課時訓(xùn)練(十四)　二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 (限時:70分鐘) |夯實基礎(chǔ)| 1.在反比例函數(shù)y=mx中,當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大,則二次函數(shù)y=mx2+mx的圖象大致是圖中的 (　　) 圖K14-1 2.如圖K14-2,O為坐標(biāo)原點,邊長為2的正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,將正方形OABC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)75°,使點B落在某拋物線上,則該拋物線的解析式為 (　　) 圖K14-2 A.y=23x2 B.y=-13x2 C.y=-12x2 D.y=-3x2 3.如圖K14-3所示,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-2,0),B(1,0),直線x=-12與此拋物線交于點C,與x軸交于點M,在直線上取點D,使MD=MC,連接AC,BC,AD,BD,某同學(xué)根據(jù)圖象寫出下列結(jié)論: ①a-b=0;②當(dāng)-2<x<1時,y>0;③四邊形ACBD是菱形;④9a-3b+c>0. 你認(rèn)為其中正確的是 (　　) 圖K14-3 A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 4.[2019·唐山古冶區(qū)一模]如圖K14-4,反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y=ax2+bx圖象的頂點-12,m(m>0),則有 (　　) 圖K14-4 A.a=b+2k B.a=b-2k C.k>b>0 D.a<k<0 5.如圖K14-5,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A,B,C,D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點,拋物線的解析式為y=x2-2x-3,AB為半圓的直徑,則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為　　　　.  圖K14-5 6.[2019·永州]如圖K14-6,已知拋物線經(jīng)過兩點A(-3,0),B(0,3),且其對稱軸為直線x=-1. (1)求此拋物線的解析式; (2)若點P是拋物線上點A與點B之間的動點(不包括點A,點B),求△PAB的面積的最大值,并求出此時點P的坐標(biāo). 圖K14-6 7.如圖K14-7,曲線BC是反比例函數(shù)y=kx(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),拋物線y=-x2+2bx的頂點記作A. (1)求k的值; (2)判斷點A是否可與點B重合; (3)若拋物線與曲線BC有交點,求b的取值范圍. 圖K14-7 8.[2019·北京東城二模]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2-2mx+m2-1與y軸交于點C. (1)試用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標(biāo). (2)將拋物線y=x2-2mx+m2-1沿直線y=-1翻折,得到的新拋物線與y軸交于點D.若m>0,CD=8,求m的值. (3)已知A(2k,0),B(0,k),在(2)的條件下,當(dāng)線段AB與拋物線y=x2-2mx+m2-1只有一個公共點時,直接寫出k的取值范圍. |拓展提升| 9.[2019·安徽]在平面直角坐標(biāo)系中,垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P,Q兩點,若平移直線l,可以使P,Q都在x軸的下方,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.  10.[2018·金華、麗水]如圖K14-8,拋物線y=ax2+bx(a≠0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當(dāng)t=2時,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式. (2)當(dāng)t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少? (3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離. 圖K14-8 【參考答案】 1.A 2.B　[解析]如圖,過點B作BE⊥x軸于點E,連接OB.設(shè)拋物線的解析式為y=ax2.由題意可知∠AOE=75°.∵∠AOB=45°,∴∠BOE=30°. ∵OA=2,∴OB=2,∴BE=12OB=1,∴OE=OB2-BE2=3,∴點B的坐標(biāo)為(3,-1),代入y=ax2得a=-13,∴y=-13x2. 3.D　[解析]①∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(-2,0),B(1,0),∴該拋物線的對稱軸為x=-b2a=-12,∴a=b,a-b=0,①正確;②∵拋物線開口向下,且拋物線與x軸交于點A(-2,0)、B(1,0),∴當(dāng)-2<x<1時,y>0,②正確;③∵點A、B關(guān)于直線x=-12對稱,∴AM=BM.又∵M(jìn)C=MD,且CD⊥AB,∴四邊形ACBD是菱形,③正確;④當(dāng)x=-3時,y<0,即y=9a-3b+c<0,④錯誤.綜上可知,正確的結(jié)論為①②③. 故選D. 4.D　[解析]∵y=ax2+bx圖象的頂點為-12,m,∴-b2a=-12,即b=a,∴m=-b24a=-a4.∴頂點為-12,-a4,把x=-12,y=-a4代入反比例函數(shù)解析式得:k=a8.由圖象知,拋物線的開口向下,∴a<0,∴a<k<0.故選D. 5.3+3　[解析]連接CM,如圖. ∵拋物線的解析式為y=x2-2x-3,∴點D的坐標(biāo)為(0,-3),∴OD的長為3.設(shè)y=0,則0=x2-2x-3,解得x=-1或3,∴A(-1,0),B(3,0),∴AO=1,BO=3.∵AB為半圓的直徑,∴AB=4,CM=2,OM=1,在Rt△COM中,OC=CM2-OM2=3,∴CD=CO+OD=3+3. 6.解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.根據(jù)題意得 9a-3b+c=0,c=3,-b2a=-1,解得a=-1,b=-2,c=3.所以拋物線的解析式為y=-x2-2x+3. (2)易知直線AB的表達(dá)式為y=x+3.設(shè)P(m,-m2-2m+3),過P作PC∥y軸交AB于點C,如圖,則C(m,m+3),PC=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m, S△PAB=12×(-m2-3m)×3=-32×(m2+3m)=-32m+322+278. 所以當(dāng)m=-32時,S△PAB有最大值278.此時點P的坐標(biāo)為-32,154. 7.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上, ∴k=4(1-m)=6×(-m), 解得m=-2, ∴k=4×[1-(-2)]=12. (2)∵m=-2,∴B(4,3). ∵拋物線y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2, ∴A(b,b2). 若點A與點B重合,則有b=4,且b2=3,顯然不成立, ∴點A不可與點B重合. (3)當(dāng)拋物線經(jīng)過點B(4,3)時,有3=-42+2b×4, 解得b=198, 顯然拋物線右半支經(jīng)過點B; 當(dāng)拋物線經(jīng)過點C(6,2)時,有2=-62+2b×6, 解得b=196, 這時仍然是拋物線右半支經(jīng)過點C, ∴b的取值范圍為198≤b≤196. 8.解:(1)∵y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1, ∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(m,-1). (2)由對稱性可知,點C(0,m2-1)到直線y=-1的距離為4. 又∵點C的縱坐標(biāo)m2-1≥-1, ∴點C在直線y=-1的上方. ∴OC=3.∴m2-1=3. ∵m>0,∴m=2. (3)由(2)得,m=2, ∴原拋物線解析式為y=x2-4x+3=(x-1)(x-3). 當(dāng)拋物線經(jīng)過點A(2k,0)時,k=12或k=32; 當(dāng)拋物線經(jīng)過點B(0,k)時,k=3. ∵線段AB與拋物線y=x2-4x+3只有一個公共點, ∴k的取值范圍為12≤k<32或k>3. 9.a>1或a<-1　[解析]假設(shè)函數(shù)y=x-a+1與y=x2-2ax圖象的交點在x軸上,則由x-a+1=0,得x=a-1,代入二次函數(shù)的表達(dá)式中,得:(a-1)2-2a(a-1)=0,解得a=1或a=-1. 當(dāng)a>1時,隨著a的增大,直線y=x-a+1向右平移,拋物線與x軸的交點(2a,0)向右平移,如圖,此時直線y=x-a+1與拋物線的交點位于第四象限;當(dāng)a<-1時,隨著|a|的增大,直線y=x-a+1向左平移,拋物線與x軸的交點(2a,0)向左平移,此時直線y=x-a+1與拋物線的交點位于第三象限.綜上所述,a的取值范圍為a>1或a<-1. 10.解:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax(x-10). ∵當(dāng)t=2時,AD=4, ∴點D的坐標(biāo)是(2,4). ∴4=a×2×(2-10), 解得a=-14. ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-14x2+52x. (2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t, ∴AB=10-2t. 當(dāng)x=t時,y=-14t2+52t. ∴矩形ABCD的周長=2(AB+AD)=2(10-2t)+(-14t2+52t)=-12t2+t+20=-12(t-1)2+412. ∵-12<0,0<1<10, ∴當(dāng)t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值是412. (3)如圖,連接DB,取DB的中點,記為P,則P為矩形ABCD的中心.由矩形的對稱性知,平分矩形ABCD面積的直線必過點P.連接OD,取OD的中點Q,連接PQ.當(dāng)t=2時,點A,B,C,D的坐標(biāo)分別為(2,0),(8,0),(8,4),(2,4). 結(jié)合圖象知,當(dāng)點G,H分別落在線段AB,DC上且直線GH過點P時,直線GH平分矩形ABCD的面積. ∵AB∥CD, ∴線段OD平移后得到線段GH,線段OD的中點Q平移后的對應(yīng)點是P. ∴拋物線的平移距離=OG=DH=QP. 在△OBD中,PQ是中位線, ∴PQ=12OB=4. ∴拋物線向右平移的距離是4. 8