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3.5.2 簡單線性規(guī)劃 教案 教學(xué)目標 （1）了解線性規(guī)劃的意義、了解可行域的意義； （2）掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法． （3）鞏固圖解法求線性目標函數(shù)的最大、最小值的方法； （4）會用畫網(wǎng)格的方法求解整數(shù)線性規(guī)劃問題． （5）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力． 教學(xué)重點、難點 二元線性規(guī)劃問題的解法的掌握． 教學(xué)過程 一．問題情境 1．問題：在約束條件下，如何求目標函數(shù)的最大值？ 二．建構(gòu)數(shù)學(xué) 首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為可行域，如圖（1）所示． 其次，將目標函數(shù)變形為的形式，它表示一條直線，斜率為，且在軸上的截距為． 平移直線，當它經(jīng)過兩直線與的交點時，直線在軸上的截距最大，如圖（2）所示． 因此，當時，目標函數(shù)取得最大值，即當甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)和時，可獲得最大利潤萬元． 這類求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題．其中使目標函數(shù)取得最大值，它叫做這個問題的最優(yōu)解．對于只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決． 說明：平移直線時，要始終保持直線經(jīng)過可行域（即直線與可行域有公共點）． 三．數(shù)學(xué)運用 例1．設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值． 解：由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域．由圖知，原點不在公共區(qū)域內(nèi)，當時，，即點在直線：上， 作一組平行于的直線：，， 可知：當在的右上方時，直線上的點 滿足，即， 而且，直線往右平移時，隨之增大． 由圖象可知， 當直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最大， 當直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最小， 所以，，． 例2．設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值． 解：由引例可知：直線與所在直線平行， 則由引例的解題過程知， 當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個， 當經(jīng)過點時，對應(yīng)最小， ∴，． 例3．已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)． 解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點分別為，則坐標分別為，，， 作一組平行線：平行于：， 當往右上方移動時，隨之增大， ∴當過點時最大為，但不是整數(shù)解， 又由知可取， 當時，代入原不等式組得， ∴； 當時，得或， ∴或； 當時，， ∴， 故的最大整數(shù)解為或． 例4．投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100米需要資金300萬元，需場地100平方米，可獲利潤200萬元．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？ 分析：這是一個二元線性規(guī)劃問題，可先將題中數(shù)據(jù)整理成下表，以方便理解題意： 資 金 （百萬元） 場 地 （平方米） 利 潤 （百萬元） A產(chǎn)品 2 2 3 B產(chǎn)品 3 1 2 限 制 14 9 然后根據(jù)此表數(shù)據(jù)，設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件和目標函數(shù)，最后用圖解法求解 解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤為百萬元， 則約束條件為，目標函數(shù)為． 作出可行域（如圖）， 將目標函數(shù)變形為，它表示斜率為，在軸上截距為的直線，平移直線，當它經(jīng)過直線與和的交點時，最大，也即最大．此時，． 因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤最大為1475萬元． 說明：（1）解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)出未知數(shù)；②列出約束條件（要注意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實際含義及計量單位的統(tǒng)一）；③建立目標函數(shù)；④求最優(yōu)解． （2）對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點． 四．回顧小結(jié)： 1．簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法． 2．鞏固圖解法求線性目標函數(shù)的最大值、最小值的方法； 3．用畫網(wǎng)格的方法求解整數(shù)線性規(guī)劃問題。 4．解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)出未知數(shù)；②列出約束條件；③建立目標函數(shù)；④求最優(yōu)解。 五．課外作業(yè)： www.ks5u.com w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com