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2009年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編——概率 1、(湖北卷理) 3、投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)（m+ni）(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為 A、 B、 C、 D、 3．【答案】C 2、（江蘇卷）5.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為 ▲ . 【解析】 考查等可能事件的概率知識(shí)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所求概率為0.2。 3、（安徽卷理）（10）考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于高.考.資.源.網(wǎng) （A） （B） （C） （D） A B C D E F [解析] 如圖，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這 6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，共有 種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 共12對(duì)，所以所求概率為，選D 4、（福建卷）8.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%。現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)， 指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果。經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 8．【答案】：B 5、（廣東卷）12．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如右表．若，，則 ， ． 【解析】由題知，，，解得，. 6、(湖南卷) 13、一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位 。 【答案】：40 7、（上海）7．某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望____________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）. 8、（重慶卷）6．鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（ C ） A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9、（重慶卷）17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問(wèn)7分，（Ⅱ）問(wèn)6分） 某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為和，且各株大樹(shù)是否成活互不影響．求移栽的4株大樹(shù)中： （Ⅰ）兩種大樹(shù)各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株數(shù)的分布列與期望．w.w. (17)（本小題13分） 解：設(shè)表示甲種大樹(shù)成活k株，k＝0，1，2 　　表示乙種大樹(shù)成活l株，l＝0，1，2 　　則，獨(dú)立. 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有 , . 據(jù)此算得 　　 , , . , , . (Ⅰ) 所求概率為 　　　　　. (Ⅱ) 解法一： 　　　　的所有可能值為0，1，2，3，4，且 , , = , . . 綜上知有分布列 0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 從而，的期望為 （株） 解法二： 分布列的求法同上 令分別表示甲乙兩種樹(shù)成活的株數(shù)，則 故有 從而知 10、（四川卷）18. （本小題滿分12分） 為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱(chēng)金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱(chēng)銀卡）。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。 （I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率； （II）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 （18）本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 解：（Ⅰ）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。 …………………………………………………………6分 （Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3 , ，， 所以的分布列為 0 1 2 3 所以， ……………………12分 11、（天津卷）（18）（本小題滿分12分） 在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： （I） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小題主要考查古典概型及計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。 （Ⅰ）解：由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望EX= （Ⅱ）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= , 所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++= 12、(浙江卷) 20090423 19．（本題滿分14分）在這個(gè)自然數(shù)中，任取個(gè)數(shù)． （I）求這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)是偶數(shù)的概率； （II）設(shè)為這個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為，則有兩組相鄰的數(shù) 和，此時(shí)的值是）．求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望． 解析：（I）記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）隨機(jī)變量的取值為的分布列為 0 1 2 P 所以的數(shù)學(xué)期望為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13、（遼寧卷）（19）（本小題滿分12分） 某人向一目射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為。該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6。擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比。 （Ⅰ）設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列； （Ⅱ）若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P（A）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）解： （Ⅰ）依題意X的分列為 ………………6分 （Ⅱ）設(shè)A1表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2. 依題意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3， , 所求的概率為 ………12分 14、（全國(guó)1）19．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙各勝1局。 （I）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （II）設(shè)表示從第3局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望。 分析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。 需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒(méi)讀懂題。 另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。 15、(山東卷) (19)(本小題滿分12分) 在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 0 2 3 4 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求q的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E; （3） 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小。 解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,. 根據(jù)分布列知: =0時(shí)=0.03,所以，q=0.8. （2）當(dāng)=2時(shí), P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m =0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24 當(dāng)=3時(shí), P2 ==0.01, 當(dāng)=4時(shí), P3==0.48, 當(dāng)=5時(shí), P4= =0.24 所以隨機(jī)變量的分布列為 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 （3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率為 ; 該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過(guò)3分的概率為0.48+0.24=0.72. 由此看來(lái)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大. 【命題立意】:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 16、（全國(guó)卷2）20（本小題滿分12分） 某車(chē)間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核。 （I）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （II）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （III）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：（I）這一問(wèn)較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性別無(wú)關(guān)。 （II）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，這一問(wèn)處理起來(lái)也并不困難。 從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率 （III）的可能取值為0，1，2，3 ，， ， 分布列及期望略。 評(píng)析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。在計(jì)算時(shí)，采用分類(lèi)的方法，用直接法也可，但較繁瑣，考生應(yīng)增強(qiáng)靈活變通的能力。 （江西卷）18．（本小題滿分12分） 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專(zhuān)家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審．假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助，令表示該公司的資助總額． (1) 寫(xiě)出的分布列； (2) 求數(shù)學(xué)期望．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（1）的所有取值為 （2）. 17、(湖南卷)17.（本小題滿分12分） 為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類(lèi)，這三類(lèi)工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率； （II）記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。 解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 ,,，i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且P（）=，P（）=，P（）= （1） 他們選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6= (2) 解法1 設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B（3，），且=3。 所以P（=0）=P（=3）==， P（=1）=P（=2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P（=2）=P（=1）== P（=3）=P（=0）= = 故的分布是 0 1 2 3 P 的數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3=2 解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件， i=1,2,3 ，由此已知，D，相互獨(dú)立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+= 所以--,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的分布列是 1 2 3 18、（福建卷）16.（13分） 從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)。 （1） 記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)r的概率； （2） 記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E 16、解：（1）記”所取出的非空子集滿足性質(zhì)r”為事件A 基本事件總數(shù)n==31 事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A包含的基本事件數(shù)m=3 所以 （II）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，5 又， ， ， 故的分布列為： 1 2 3 4 5 P 從而E+2+3+4+5