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慣性矩是一個物理量，通常被用作描述一個物體抵抗扭動，扭轉(zhuǎn)的能力。慣性矩的國際單位為(m^4)。 工程構(gòu)件典型截面幾何性質(zhì)的計算 2.1面積矩 1．面積矩的定義 圖2-2.1任意截面的幾何圖形 如圖2-31所示為一任意截面的幾何圖形(以下簡稱圖形)。定義：積分和分別定義為該圖形對z軸和y軸的面積矩或靜矩，用符號Sz和Sy，來表示，如式(2—2.1) (2—2.1) 面積矩的數(shù)值可正、可負(fù)，也可為零。面積矩的量綱是長度的三次方，其常用單位為m3或mm3。 2．面積矩與形心 平面圖形的形心坐標(biāo)公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改寫成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面積矩的幾何意義：圖形的形心相對于指定的坐標(biāo)軸之間距離的遠近程度。圖形形心相對于某一坐標(biāo)距離愈遠，對該軸的面積矩絕對值愈大。 圖形對通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對某一軸的面積矩等于零，該軸一定通過圖形形心。 3．組合截面面積矩和形心的計算 組合截面對某一軸的面積矩等于其各簡單圖形對該軸面積矩的代數(shù)和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和yi、zi分別代表各簡單圖形的面積和形心坐標(biāo)。組合平面圖形的形心位置由式(2—2.5)確定。 (2—2.5) 2.2極慣性矩、慣性矩和慣性積 1．極慣性矩 任意平面圖形如圖2-31所示，其面積為A。定義：積分稱為圖形對O點的極慣性矩，用符號IP，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 極慣性矩是相對于指定的點而言的，即同一圖形對不同的點的極慣性矩一般是不同的。極慣性矩恒為正，其量綱是長度的4次方，常用單位為m4或mm4。 (1)圓截面對其圓心的極慣性矩，如式(2—7) (2—2.7) (2)對于外徑為D、內(nèi)徑為d的空心圓截面對圓心的極慣性矩，如式(2—2.8) (2—2.8) 式中，d/D為空心圓截面內(nèi)、外徑的比值。 2．慣性矩 在如圖6-1所示中，定義積分，如式(2—2.9) (2—2.9) 稱為圖形對z軸和y軸的慣性矩。慣性矩是對一定的軸而言的，同一圖形對不同的軸的慣性矩一般不同。慣性矩恒為正值，其量綱和單位與極慣性矩相同。 同一圖形對一對正交軸的慣性矩和對坐標(biāo)原點的極慣性矩存在著一定的關(guān)系。 如式2—2.10) IP=Iz+Iy (2—2.10) 上式表明，圖形對任一點的極慣性矩，等于圖形對通過此點且在其平面內(nèi)的任一對正交軸慣性矩之和。 表6-1給出了一些常見截面圖形的面積、形心和慣性矩計算公式，以便查用。工程中使用的型鋼截面，如工字鋼、槽鋼、角鋼等，這些截面的幾何性質(zhì)可從附錄的型鋼表中查取。 3．慣性積 如圖2—32所示，積分定義為圖形對y，、z軸的慣性積，用符號Iyz表示，如式(2—11) 圖2-2.2具有軸對稱的圖形 (2—11) 慣性積是對于一定的一對正交坐標(biāo)軸而言的，即同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸的慣性積不同，慣性積的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零，其量綱和單位與慣性矩相同。 由慣性積的定義可以得出如下結(jié)論：若圖形具有對稱軸，則圖形對包含此對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)抽的慣性積為零。如圖2-32所示，y為圖形的對稱軸.則整個圖形對y、z軸的慣，性積等于零。 常見圖形的面積、形心和慣性矩 表2—2.1 序 號 圖 形 面 積 形 心 位 置 慣性矩(形心軸) 1 2 3 4 5 6 2．3組合截面的慣性矩 1．慣性矩和慣性積的平行移軸公式 任意平面圖形如圖2-2.3所示。z、y為一對正交的形心軸，z1、y1為與形心軸平行的另一對正交軸，平行軸間的距離分別為a和b。已知圖形對形心軸的慣性矩Iz、Iy和慣性積Izy，現(xiàn)求圖形對z1、y1軸的慣性矩Iz1、Iy1和慣性積Iz1y1。有慣性矩和慣性積的平行移軸公式如式(2—2.12)和式(2—2.13) (2—2.12) Iz1y1=Izy+abA (2—2.13) 可見，圖形對于形心軸的慣性矩是對所有平行軸的慣性矩中最小的一個。在應(yīng)用平行移軸公式(2—2.12)時，要注意應(yīng)用條件，即y、z軸必須是通過形心的軸，且z1、y1軸必須分別與z、y軸平行。在應(yīng)用式(2—2.13)計算慣性積時，還須注意a、b的正負(fù)號，它們是截面形心c在z1oy1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。 2．組合截合慣性矩計算 組合圖形對某一軸的慣性矩，等于其各組成部分簡單圖形對該軸慣性矩之和，如式(2—2.14) (2—2.14) 在計算組合圖形對z、y軸的慣性矩時，應(yīng)先將組合圖形分成若干個簡單圖形，并計算出每一簡單圖形對平行于z、y軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行移軸公式(2—2.12)計算出各簡單圖形對z、y軸的慣性矩，最后利用式(2—2.14)求總和。 2.4主慣性軸和主慣性矩 過圖形上任一點都可得到一對主軸，通過截面圖形形心的主慣性軸，稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。在對構(gòu)件進行強度、剛度和穩(wěn)定計算中，常常需要確定形心主軸和計算形心主慣性矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖形對包括其對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，所以對于如圖6-4所示具有對稱軸的截面圖形，可根據(jù)圖形具有對稱軸的情況，觀察確定形心主軸的位置。 (1)如果圖形有一根對稱軸，則此軸必定是形心主軸、而另一根形心主軸通過形心，并與對稱軸垂直，如圖2-34 b)、d)所示。 (2)如果圖形有兩根對稱軸，則該兩軸都為形心主軸，如圖6-4 a)、c)所示。 (3)如果圖形具有3根或更多根對稱軸，過圖形形心的任何軸都是形心主、軸，且圖形對其任一形心主軸的慣性矩都相等，如圖6-4 e)、f)所示。 圖2-2.4具有對稱軸的截面 圖形 常用慣性矩公式：