課時(shí)訓(xùn)練(十四)　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二) |夯實(shí)基礎(chǔ)| 1.拋物線y=2x2-22x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.若二次函數(shù)y=x2+mx的對(duì)稱軸是直線x=3,則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為 (　　) A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7 C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=7 3.[2019·淄博]將二次函數(shù)y=x2-4x+a的圖象向左平移一個(gè)單位,再向上平移一個(gè)單位,若得到的函數(shù)圖象與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是 (　　) A.a>3 B.a<3 C.a>5 D.a<5 4.如圖K14-1,已知二次函數(shù)y1=23x2-43x的圖象與正比例函數(shù)y2=23x的圖象交于點(diǎn)A(3,2),與x軸交于點(diǎn)B(2,0),若0<y1<y2,則x的取值范圍是 (　　) 圖K14-1 A.0<x<2 B.0<x<3 C.2<x<3 D.x<0或x>3 5.[2019·鄂州]二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖K14-2所示,對(duì)稱軸是直線x=1.下列結(jié)論:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m為實(shí)數(shù)).其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為 (　　) 圖K14-2 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 6.[2019·瀘州]已知二次函數(shù)y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自變量)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn),且當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.a<2 B.a>-1 C.-1<a≤2 D.-1≤a<2 7.[2019·湖州]已知a,b是非零實(shí)數(shù),|a|>|b|,在同一平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y1=ax2+bx與一次函數(shù)y2=ax+b的大致圖象不可能是 (　　) 圖K14-3 8.[2019·廣元]如圖K14-4,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)(-1,0),(0,2),且頂點(diǎn)在第一象限,設(shè)M=4a+2b+c,則M的取值范圍是　　　　.  圖K14-4 9.[2019·雅安]已知函數(shù)y=-x2+2x(x>0),-x(x≤0)的圖象如圖K14-5所示,若直線y=x+m與該圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn),則m的取值范圍為　　　　.  圖K14-5 10.[2019·達(dá)州]如圖K14-6,拋物線y=-x2+2x+m+1(m為常數(shù))交y軸于點(diǎn)A,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間,頂點(diǎn)為B. ①拋物線y=-x2+2x+m+1與直線y=m+2有且只有一個(gè)交點(diǎn);②若點(diǎn)M(-2,y1),點(diǎn)N12,y2,點(diǎn)P(2,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y2<y3;③將該拋物線向左平移2個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,所得的拋物線解析式為y=-(x+1)2+m;④點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)D,E分別在x軸和y軸上,當(dāng)m=1時(shí),四邊形BCDE周長的最小值為34+2.其中正確判斷的序號(hào)是　　　　.  圖K14-6 11.[2019·荊門]拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P,且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1<m<3,n<0),下列結(jié)論: ①abc>0;②3a+c<0;③a(m-1)+2b>0;④a=-1時(shí),存在點(diǎn)P使△PAB為直角三角形. 其中正確結(jié)論的序號(hào)為　　　　.  12.[2018·黃岡]已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x. (1)求證:直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)設(shè)直線l與該拋物線的兩交點(diǎn)為A,B,O為原點(diǎn),當(dāng)k=-2時(shí),求△OAB的面積. 13.如圖K14-7,拋物線l:y=-12(x-t)(x-t+4)(常數(shù)t>0)與x軸從左到右的交點(diǎn)為B,A,過線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸,交雙曲線y=kx(k>0,x>0)于點(diǎn)P,且OA·MP=12. (1)求k的值; (2)當(dāng)t=1時(shí),求AB的長,并求直線MP與拋物線l的對(duì)稱軸之間的距離; (3)把拋物線l在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線MP的交點(diǎn))記為G,用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo). 圖K14-7 14.[2019·杭州]設(shè)二次函數(shù)y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是實(shí)數(shù)). (1)甲求得當(dāng)x=0時(shí),y=0;當(dāng)x=1時(shí),y=0;乙求得當(dāng)x=12時(shí),y=-12.若甲求得的結(jié)果都正確,你認(rèn)為乙求得的結(jié)果正確嗎?說明理由. (2)寫出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,并求該函數(shù)的最小值(用含x1,x2的代數(shù)式表示). (3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,m)和(1,n)兩點(diǎn)(m,n是實(shí)數(shù)),當(dāng)0<x1<x2<1時(shí),求證:0<mn<116. |拓展提升| 15.[2018·杭州]四位同學(xué)在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))時(shí),甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn)-1是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí),y=4,已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的,則該同學(xué)是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 16.如圖K14-8所示,將二次函數(shù)y=x2-m(其中m>0)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,形成新的圖象記為y1,另有一次函數(shù)y=x+b的圖象記為y2,則以下說法: (1)當(dāng)m=1,且y1與y2恰好有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),b有唯一值為1; (2)當(dāng)b=2,且y1與y2恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),m>4或0<m<74; (3)當(dāng)m=b時(shí),y1與y2至少有兩個(gè)交點(diǎn),且其中一個(gè)為(0,m); (4)當(dāng)m=-b時(shí),y1與y2一定有交點(diǎn). 其中正確說法的序號(hào)為　　　　.  圖K14-8 17.如圖K14-9①,拋物線y=-x2+mx+n交x軸于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2). (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)若點(diǎn)M在拋物線上,且S△AOM=2S△BOC,求點(diǎn)M的坐標(biāo); (3)如圖②,設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DN⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DN長度的最大值. 圖K14-9 18.[2019·仙桃]在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線C:y=ax2+2x-1(a≠0)和直線l:y=kx+b,點(diǎn)A(-3,-3),B(1,-1)均在直線l上. (1)若拋物線C與直線l有交點(diǎn),求a的取值范圍; (2)當(dāng)a=-1,二次函數(shù)y=ax2+2x-1的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí),函數(shù)y的最大值為-4,求m的值; (3)若拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),請(qǐng)直接寫出a的取值范圍. 【參考答案】 1.C　2.D　3.D　4.C 5.C　[解析]①∵拋物線開口向上,∴a>0, ∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè), ∴-b2a>0,∴b<0. ∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸,∴c<0,∴abc>0,故①錯(cuò)誤; ②當(dāng)x=-1時(shí),y>0,∴a-b+c>0, ∵-b2a=1,∴b=-2a,把b=-2a代入a-b+c>0中得3a+c>0,故②正確; ③當(dāng)x=1時(shí),y<0,∴a+b+c<0,∴a+c<-b. ∵a-b+c>0,∴a+c>b,∴|a+c|<|b|,∴(a+c)2<(-b)2,即(a+c)2-b2<0,所以③正確; ④∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,∴x=1時(shí),函數(shù)的最小值為a+b+c, ∴a+b+c≤am2+mb+c,即a+b≤m(am+b),所以④正確.故選C. 6.D　[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6, ∵拋物線與x軸沒有公共點(diǎn),∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0,解得a<2. ∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=--2a2=a,拋物線開口向上,而當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小, ∴a≥-1,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1≤a<2. 7.D　[解析]由y=ax+b,y=ax2+bx,得x1=1,y1=a+b,x2=-ba,y2=0, 故直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,a+b)和-ba,0. 對(duì)于D選項(xiàng),從直線過第一、二、四象限可知:a<0,b>0. 又∵|a|>|b|,∴a+b<0.從而(1,a+b)在第四象限,因此D選項(xiàng)不正確,故選D. 8.-6<M<6　[解析]∵y=ax2+bx+c過點(diǎn)(-1,0),(0,2),∴c=2,a-b=-2,∴b=a+2. ∵頂點(diǎn)在第一象限,a<0,∴-b2a>0,b>0,a+2>0,a>-2, ∴-2<a<0,M=4a+2b+c=4a+2(a+2)+2=6a+6,∴-6<M<6. 9.0<m<14　[解析]由y=x+m與y=-x2+2x得x+m=-x2+2x,整理得x2-x+m=0,當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),b2-4ac=(-1)2-4m>0,解得m<14,當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)與函數(shù)y=-x2+2x(x>0),-x(x≤0)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),再向上平移,有三個(gè)交點(diǎn),∴m>0,∴m的取值范圍為0<m<14. 10.①③④　[解析]由題意得,m+2=-x2+2x+m+1,化簡得x2-2x+1=0, ∵b2-4ac=0,∴拋物線y=-x2+2x+m+1與直線y=m+2有且只有一個(gè)交點(diǎn),①正確; 由圖可得:y1<y3<y2,故②錯(cuò)誤; y=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,將該拋物線向左平移2個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,所得的拋物線解析式為y=-(x+1)2+m,故③正確; 當(dāng)m=1時(shí),拋物線解析式為y=-x2+2x+2,∴A(0,2),C(2,2),B(1,3).作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'(-1,3),作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'(2,-2).連結(jié)B'C',與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D,E.則BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C'+BC.此時(shí),四邊形BCDE的周長最小.為34+2,故④正確. 11.②③　[解析]將A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)代入解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,∴對(duì)稱軸x=m-12=-b2a,∴-ba=m-1,a(m-1)=-b. ∵1<m<3,∴ab<0.∵n<0,∴a<0,∴b>0.∵a-b+c=0,∴c=b-a>0,∴abc<0,①錯(cuò)誤; ②易知當(dāng)x=3時(shí),y<0,∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0,②正確; ③a(m-1)+2b=-b+2b=b>0,③正確; ④a=-1時(shí),y=-x2+bx+c=-x2+bx+b+1,∴Pb2,b+1+b24, 若△PAB為直角三角形,則△PAB為等腰直角三角形, ∴b+1+b24=b2+1,∴b=-2, ∵b>0,∴不存在點(diǎn)P使△PAB為直角三角形.④錯(cuò)誤.故答案為②③. 12.解:(1)證明:聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即直線l與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn). (2)如圖,連結(jié)AO,BO, 聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)C,在一次函數(shù)y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=12·OC·|xA|+12·OC·|xB|=12·OC·|xA-xB|=12×1×22=2. 13.解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則MP=y,由OA的中點(diǎn)為M知OA=2x,代入OA·MP=12,得2x·y=12,即xy=6, ∴k=xy=6. (2)當(dāng)t=1時(shí),令y=0,得0=-12(x-1)(x+3). ∴x1=1,x2=-3. 由點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊,得B(-3,0),A(1,0), ∴AB=4. ∵拋物線l的對(duì)稱軸為直線x=-1,而點(diǎn)M的坐標(biāo)為12,0, ∴直線MP與拋物線l的對(duì)稱軸之間的距離為32. (3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴拋物線l的對(duì)稱軸為直線x=t-2,直線MP為直線x=t2. 當(dāng)t-2≤t2,即t≤4時(shí),頂點(diǎn)(t-2,2)就是G的最高點(diǎn); 當(dāng)t-2>t2,即t>4時(shí),拋物線l與直線MP的交點(diǎn)t2,-18t2+t就是G的最高點(diǎn). 14.解:(1)乙求得的結(jié)果不正確,理由如下: ∵當(dāng)x=0時(shí),y=0;當(dāng)x=1時(shí),y=0, ∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,0), ∴x1=0,x2=1,∴y=x(x-1)=x2-x, 當(dāng)x=12時(shí),y=-14,∴乙求得的結(jié)果不正確. (2)對(duì)稱軸為直線x=x1+x22. 當(dāng)x=x1+x22時(shí),y=-(x1-x2)24, ∴函數(shù)的最小值為-(x1-x2)24. (3)證明:∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,m)和(1,n)兩點(diǎn), ∴m=x1x2,n=1-x1-x2+x1x2, ∴mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1-x12)(x2-x22)=-x1-122+14-x2-122+14. ∵0<x1<x2<1,并結(jié)合函數(shù)y=x(1-x)的圖象, ∴0<-x1-122+14≤14,0<-x2-122+14≤14,且-x1-122+14與-x2-122+14不能同時(shí)取14,∴0<mn<116. 15.B　[解析]甲:-b2=1,b=-2; 乙∶1-b+c=0; 丙:4c-b24=3,4c-b2=12; 丁:4+2b+c=4. 若甲錯(cuò):1-b+c=0,4c-b2=12,4+2b+c=4,由乙、丁得b=13,c=-23,代入丙,不成立,不合題意; 若乙錯(cuò):b=-2,4c-b2=12,4+2b+c=4,由甲、丁得b=-2,c=4,代入丙,成立,符合題意; 若丙錯(cuò):b=-2,1-b+c=0,4+2b+c=4,由甲、丁得b=-2,c=4,代入乙,不成立,不符合題意; 若丁錯(cuò):b=-2,1-b+c=0,4c-b2=12,由甲、乙得b=-2,c=-3,代入丙,不成立,不合題意. 16.(2)(3) [解析]根據(jù)題意, y1=x2-m(x≤-m或x≥m),-x2+m(-m<x<m). (1)中,當(dāng)m=1時(shí),由于y1與y2恰好有三個(gè)交點(diǎn),故有兩種可能:一是直線y=x+b過點(diǎn)(-1,0)且與拋物線y=-x2+1相交,解得b=1;二是直線y=x+b與拋物線y=-x2+1有且僅有1個(gè)交點(diǎn),且與拋物線y=x2-1有兩個(gè)交點(diǎn),解得b=54,故(1)不正確.(2)中,要使y1與y2恰有兩個(gè)交點(diǎn),有兩種情況:一是直線y=x+2與y=-x2+m沒有交點(diǎn),令x2+x+2-m=0,由12-4(2-m)<0,得m<74,則0<m<74;二是直線y=x+2與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x滿足-m<x<m,即-m<-2<m,解得m>4,故(2)正確.(3)中,由y=-x2+m,y=x+m得兩個(gè)交點(diǎn)(0,m),(-1,m-1),故(3)正確.(4)中,直線y=x-m恒過點(diǎn)(0,-m),將x=m代入y=x-m,得y=m-m,顯然不一定大于或等于0,即y1與y2不一定有交點(diǎn),故不正確. 17.解:(1)將A(-2,0),C(0,2)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+mx+n, 得-4-2m+n=0,n=2, 解得m=-1,n=2. ∴拋物線的解析式為y=-x2-x+2. (2)由(1)知,該拋物線的解析式為y=-x2-x+2,易得B(1,0),依據(jù)S△AOM=2S△BOC列方程可得:12·AO×|yM|=2×12×OB×OC, ∴12×2×|-a2-a+2|=2, ∴a2+a=0或a2+a-4=0, 解得a=0或-1或-1±172, ∴符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(0,2)或(-1,2)或-1+172,-2或-1-172,-2. (3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將A(-2,0),C(0,2)代入, 得-2k+b=0,b=2,解得k=1,b=2. ∴直線AC的解析式為y=x+2, 設(shè)N(x,x+2)(-2≤x≤0),則D(x,-x2-x+2),ND=(-x2-x+2)-(x+2)=-x2-2x=-(x+1)2+1, ∵-1<0,∴x=-1時(shí),ND有最大值1. 18.[解析](1)先求出直線的解析式,然后由二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式得到一元二次方程,利用根的判別式Δ≥0,求出a的取值范圍;(2)對(duì)自變量的取值范圍在對(duì)稱軸的左、右兩側(cè)進(jìn)行分類,結(jié)合增減性求出m的值;(3)拋物線經(jīng)過(0,-1)這一定點(diǎn),將拋物線分開口向上和開口向下兩種情況求出a的取值范圍. 解:(1)將A(-3,-3),B(1,-1)的坐標(biāo)代入 y=kx+b中,得: -3k+b=-3,k+b=-1,解得k=12,b=-32. ∴直線l的解析式為:y=12x-32. ∵拋物線C與直線l有交點(diǎn), ∴ax2+2x-1=12x-32有實(shí)數(shù)根, 整理得2ax2+3x+1=0, ∴Δ=9-8a≥0,∴a≤98, ∴a的取值范圍是a≤98且a≠0. (2)當(dāng)a=-1時(shí),拋物線為:y=-x2+2x-1=-(x-1)2,對(duì)稱軸為直線x=1, 當(dāng)m≤x≤m+2<1時(shí),y隨x的增大而增大, 當(dāng)x=m+2時(shí),函數(shù)y有最大值-4, ∴m=1(舍去)或-3. 當(dāng)1<m≤x≤m+2時(shí),y隨x的增大而減小, 當(dāng)x=m時(shí),函數(shù)y有最大值-4, ∴m=-1(舍去)或3. 綜上所述m=±3. (3)49≤a<98或a≤-2. [解析]當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸為直線x=-1a,-1a>0, 將B(1,-1)代入y=ax2+2x-1,得a=-2, ∴當(dāng)a≤-2時(shí),拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn); 當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸為直線x=-1a,-1a<0, 將A(-3,-3)代入y=ax2+2x-1,得a=49, ∴當(dāng)49≤a<98時(shí),拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 綜上所述,拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),49≤a<98或a≤-2. 11