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本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘. 第I卷（選擇題） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．設(shè)集合的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2.公差不為0的等差數(shù)列中, ,數(shù)列是等比數(shù)列，且,則（ ） A．4 B．8 C．16 D．36 3. 若純虛數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則（　?。? A． B． C．-4 D．4 4．若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為（ ） A. B. C. D. 6 5．已知直線（其中）與圓交于，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則=（ ） A．- 1 B．- 1 C． - 2 D．2 6．設(shè)，則二項(xiàng)式，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ） A. B. 192 C. -6 D. 6 A B C D 7．已知對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù),則函數(shù)的圖象大致是（ ） 8．關(guān)于的方程的兩實(shí)根為，若，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題） 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分. 7 9 8 4 4 6 4 7 9 3 （一）必做題（9—12題） 9. 右圖是2008年北京奧運(yùn)會(huì)上，七位評(píng)委為某奧運(yùn)項(xiàng)目打出 的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩 數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ；方差為 . 10.已知，則的值為_______． 11. 在如下程序框圖中，已知：，則輸出的是_________ _. 否 是 開始 輸入f 0 (x ) 結(jié)束 =2009 輸出 f i (x) 12. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為 ． （二）選做題（13—15題，考生只能從中選做兩題） 13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，從極點(diǎn)O作直線與另一直線相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使.設(shè)R為上任意一點(diǎn)，則RP的最小值 ． 14. （不等式選講選做題）若關(guān)于的不等式(R)的解集為，則的取值范圍是 ． 15. （幾何證明選講選做題）如圖，⊙O1與⊙O2交于M、N兩點(diǎn)，直線AE與這兩個(gè)圓及MN依次交于A、B、C、D、E．且AD＝19，BE＝16，BC＝4，則AE＝ ． 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.（本小題滿分12分） 已知在中，所對(duì)的邊分別為，若 且 (Ⅰ)求角A、B、C的大?。? (Ⅱ)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并指出它相鄰兩對(duì)稱軸間的距離. 17. （本小題滿分13分） 在2008年北京奧運(yùn)會(huì)某項(xiàng)目的選拔比賽中, 、兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行對(duì)抗賽, 每隊(duì)三名隊(duì)員, 隊(duì)隊(duì)員是隊(duì)隊(duì)員是按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì), 對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下表, 現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)進(jìn)行三場(chǎng)比賽, 每場(chǎng)勝隊(duì)得1分, 負(fù)隊(duì)得0分, 設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為、, 且. （Ⅰ）求A隊(duì)得分為1分的概率； （Ⅱ）求的分布列;并用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)說明哪個(gè)隊(duì)實(shí)力較強(qiáng). 對(duì)陣隊(duì)員 隊(duì)隊(duì)員勝 隊(duì)隊(duì)員負(fù) 對(duì) 對(duì) 對(duì) 18. （本小題滿分13分） 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過三點(diǎn)作圓，其中圓心的坐標(biāo)為. (Ⅰ)當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍. (Ⅱ)直線能否和圓相切？證明你的結(jié)論. 19. （本小題滿分13分） 在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）.將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2） （Ⅰ）求證：A1E⊥平面BEP； （Ⅱ）求直線A1E與平面A1BP所成角的大??； （III）求二面角B－A1P－F的余弦值. 20. （本小題滿分14分） 已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為4， 公差為2的等差數(shù)列. (Ⅰ)求證：數(shù)列是等比數(shù)列； (Ⅱ) 若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和； （III）若，問是否存在實(shí)數(shù)，使得中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由． 21. （本小題滿分14分） 已知函數(shù)F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t為常數(shù)，t∈R）. (Ⅰ)寫出此函數(shù)F(x)在R上的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)若方程F(x)－k=0恰有兩解，求實(shí)數(shù)k的值． 【答案及詳細(xì)解析】 一、選擇題：本大題理科共8小題，每小題5分，共40分. 文科共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.【解析】A. ;, .選A. 【鏈接高考】本題主要考查集合的有關(guān)知識(shí),解不等式,以及充要條件等知識(shí).集合是學(xué)習(xí)其它知識(shí)的基礎(chǔ)，在高考中時(shí)有出現(xiàn)，通常與函數(shù)、不等式的知識(shí)綜合考查，難度不大，基本是送分題. 2.【解析】D.解: ,即,,由知, .. 【鏈接高考】 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì). 縱觀近幾年的高考，基本上是考查兩個(gè)基本數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用.這種趨勢(shì)近幾年還會(huì)保持. 兩類基本數(shù)列問題,是高考的熱點(diǎn). 3．【解析】C．設(shè),則有,即,即,解得. 【鏈接高考】有關(guān)復(fù)數(shù)的考查，最近五年只是一道選擇題，主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算. 4．【解析】B.棱柱的高是4，底面正三角形的高是，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則， ，故三棱柱體積. 【鏈接高考】三視圖是高考的新增考點(diǎn),不時(shí)出現(xiàn)在高考試題中,應(yīng)予以重視． 5．【解析】C.圓心O到直線的距離，所以,，所以=（，故選C. 【鏈接高考】本題是考察平面幾何、向量、解析幾何有關(guān)知識(shí)，預(yù)測(cè)也是今年是高考考熱點(diǎn)，要注意. 6．【解析】A. ，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，得，故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是. 【鏈接高考】本小題設(shè)計(jì)巧妙，綜合考查定積分和二項(xiàng)式定理，是一道以小見大的中檔題，不可小視. 7．【解析】B. 由函數(shù)是增函數(shù)知, .故選B. 【鏈接高考】本小題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及分析問題和解決問題的能力.這類試題經(jīng)常出現(xiàn),要高度重視. 8．【解析】D.設(shè)，則方程的兩實(shí)根滿足的 充要條件是，作出點(diǎn)滿足的可行域?yàn)棣さ膬?nèi)部，其中點(diǎn)、、，的幾何意義是Δ內(nèi)部任一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，而，，作圖，易知. 【鏈接高考】本小題是一道以二次方程的根的分布為載體的線性規(guī)劃問題，考查化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，能力要求較高. 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分. （一）必做題（9—12題） 9.【解析】；. 由莖葉圖知，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后，所剩數(shù)據(jù)84，84，86，84，87的平均數(shù)為；方差為 . 【鏈接高考】莖葉圖、平均數(shù)和方差屬于統(tǒng)計(jì)部分的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的新增內(nèi)容，考生應(yīng)引起足夠的重視，確保穩(wěn)拿這部分的分?jǐn)?shù). 10.【解析】.當(dāng)時(shí), ,故 . 【鏈接高考】本題主要考查分段函數(shù),函數(shù)的周期性,三角函數(shù)的求值等.有關(guān)函數(shù)方程問題時(shí)常出現(xiàn)在高考試題中,考生應(yīng)該進(jìn)行專題研究. 11. 由. 【鏈接高考】讀懂流程圖是高考對(duì)這部分內(nèi)容的最基本的要求，也是最高考常見的題型.本題是把導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與流程圖結(jié)合在一起的綜合題. 12.【解析】.由知,.由知, .則,即. 【鏈接高考】本題是有關(guān)橢圓的焦點(diǎn)三角形問題,卻披上了平面向量的外衣,實(shí)質(zhì)是解三角形知識(shí)的運(yùn)用. （二）選做題（13—15題，考生只能從中選做兩題） 13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）【解析】1.設(shè)，，.故P在圓: 上,而R為直線: .由圖象知,. 【鏈接高考】本小題主要考查直線與圓的極坐標(biāo)方程的有關(guān)知識(shí),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.解決本題的關(guān)鍵是將它們轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的直線與圓的位置關(guān)系問題來處理. 14. （不等式選講選做題）【解析】.因?yàn)?，所以若不? 式的解集為，則的取值范圍是. 【鏈接高考】本小題主要考查含絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)，這類問題是高考選做題中的常規(guī)題，解題方法要熟練掌握. 15. （幾何證明選講選做題）【解析】28．因?yàn)锳，M，D，N四點(diǎn)共圓，所以．同理，有．所以，即，所以 ABCD＝BCDE． 設(shè)CD＝x,則AB＝AD- BC-CD＝19-4-x=15-x, DE＝BE- BC-CD＝16-4-x=12-x,則，即，解得或（舍）. AE＝AB+ DE- BD＝19+16-7=28. 【鏈接高考】本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系,以及相交弦定理的有關(guān)知識(shí),分析問題和解決問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.【解析】(Ⅰ)由題設(shè)及正弦定理知:,得 ∴或 ,即或 當(dāng)時(shí),有, 即,得,; 當(dāng)時(shí),有,即 不符題設(shè) ∴, …………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí), 為增函數(shù) 即的單調(diào)遞增區(qū)間為. ………11分 它的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為. ………12分 【鏈接高考】 解決本題的關(guān)鍵是,利用正弦定理把三角形邊角問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵，三角形與三角函數(shù)、向量與三角函數(shù)高考考察的熱點(diǎn). 17.【解析】（Ⅰ）設(shè)A隊(duì)得分為1分的事件為, ∴. ………… 4分 （Ⅱ）的可能取值為3 , 2 , 1 , 0 ; , , , ∴的分布列為: 0 1 2 3 P ………… 10分 于是 , ……………… 11分 ∵ , ∴ . ……………………… 12分 由于, 故B隊(duì)比A隊(duì)實(shí)力較強(qiáng). ……………………… 13分 【鏈接高考】本題主要考查的是隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望問題.這是概率與統(tǒng)計(jì)大題考查的主陣地,預(yù)計(jì)還有可能與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、數(shù)列以及不等式等知識(shí)綜合考查. 18. 【解析】(Ⅰ)由題意的中垂線方程分別為， 于是圓心坐標(biāo)為. …………………………………4分 =，即 , 即,所以，于是＞ 即， 所以,即 ＜＜. ………………7分 （Ⅱ）假設(shè)相切， 則， ………………………………………9分 ，……11分 這與矛盾. 故直線不能與圓相切. ………………………………………………13分 【鏈接高考】 本題主要考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系以及分析問題與解決問題的能力.圓錐曲線與圓的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，要引起足夠的重視. 19. 【解析】不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長(zhǎng)為 3 . （解法一）(I)在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF． ∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…………2分 在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角． 由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE． 又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．……….4分 (II)在圖2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜線． 又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP, 從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）． 設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于點(diǎn)Q，則 ∠EA1Q就是A1E與平面A1BP所成的角，…………………6分 且BP⊥A1Q． 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=600， ∴△EBP是等邊三角形，∴BE=EP． 又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=， 又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=,∴∠EA1Q=600． 所以直線A1E與平面A1BP所成的角為600．…………………8分 (III)在圖3中，過F作FM⊥A1P于M，連結(jié)QM，QF． ∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP是正三角形，∴PF=1． 又PQ=BP=1，∴PF=PQ． ① ∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=， ∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP, 從而∠A1PF=∠A1PQ. ② 由①②及MP為公共邊知,△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ， 從而∠FMQ為二面角B-A1P-F的平面角.……………10分 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=. ∵M(jìn)Q⊥A1P, ∴MQ=,∴MF=. 在△FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=. 在△FMQ中，cos∠FMQ=. 所以二面角B-A1P-F的余弦值是．.……………..13分 （解法二）(I)同解法一． (II)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，則E(0,0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),則,． 設(shè)平面ABP的法向量為， 由平面ABP知，，即 令，得，． , , 所以直線A1E與平面A1BP所成的角為600． (II) ，設(shè)平面AFP的法向量為． 由平面AFP知，，即 令，得，． , 所以二面角B-A1P-F的余弦值是．.……………..13分 【鏈接高考】本題主要考查四棱錐的有關(guān)知識(shí),直線與平面垂直,直線于平面所成的角,二面角的問題,以及分析問題與解決問題的能力.簡(jiǎn)單幾何體是立體幾何解答題的主要載體,特別是棱柱和棱錐. 20.【解析】(Ⅰ) 證：由題意，即， ……1分 ∴∴. ……2分 ∵常數(shù)且，∴為非零常數(shù)， ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. ……3分 (II) 解：由(1)知，， 當(dāng)時(shí)，. …………4分 ∴， ① . ② ……5分 ②－①，得 ∴ . ……8分 (III) 解：由(1)知，，要使對(duì)一切成立， 即對(duì)一切成立. ……9分 ① 當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切恒成立；……10分 ② 當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切恒成立，只需，……11分 ∵單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，. ……12分 ∴，且， ∴. ……13分 綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足條件. ……14分 【鏈接高考】本題綜合考查數(shù)列的基本知識(shí)、方法和運(yùn)算能力，以及分類討論和化歸、轉(zhuǎn)化的思想方法. 錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的一種重要方法，備考復(fù)習(xí)中要引起重視. 21.【解析】(Ⅰ) ∴ .……………..4分 由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立， ∴ i) 當(dāng)<－1時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間(－∞，－1)上是減函數(shù)， 在區(qū)間(－1，1)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)． ii) 當(dāng)1>≥－1時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間(－∞，)上是減函數(shù)， 在區(qū)間(，1)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)． iii) 當(dāng)≥1時(shí)，F(xiàn)(x)在(－∞，+∞)上是減函數(shù)． .……………..8分 (II)由1）可知 i) 當(dāng)<－1時(shí)，F(xiàn)(x)在x=－1處取得極小值－1－t， 在x=1處取得極大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有兩解， 此時(shí)m=－1－t或m=3－t． ii) 當(dāng)－1≤<1，F(xiàn)(x)在x=處取值為， 在x=1處取得極大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有兩解， 此時(shí)m=或m=3－t． iii) 當(dāng)≥1時(shí)，不存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得F(x)－m=0恰有兩解．.……………..14 【鏈接高考】本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論. 在新高考中每年有一道導(dǎo)數(shù)綜合題,同學(xué)們應(yīng)高度重視.