. 相似三角形應(yīng)用專題〔二 動(dòng)態(tài)幾何中的相似三角形 例題講解一：如圖,在梯形中,,,,,梯形的高為．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為〔秒． 〔1當(dāng)時(shí),求的值； 〔2試探究：為何值時(shí),為直角三角形． 變式練習(xí)1-1：如圖所示,在ΔABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x。〔1當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC？〔2當(dāng),求的值；〔3ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能,求出AP的長(zhǎng)；若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。 變式練習(xí)1-2：如圖,已知直線的函數(shù)表達(dá)式為,且與軸,軸分別交于兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng),設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為秒． 〔1求出點(diǎn)的坐標(biāo)； 〔2當(dāng)為何值時(shí),與相似？ O P A Q B y x 〔3求出〔2中當(dāng)與相似時(shí),線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式． O P A Q B y x 圖-2 A D O B C 2 1 M N 圖-1 A D B M N 1 2 圖-3 A D O B C 2 1 M N O 例題講解二：在圖1至圖3中,直線MN與線段AB相交 于點(diǎn)O,∠1 = ∠2 = 45°． 〔1如圖1,若AO =OB,請(qǐng)寫(xiě)出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； 〔2將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 圖2,其中AO = OB．求證：AC = BD,AC ⊥BD； 〔3將圖2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到 圖3,求的值． 變式練習(xí)2-1：已知在Rt△ABC中,∠ABC＝90º,∠A＝30º,點(diǎn)P在AC上,且∠MPN＝90 當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上時(shí)〔如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F,可證Rt△PME∽R(shí)t△PNF,得出PN＝PM．〔不需證明 當(dāng)PC＝PA,點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC或其延長(zhǎng)線上,如圖2、圖3這兩種情況時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系,并任選取一給予證明． 變式練習(xí)2-2：如圖1,在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起,A為公共頂點(diǎn),∠BAC=∠AGF=90°,它們的斜邊長(zhǎng)為2,若?ABC固定不動(dòng),?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E<點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合>,設(shè)BE=m,CD=n. 〔1請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形,并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明. 〔2求m與n的函數(shù)關(guān)系式,直接寫(xiě)出自變量n的取值范圍. 〔3以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸,BC邊上的高所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系<如圖12>.在邊BC上找一點(diǎn)D,使BD=CE,求出D點(diǎn)的坐標(biāo),并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證BD＋CE=DE. 〔4在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,<3>中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由. G y x 圖2 O F E D C B A G 圖1 F E D C B A G y x 圖2 O F E D C B A G 圖1 F E D C B A 例題講解三：如圖１,中,,cm,矩形的長(zhǎng)和寬分別為8cm和2cm,點(diǎn)和點(diǎn)重合,和在一條直線上．令不動(dòng),矩形沿所在直線向右以每秒1cm的速度移動(dòng)〔如圖２,直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止．設(shè)移動(dòng)秒后,矩形與重疊部分的面積為．求與之間的函數(shù)關(guān)系式． A B D P N C<M> ２ ２ 圖２ 圖１ A B D P N C<M> ２ ２ 圖２ 圖１ 變式練習(xí)3-1：如圖,在等腰梯形中,,,,．等腰直角三角形的斜邊,點(diǎn)與點(diǎn)重合,和在一條直線上,設(shè)等腰梯形不動(dòng),等腰直角三角形沿所在直線以的速度向右移動(dòng),直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止． 〔1等腰直角三角形在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中與等腰梯形重疊部分的形狀由形變化為形； 〔2設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切我苿?dòng)時(shí),等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式； 〔3當(dāng)時(shí),求等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積． A 〔N M P D C B A N M P D C B A 〔N M P D C B A N M P D C B 例題講解四：如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度 是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng), 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s,解答下列問(wèn)題： 〔1當(dāng)t＝2時(shí),判斷△BPQ的形狀,并說(shuō)明理由； 〔2設(shè)△BPQ的面積為S〔cm2,求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 〔3作QR//BA交AC于點(diǎn)R,連結(jié)PR,當(dāng)t為何值時(shí),△APR∽△PRQ？ 變式練習(xí)4-1：如圖,在梯形ABCD中,,,,,點(diǎn)由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s；同時(shí),線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s,交于Q,連接PE．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為〔s〔．解答下列問(wèn)題： 〔1當(dāng)為何值時(shí),？ 〔2設(shè)的面積為〔cm2,求與之間的函數(shù)關(guān)系式； A E D Q P B F C 〔3是否存在某一時(shí)刻,使？ A E D Q P B F C 變式練習(xí)4-2：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng),DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點(diǎn)D,交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒〔t＞0． 〔1當(dāng)t = 2時(shí),AP =,點(diǎn)Q到AC的距離是； 〔2在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,求△APQ的面積S與 t的函數(shù)關(guān)系式；〔不必寫(xiě)出t的取值范圍 〔3在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,四邊形QBED能否成 A C B P Q E D 為直角梯形？若能,求t的值．若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由； 〔4當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值． A C B P Q E D A C B P Q E D 3 / 3