雙曲線y1=2x交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1.設(shè)E為線段AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線EF,交雙曲線于點(diǎn)F.求線段EF的長(zhǎng). 圖T3-1 2.[2019·柳州德潤(rùn)中學(xué)模擬]如圖T3-2,反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,4),直線y=-x+b(b≠0)與雙曲線y=kx在第二、四象限分別相交于P,Q兩點(diǎn),與x軸,y軸分別相交于C,D兩點(diǎn). (1)求k的值; (2)當(dāng)b=-2時(shí),求△OCD的面積; (3)連接OQ,是否存在實(shí)數(shù)b,使得S△ODQ=S△OCD?若存在,請(qǐng)求出b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖T3-2 3.[2017·柳州]如圖T3-3,直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于A(-1,m),B(n,-1)兩點(diǎn),過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D. (1)求m,n的值及反比例函數(shù)的解析式; (2)請(qǐng)問(wèn):在直線y=-x+2上是否存在點(diǎn)P,使得S△PAC=S△PBD?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖T3-3 4.[2018·江西]如圖T3-4,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于A(1,a),B兩點(diǎn),點(diǎn)C在第四象限,CA∥y軸,∠ABC=90°. (1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)求tanC的值. 圖T3-4 類型2　反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合 5.[2018·郴州]如圖T3-5,A,B是反比例函數(shù)y=4x在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和 4,則△OAB的面積是 (　　) 圖T3-5 A.4 B.3 C.2 D.1 6.[2018·重慶A卷]如圖T3-6,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)的圖象上,橫坐標(biāo)分別為1,4,對(duì)角線BD∥x軸.若菱形ABCD的面積為452,則k的值為 (　　) 圖T3-6 A.54 B.154 C.4 D.5 7.[2018·玉林]如圖T3-7,點(diǎn)A,B在雙曲線y=3x(x>0)上,點(diǎn)C在雙曲線y=1x(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于(　　) 圖T3-7 A.2 B.22 C.4 D.32 8.[2018·德州]如圖T3-8,反比例函數(shù)y=3x與一次函數(shù)y=x-2的圖象在第三象限交于點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)P是y軸左側(cè)的一點(diǎn),若以A,O,B,P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.  圖T3-8 9.[2018·荊門]如圖T3-9,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=kx(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)菱形OACD的頂點(diǎn)D和邊AC的中點(diǎn)E,若菱形OACD的邊長(zhǎng)為3,則k的值為　　　　.  圖T3-9 10.[2019·柳州第二十五中模擬]如圖T3-10,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=kx的圖象交于點(diǎn)A(1,2)和B(-2,m). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式; (2)請(qǐng)直接寫出y1≥y2時(shí)x的取值范圍; (3)過(guò)點(diǎn)B作BE∥x軸,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BE于點(diǎn)D,點(diǎn)C是直線BE上一點(diǎn),若∠DAC=30°,求點(diǎn)C的坐標(biāo). 圖T3-10 【參考答案】 1.解:(1)根據(jù)圖象可得x>0時(shí),y1>0. (2)將y=-x+b代入y=2x,得2x=-x+b, 整理得,x2-bx+2=0, 當(dāng)Δ=b2-8>0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn), 解得b>22或b<-22. (3)將y=1代入y1=2x,得x=2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1), ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),E為線段AB的中點(diǎn), ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為32,32, 當(dāng)x=32時(shí),y1=2x=43, ∴EF=32-43=16. 2.解:(1)∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,4), ∴k=-1×4=-4. (2)當(dāng)b=-2時(shí),直線的解析式為y=-x-2. 令y=0,則-x-2=0,解得x=-2.∴C(-2,0). 令x=0,則y=-2.∴D(0,-2). ∴S△OCD=12×2×2=2. (3)存在.令y=0,則-x+b=0, 解得x=b.則C(b,0). ∵S△ODQ=S△OCD. ∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C到OD的距離相等,而點(diǎn)Q在第四象限. ∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-b. 當(dāng)x=-b時(shí),y=-x+b=2b,則Q(-b,2b). ∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=-4x的圖象上. ∴-b×2b=-4. 解得b=-2或b=2(舍去). ∴b的值為-2. 3.解:(1)把A(-1,m),B(n,-1)分別代入y=-x+2,得m=1+2,-1=-n+2.∴m=3,n=3. ∴A(-1,3),B(3,-1), 把A(-1,3)代入y=kx,得k=-3. ∴反比例函數(shù)的解析式為y=-3x. (2)存在.設(shè)P(x,-x+2),則P到AC,BD的距離分別為x+1,x-3. ∵S△PAC=S△PBD, ∴12AC·x+1=12BD·x-3, ∴AC·x+1=BD·x-3. ∴3·x+1=1·x-3. ∴x+1x-3=13. ∴x+1x-3=13或x+1x-3=-13. 解得x=-3或x=0.經(jīng)檢驗(yàn),x=-3,x=0是分式方程的解. ∴P(-3,5)或(0,2). 4.解:(1)∵點(diǎn)A(1,a)在y=2x的圖象上, ∴a=2×1=2, 又∵點(diǎn)A(1,2)在y=kx(k≠0)的圖象上, ∴2=k1,即k=2×1=2. ∵y=2x與y=2x的圖象相交于A,B兩點(diǎn), 則可得方程組y=2x,y=2x,解得x=1,y=2或x=-1,y=-2, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-2). (2)如圖,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D, ∵BD⊥AC, ∴∠BDC=90°, ∴∠C+∠CBD=90°. 又∵∠ABC=90°,∠ABC=∠ABD+∠CBD, ∴∠C=∠ABD, ∴tanC=tan∠ABD=ADBD, ∵A(1,2),B(-1,-2),∴D(1,-2), ∴AD=|2-(-2)|=4,BD=|1-(-1)|=2, ∴tanC=42=2. 5.B　[解析]過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足分別為C,D,∵A,B是反比例函數(shù)y=4x在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和4,∴A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,2),(4,1),∴AC=2,BD=1,DC=2, ∴S梯形ACDB=12×(1+2)×2=3,觀察圖形,可以發(fā)現(xiàn):S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ACDB,而S△BOD=S△AOC, ∴S△AOB=S梯形ACDB=3. 6.D　[解析]由題設(shè)點(diǎn)A(1,k),點(diǎn)B4,k4,由菱形ABCD的面積為452,得12AC·BD=12×2k-k4×6=452,解得k=5, 故選D. 7.B　[解析]點(diǎn)A,B在雙曲線y=3x(x>0)上,點(diǎn)C在雙曲線y=1x(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,設(shè)Ct,1t, 則B3t,1t,At,3t,因?yàn)锳C=BC,所以2t=2t,解得t=1,故C(1,1),則B(3,1),A(1,3),所以Rt△ABC中,AB=22,故選B. 8.(-4,-3)或(-2,3)　[解析]令3x=x-2,解得x1=-1,x2=3,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-3), ①構(gòu)成平行四邊形ABOP時(shí),點(diǎn)P在y軸右側(cè),舍去; ②構(gòu)成平行四邊形OAPB時(shí),AP∥BO,AP=BO=3,因?yàn)锳(-1,-3),所以P(-4,-3); ③構(gòu)成平行四邊形OABP時(shí),BP∥AO,BP=AO,所以xP-xB=xO-xA,yP-yB=yO-yA,即xP-(-3)=0-(-1),yP-0=0-(-3), 所以xP=-2,yP=3,所以P(-2,3),綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,-3)或(-2,3). 9.25　[解析]過(guò)D點(diǎn)作DF⊥OA,垂足為F, 設(shè)D(a,b),則DF=b,OF=a, ∵菱形的邊長(zhǎng)為3,∴C(a+3,b). ∵AC的中點(diǎn)為E,∴Ea+62,b2. ∵函數(shù)y=kx(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E, ∴ab=k,a+62·b2=k,解得a=2,b=k2, ∴DF=k2,OF=2, 在Rt△ODF中, ∵DF2+OF2=OD2, ∴k22+22=32,解得k=25或k=-25(舍去). 故答案為25. 10.解:(1)∵點(diǎn)A(1,2)在反比例函數(shù)y2=kx的圖象上, ∴2=k1, ∴k=1×2=2,∴反比例函數(shù)的解析式為y2=2x. ∵點(diǎn)B(-2,m)在反比例函數(shù)y2=2x的圖象上, ∴m=2-2=-1, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-1). 把A(1,2),B(-2,-1)代入y1=ax+b得2=a+b,-1=-2a+b,解得a=1,b=1, ∴一次函數(shù)解析式為y1=x+1. (2)由函數(shù)圖象可知,當(dāng)-2≤x<0或x≥1時(shí),y1≥y2. (3)由題意得AD=2-(-1)=3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-1). 在Rt△ADC中,tan∠DAC=CDAD,即CD3=33, 解得CD=3. 當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1-3,-1); 當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1+3,-1). ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1-3,-1)或(1+3,-1). 10