反比例函數(shù)綜合題 類(lèi)型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合 ★1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝4(x＞0)x 的圖象與一次函數(shù) y＝kx－k 圖象的交點(diǎn)為 A(m，2)，一次函 數(shù)與 x 軸交于點(diǎn) C. (1)求一次函數(shù)的解析式； (2)設(shè)一次函數(shù)y＝kx－k的圖象與y軸交于點(diǎn)B，若P是 x 軸上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足△PAB 的面積是4，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 第 1 題圖 解：(1)將A(m，2)代入y＝4x(x＞0)得，m＝2， 則 A(2，2)， 22 將 A(2，2)代入 y＝kx－k 得，2k－k＝2， 解得 k＝2，則一次函數(shù)的解析式為 y＝2x－2； (2)∵一次函數(shù)y＝2x－2與x軸的交點(diǎn)為C(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為 B(0，－2)，S△ABP＝S△ACP＋S△BPC， ∴12×2CP＋12×2CP＝4，解得CP＝2，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)或(－1，0)． ★2.如圖，已知一次函數(shù)y＝12x＋b的圖象與反比例函數(shù) k y＝x(x＜0)的圖象交于點(diǎn) A(－1，2)和點(diǎn) B，點(diǎn) C 在 y 軸上． (1)當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)當(dāng)1x＋b＜k時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍． 2 x ．．．． 第 2 題圖 解：(1)把點(diǎn)A(－1，2)分別代入y＝12x＋b與y＝kx中，解得 b＝52，k＝－2， ∴兩函數(shù)的解析式分別為：y＝12x＋52，y＝－2x， y＝12x＋52 聯(lián)立y＝－2x， x＝－1 x＝－4 解得 或 y＝1 ， y＝2 2 ∴點(diǎn) B(－4，1)， 2 如解圖，作點(diǎn) A(－1，2)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D，此時(shí)點(diǎn) D 的坐 標(biāo)為(1，2)，連接BD交y軸于 點(diǎn) C，連接 AC，此時(shí)△ABC 的 周長(zhǎng)最?。? 設(shè)直線(xiàn) BD 的解析式為 y＝k1x＋b1，將點(diǎn) D(1，2)和點(diǎn) B(－4， 12)分別代入，得 k1＋b1＝2 k1＝ 3 10 1，解得 17， －4k1＋b1＝2 b1＝10 ∴直線(xiàn) BD 的解析式為：y＝103x＋1710， 當(dāng) x＝0時(shí)，y＝1710， ∴點(diǎn) C(0，1710)； (2)當(dāng)12x＋b＜kx，即12x＋52＜－2x時(shí)， x 的取值范圍為：x＜－4或－1＜x＜0. ★3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx(x＞0)的圖象 與直線(xiàn) y＝x－2交于點(diǎn) A(3，m)． (1)求k，m的值； (2)已知點(diǎn)P(n，n)(n＞0)，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線(xiàn)，交直 線(xiàn) y＝x－2于點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) P 作平行于 y 軸的直線(xiàn)，交函數(shù) y ＝kx(x＞0)的圖象于點(diǎn)N. ①當(dāng) n＝1時(shí)，判斷線(xiàn)段 PM 與 PN 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； ②若 PN≥PM，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出 n 的取值范圍． 第 3 題圖 解:(1)將A(3,m)代入y=x-2,得m=1, ∴A(3,1), 將 A(3,1)代入 y=kx， 得 k=3; (2)①PM=PN.理由如下： ∵n=1, ∴P(1,1), 把 y=1代入 y=x-2，得 x=3, ∴M(3,1), ∴PM=2, 3 把 x=1代入 y=x，得 y=3,∴N(1,3), ∴PN=2, ∴PM= PN; ②n 的取值范圍為0<n≤1或 n≥3. 【解法提示】∵P(n,n), 把 y=n 代入 y=x-2,得 n=x-2, 解得 x=n+2, ∴M(n+2,n), ∴PM=2, 3 3 把 x=n 代入 y= ，得 y= , x n ∴N(n, 3 ), n 3 ∴PN=|n-n |, 又∵PN≥PM,n>0, 3 ∴當(dāng) 0<n≤ 3 時(shí), n -n>0,有 3 n -n≥2, ∴n2+2n-3=(n+3)(n-1)≤0, ∴0<n≤1, 3 ∴當(dāng) n> 3 時(shí),n- n>0, 3 有 n-n≥2, ∴n2-2n-3=(n-3)(n+1)≥0, ∴n≥3. 綜上所述,n的取值范圍為 0<n≤1 或n≥3. ★4.如圖所示，直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C(0，2)，且與反比例函數(shù) y＝－8x的圖象在第二象限內(nèi)相交于點(diǎn) B，過(guò)點(diǎn) B 作 BD⊥x 軸于點(diǎn) D，OD＝2. (1)求直線(xiàn)AB的解析式； (2)若點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，且△PBC的面積等于 3，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 第 4 題圖 解：(1)設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y＝kx＋b(k≠0)， 把 x＝－2代入 y＝－8x得 y＝4, ∴點(diǎn) B(－2，4)， 把點(diǎn) B(－2，4)，C(0，2)分別代入 y＝kx＋b 中， －2k＋b＝4 得b＝2 ， k＝－1 解得b＝2 ， ∴直線(xiàn) AB 的解析式為：y＝－x＋2； (2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，m)，則由已知得S＝12BP·DO＝12(4 －m)·2＝3, 解得 m＝1, ∴點(diǎn) P(－2，1)． ★5.如圖，一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù) y＝kx(k≠0)的圖象交于 A(－3，2)，B(2，n)． (1)求反比例函數(shù)y＝kx的解析式； (2)求一次函數(shù)y＝ax＋b的解析式； (3)觀察圖象，直接寫(xiě)出不等式ax＋b<kx的解集． 第 5 題圖 解：(1)把點(diǎn)A(－3，2)代入y＝kx中，得k＝－6， ∴反比例函數(shù)的解析式為 y＝－6x； (2)把點(diǎn)B(2，n)代入y＝－6x中，得n＝－3， ∴點(diǎn) B(2，－3), 把點(diǎn) A(－3，2)和 B(2，－3)分別代入 y＝ax＋b 中，得 －3a＋b＝2 ， a＝－1 解得b＝－1， ∴一次函數(shù)的解析式為 y＝－x－1； (3)－3<x<0或x>2. 【解法提示】由題圖可知，當(dāng)－3<x<0 或x>2 時(shí)，一次 函數(shù) y＝ax＋b 的圖象在反比例函數(shù) y＝kx的圖象下方，∴不等 式 ax＋b<kx的解集為－3<x<0或 x>2. 類(lèi)型二 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合 ★1.如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(F不與A，B重合). 過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝kx(k ＞0)的圖象與BC邊交于點(diǎn)E. (1)當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的解析式； (2)當(dāng)k為何值時(shí)，△EFA的面積最大，最大面積是多少？ 第 1 題圖 解：(1)∵在矩形OABC中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，OA＝3， OC＝2， ∴點(diǎn) F(3，1)， 把點(diǎn) F(3，1)代入 y＝kx中，得1＝k3，解得 k＝3， ∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝3x； (2)∵點(diǎn)E、F在反比例函數(shù)的圖象上， ∵點(diǎn) E 的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)為3， ∴AF＝k3，CE＝k2， ∴BE＝3－k2， ∴S△EFA＝12AF·BE＝12×k3×(3－k2)， 即 S△EFA＝－121k2＋12k＝－121(k－3)2＋34，∵－121<0，k＞0， ∴當(dāng) k＝3時(shí)，△EFA 的面積最大，最大面積為34. ★2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反 比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的 A，B 兩點(diǎn)，與 x 軸 交于點(diǎn) C，與 y 軸交于點(diǎn) D，點(diǎn) B 的坐標(biāo)是(m，－4)，連接 AO，AO＝5，sin∠AOC＝35. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)連接OB，求△AOB的面積． 第 2 題圖 解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E， ∵OA＝5，sin∠AOC＝35， ∴AE＝OA·sin∠AOC＝5×35＝3， ∴OE＝OA2－AE2＝4， ∴點(diǎn) A(－4，3)， 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 y＝kx(k≠0)， 把點(diǎn) A(－4，3)代入解析式，解得 k＝－12， ∴反比例函數(shù)的解析式為 y＝－12x； (2)把點(diǎn)B(m，－4)代入y＝－12x中，解得m＝3， ∴點(diǎn) B(3，－4)． 設(shè)直線(xiàn) AB 的解析式為：y＝kx＋b， 把點(diǎn) A(－4，3)和 B(3，－4)分別代入得， －4k＋b＝3 k＝－1 3k＋b＝－4，解得b＝－1，∴直線(xiàn)AB的解析式為：y＝－x－1， 則 AB 與 y 軸的交點(diǎn) D(0，－1)， ∴S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝12×1×4＋12×1×3＝3.5. 第 2 題解圖 ★3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C 與原點(diǎn) O 重合，點(diǎn) B 在 y 軸的正半軸上，點(diǎn) A 在函數(shù) y＝kx(k>0， x>0)的圖象上，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(4，3)． (1)求k的值； (2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在函數(shù) y＝kx(k>0，x>0)的圖象上時(shí)，求菱形 ABCD 沿 x 軸正方向平移的距離． 第 3 題圖 解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn) F，易知點(diǎn) A 在直線(xiàn) FD 上， ∵點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(4，3)， ∴OF＝4，DF＝3，第3題解圖∴OD＝5， ∵四邊形 ABCD 為菱形， ∴AD＝OD＝5， ∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(4，8)， ∴k＝xy＝4×8＝32； (2)將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點(diǎn)D落在函數(shù) y＝32x(x＞0)的圖象 D′點(diǎn)處，如解圖，過(guò)點(diǎn) D′作 x 軸的垂線(xiàn)，垂足為 F′. ∵DF＝3，∴D′F′＝3， ∴點(diǎn) D′的縱坐標(biāo)為3. ∵點(diǎn) D′在 y＝32x的圖象上， ∴32x＝3，解得x＝323， 即 OF′＝323， ∴FF′＝OF′－OF＝323－4＝203，∴菱形 ABCD 平移的距離為203. ★4.如圖，函數(shù)y＝kx的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，2)． (1)求該函數(shù)的解析式； (2)過(guò)點(diǎn)A分別向x軸和y軸作垂線(xiàn)，垂足為B和C，求 四邊形 ABOC 的面積； (3)求證：過(guò)此函數(shù)圖象上任一點(diǎn)分別向x軸和y軸作垂 線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為定值． 第 4 題圖 (1)解：把點(diǎn)A(1，2)代入y＝kx中，解得k＝2， ∴該函數(shù)的解析式為 y＝2x； (2)解：∵AC⊥y軸，AB⊥x軸，∠BOC＝90°， ∴四邊形 ABOC 是矩形， 又∵A(1，2)，∴OB＝1，AB＝2， ∴S 四邊形ABOC＝OB·AB＝1×2＝2； 第 4 題解圖 (3)證明：設(shè)點(diǎn)M(a，b)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，如解圖，過(guò)點(diǎn) M 作 MN⊥x 軸于點(diǎn) N，作 MP⊥y 軸于點(diǎn) P， 則 MN＝|b|，MP＝|a|，(6分) ∴S 矩形OPMN＝ON·OP＝|a|·|b|＝|ab|，∵點(diǎn) M(a，b)在反比例函數(shù)的圖象上， 則有 b＝2a，即 ab＝2, ∴S＝|ab|＝2，∴結(jié)論得證． ★5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于 點(diǎn) C，點(diǎn) A(3，1)在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上． (1)求反比例函數(shù)y＝kx的表達(dá)式； (2)在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P，使得S△AOP＝12S△AOB，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3) 若將△BOA 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到 △BDE，點(diǎn) E 與點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)，直接寫(xiě)出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn) E 是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說(shuō)明理由． 第 5 題圖 解：(1)∵點(diǎn)A(3，1)在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上， ∴k＝3×1＝3， ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y＝x3； (2)∵A(3，1)， ∴OC＝3，AC＝1， 易證△AOC∽△OBC ，可得 OC2＝AC·BC ，即(3 )2＝ 1×BC， ∴BC＝3，∴B(3，－3)， ∴S△AOB＝12OC·AB＝12×3×4＝23， ∵S△AOP＝12S△AOB＝3， 設(shè) P(m，0)，∴12×|m|×1＝3， ∴|m|＝23， ∵P 是 x 軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)，∴m＝－23， ∴P 點(diǎn)坐標(biāo)為(－23，0)； (3)E(－3，－1)，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y＝x3上，理由如下： ∵(－3)×(－1)＝3， ∴點(diǎn) E 在反比例函數(shù)圖象上．