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深入淺出的講解傅里葉變換 　　我保證這篇文章和你以前看過(guò)的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時(shí)候?qū)懙模钱?dāng)時(shí)沒(méi)有來(lái)得及寫(xiě)完就出國(guó)了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者…… 　　這篇文章的核心思想就是： 　　要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。 　　傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深?lèi)和唇^。老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫(xiě)得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？）所以我一直想寫(xiě)一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。 　　————以上是定場(chǎng)詩(shī)———— 　　下面進(jìn)入正題： 　　抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來(lái)就不是易事，我寫(xiě)這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來(lái)更加輕松，充滿(mǎn)樂(lè)趣。但是千萬(wàn)！千萬(wàn)不要把這篇文章收藏起來(lái)，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒(méi)有再打開(kāi)這個(gè)頁(yè)面。無(wú)論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開(kāi)心得多…… 　　一、嘛叫頻域 　　從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱(chēng)其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。但如果我告訴你，用另一種方法來(lái)觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。 　　先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過(guò)的例子： 　　在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢？ 　　 　　這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō)，音樂(lè)更直觀的理解是這樣的： 　　 　　好的！下課，同學(xué)們?cè)僖?jiàn)。 　　是的，其實(shí)這一段寫(xiě)到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已。 　　現(xiàn)在我們可以回過(guò)頭來(lái)重新看看一開(kāi)始那句癡人說(shuō)夢(mèng)般的話：世界是永恒的。 　　將以上兩圖簡(jiǎn)化： 　　時(shí)域： 　　 　　頻域： 　　 　　在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。 　　所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~） 　　以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預(yù)警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~） 　　你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè)章。 　?。ū娙耍弘u湯滾出知乎?。? 　　抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對(duì)不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂(lè)曲。 　　而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換（Fourier Transformation），我們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起。 　　二、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series） 　　還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。 　　如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來(lái)，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖： 　　 　　第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x） 　　第二幅圖是2個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加cos（x）+a.cos（3x） 　　第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加 　　第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加 　　隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？ 　?。ㄖ灰?，彎的都能掰直?。? 　　隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？） 　　不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。 　　還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來(lái)看看： 　　 　　在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。 　　這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。 　　好了，關(guān)鍵的地方來(lái)了??！ 　　如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。 　　對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。 　?。ê冒桑瑪?shù)學(xué)稱(chēng)法為——基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解釋?zhuān)竺孢€有正交基這樣的詞匯我會(huì)說(shuō)嗎？） 　　時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。 　　有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱(chēng)為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。 　　接下來(lái)，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。 　　 　　正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓 　　不能傳動(dòng)態(tài)圖真是太讓人惋惜了…… 　　想看動(dòng)圖的同學(xué)請(qǐng)戳這里： 　　File:Fourier series square wave circles animation.gif以及這里： 　　File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫(xiě)的哪有這里的文章這么沒(méi)節(jié)操是不是。 　　介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了： 　　 　　這是什么奇怪的東西？ 　　這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱(chēng)的頻譜，就是—— 　　 　　再清楚一點(diǎn)： 　　 　　可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。 　　動(dòng)圖請(qǐng)戳： 　　File:Fourier series and transform.gif老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。 　　但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？ 　　我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)… 　　上一篇文章《深入淺出的講解傅里葉變換1》發(fā)出來(lái)之后，為了掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽(tīng)到一句“完全看不懂啊”。幸虧我留了個(gè)心眼，不然就真的像標(biāo)題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過(guò)來(lái)掐死我，潛臺(tái)詞就是在你學(xué)了，但是沒(méi)學(xué)明白的情況下看了還是不懂，才過(guò)來(lái)掐死我。 　　另外，想跟很多人抱歉，因?yàn)樵u(píng)論太多了，時(shí)間有限，不能給每個(gè)人回復(fù)，還望大家諒解。但是很感謝一直在評(píng)論區(qū)幫忙解答讀者問(wèn)題的各位，就不一一@了。 　　這里鄭重感謝大連海事大學(xué)的吳楠老師，一位學(xué)識(shí)淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當(dāng)時(shí)大三他教我通信原理，但是他先用了4結(jié)課幫我們復(fù)習(xí)了很多信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念，那個(gè)用樂(lè)譜代表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對(duì)這門(mén)課豁然開(kāi)朗，才有了今天的這篇文章。 　　————————————今天的定場(chǎng)詩(shī)有點(diǎn)長(zhǎng)—————————— 　　下面繼續(xù)開(kāi)始我們無(wú)節(jié)操的旅程： 　　上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。 　　在第二課最開(kāi)始，我想先回答很多人的一個(gè)問(wèn)題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。 　　先說(shuō)一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事： 　　先在紙上畫(huà)一個(gè)sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。 　　好，接下去畫(huà)一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。 　　別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對(duì)吧？ 　　好，畫(huà)不出來(lái)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。 　　但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線而已。 　　所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱(chēng)為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。 　　再說(shuō)一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過(guò)這段）微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。 　　傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。 　　———————————————————————————————————— 　　下面我們繼續(xù)說(shuō)相位譜： 　　通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。 　　 　　鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來(lái)標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。 　　 　　這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。 　　在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜?！? 　　注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)椋?pi，pi］，所以圖中的相位差均為Pi。 　　最后來(lái)一張大集合： 　　 　　好了，你是不是覺(jué)得我們已經(jīng)講完傅里葉級(jí)數(shù)了？ 　　抱歉讓你失望了，以上我們講解的只是傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式。接下去才是最究極的傅里葉級(jí)數(shù)——指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。但是為了能更好的理解指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們還需要一個(gè)工具來(lái)幫忙——?dú)W拉公式。 　　歐拉公式，以及指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們下一講再講。謝謝大家（鞠躬）。 　　————————————————————————————————————— 　　今天講的部分不多，但是我希望大家能夠理解，我也有自己的生活，留給知乎的時(shí)間并不多，但是我很喜歡在知乎與別人交流的過(guò)程。上一次的那些文章大家知道我當(dāng)時(shí)寫(xiě)了多久么？四天，每天寫(xiě)6小時(shí)那種，而且當(dāng)時(shí)還是在假期。主要是圖太不好做了，有人問(wèn)到作圖的方法，其實(shí)就是簡(jiǎn)單的MATLAB+PHOTOSHOP，作圖的確是很費(fèi)時(shí)間，但是我相信做出這些圖是值得的，因?yàn)槲蚁嘈艌D一定比文字更好理解。也希望可以將這些自己學(xué)習(xí)時(shí)的感受和經(jīng)驗(yàn)更完整的分享給需要的人。 　　所以請(qǐng)大家稍微有點(diǎn)耐心，我會(huì)認(rèn)真把這個(gè)故事講完。也謝謝大家的理解和支持。