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2011年高考數(shù)學(xué)模擬題 一、填空題 1.已知復(fù)數(shù) z1=m+2i，z2=3-4i，若 為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為 。 -。 2．如圖墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分 都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是 。 1-。 3. 甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組各有10名同學(xué)，他們?cè)谝淮螖?shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的莖葉圖如下圖所示，則他們?cè)谶@次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)較好的是　　甲　　組。 甲 乙 5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 4. 設(shè)集合A={0,1,2}，B={0,1,2}，分別從集合A和B中隨機(jī) 取一個(gè)數(shù)a,和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a,b)，記“點(diǎn)P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(0≤n≤4， n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的可能值為 。 2。 5. 在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的中心坐標(biāo)為(3，2)，其一邊AB所在直線的方程為x-y+1=0，則邊AB的對(duì)邊CD所在直線的方程為 。 x-y-3=0。 6. 某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積 是 cm3。 (cm3)。 7. 若點(diǎn)P(2，0)到雙曲線-=1的一條漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為 。 。 8．已知流程圖如右圖所示，該程序運(yùn)行后，為使輸出的b值為16，則循環(huán)體的判斷框內(nèi)①處應(yīng)填 。 3。 9. 函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)M(1, f(1))處的切線方程是y=3x-2，則f(1)+ f ′(1)= 。 4。 10．若直線ax+by=1(a,b∈R)經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，則+的最小值是 。 3+2。 11．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y) 滿足條件，則的最大值為 。 4。 14.下列命題中，錯(cuò)誤命題的序號(hào)有 (1)、(2)、(3) 。 (1)“a=-1”是“函數(shù)f(x)= x2+|x+a+1| ( x∈R) 為偶函數(shù)”的必要條件； (2)“直線l垂直平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”是“直線l垂直平面α”的充分條件； (3)已知a，b，c為非零向量，則“ab= ac”是“b=c”的充要條件； (4)若p: ?x∈R，x2+2x+2≤0,則 ￢p:?x∈R，x2+2x+2＞0。 二、代數(shù)基本題 1、已知向量a=(cosx，sinx)，b=(-cosx，cosx)，c=(-1，0)。 (1)若x=，求向量a，c的夾角； (2)當(dāng)x∈[，]時(shí)，求函數(shù)f(x)=2ab+1的最大值。 解：(1)當(dāng)x=時(shí)，cos= = =-cosx=-cos=cos。 ∵ 0≤≤π，∴=。 (2) f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1 =2sinxcosx-(2cos2x-1) =sin2x-cos2x=sin(2x-)。 ∵ x∈[，]，∴2x-∈[，2π]， 故sin(2x-)∈[-1, ]， ∴當(dāng)2x-=，即x=時(shí)，f(x)max=1。 2、已知⊿ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值；(2)若a=2，求⊿ABC周長(zhǎng)的最大值。 解：(1)∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，結(jié)合余弦定理知cosA=，∴A=， ∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sinA=。 (2)由a=2，結(jié)合正弦定理，得 b+c=sinB+sinC =sinB+sin(-B) =2sinB+2cosB=4sin(B+)， 可知周長(zhǎng)的最大值為6。 3、口袋中裝有質(zhì)地大小完全的5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)。如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)就算甲勝，否則算乙勝。 (1)求甲勝且編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率； (2)這種游戲規(guī)則公平嗎？說明理由。 解：(1)設(shè)“甲勝且兩個(gè)編號(hào)的和為6”為事件A，甲編號(hào)x，乙編號(hào)y，(x，y)表示一個(gè)基本事件，則兩人摸球結(jié)果包括(1，1)，(1，2)，……(1，5)，(2，1)，(2，2)，……(5，4)，(5，5)共25個(gè)基本事件；A包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5個(gè)，所以P(A)== 。 答：編號(hào)之和為6且甲勝的概率為。 (2)這種游戲不公平。 設(shè)“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C。甲勝即兩編號(hào)之和為偶數(shù)所包(含基本事件數(shù)為以下13個(gè)：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)；所以甲勝的概率為P(B)=。 乙勝的概為P(C)=1-=，∵P(B)≠P(C)，∴這種游戲規(guī)則不公平。 三、立體幾何題 4、如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)。 (1)求證：AF∥平面PCE； (2)求證：平面PCE⊥平面PCD。 證明： (1)取PC中點(diǎn)G，連接FG、EG。 因?yàn)镕、G分別為PD、PC的中點(diǎn)， 所以FG∥CD且FG=CD， 又AE∥CD且AE=CD， 所以，F(xiàn)G∥AE且FG=AE， 四邊形AEGF為平行四邊形， 因此，AF∥EG，又AF ?平面PCE，所以AF∥平面PCE。 (2) 由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD⊥AF。 又PA⊥AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，則AF⊥PD， 因此，AF⊥平面PCD。 而AF∥EG，故EG⊥平面PCD， 又EG?平面PCE，所以，平面PCE⊥平面PCD。 四、解析幾何題 5、已知橢圓 x2+=1(0＜b＜1)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A，C，上頂點(diǎn)為B，過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n)。 (1)當(dāng)m+n＞0時(shí)，求橢圓離心率的范圍； (2)直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論。 解：(1)設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為(-c, 0)，(0, b)，(1, 0)，則FC、BC的中垂線分別為x=，y-=(x-)，聯(lián)立方程組，解出 。 m+n=+＞0，即 b-bc+b2-c＞0，即 (1+b)(b-c)＞0，∴b＞c。 從而b2＞c2，即有 a2＞2c2，∴e2＜，又e＞0，∴0＜e＜。 (2)直線AB與⊙P不能相切。由 kAB=b，kPB==， 如果直線AB與⊙P相切，則 b=-1，又b2+c2=1， 解出c=0或2，與0＜c＜1矛盾，所以直線AB與⊙P不能相切。 五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題 6、水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間(單位：月)，以年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為 v(t)= 。 (1)若該水庫(kù)的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以i-1＜t≤i表示第i月份(i=1，2，…12)，問一年內(nèi)那幾個(gè)月份是枯水期？ (2)求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量(取e3=20計(jì)算)。 解：(1)當(dāng)0=， ∴所以二面角A-A1D-B的大小為arccos。 13、如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形， 側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點(diǎn)。 (1)證明PA平面BDE； (2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值； (3)在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF? 證明你的結(jié)論。 解：(1) 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=CD=2，則A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。 設(shè)=(x,y,z)是平面BDE的一個(gè)法向量， 則由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)， ∵ =2-2=0，∴⊥，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE。 (2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一個(gè)法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一個(gè)法向量。 設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ,由圖可知θ=<,>， ∴ cosθ=cos<,>===， 故二面角B-DE-C余弦值為。 (3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴=0+2-2=0，∴PB⊥DE。 假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB平面DEF，設(shè)=λ(0＜λ＜1)， 則 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)， 由=0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0， ∴ λ=∈(0,1)，此時(shí)PF=PB， 即在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。 九、隨機(jī)變量題（理科附加） 14、某班從6名干部中(其中男生4人，女生2人)，選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)。 (1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望； (2)求男生甲或女生乙被選中的概率； (3)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率。 解：(1) ξ的所有可能取值為0，1，2，依題意得： P(ξ=0)= =，P(ξ=1)= =，P(ξ=2)= =。 ξ 0 1 2 P ∴ ξ的分布列為 ∴Eξ=0+1+2=1。 (2)設(shè)“男生甲、女生乙都不被選中”為事件C，則P(C)= =， ∴所求概率為P()=1-P(C)= 。 (3)設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則 P(A)= =，P(AB)= =， ∴在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為P(B|A)= =。 15、一袋中有m(m∈N*)個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球。 (1)當(dāng)m=4時(shí)，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率； (2)當(dāng)m=3時(shí)，設(shè)ξ表示取出的2個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望; (3)如果取出的2個(gè)球顏色不相同的概率小于，求m的最小值。 解：(1)設(shè)“取出的2個(gè)球顏色相同”為事件A，P(A)= =。 ξ 0 1 2 P (2) Eξ=0+1+2=。 (3)設(shè)“取出的2個(gè)球中顏色不相同”為事件B，則 P(B)= ＜, ∴x2-6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3-，x的最小值為6。 十、混合題(理科附加) 16、已知f(x)=(1+x)α(1+)β (α,β,x∈R+)， (1)求f(x)的最小值； (2)如果y＞0，求證: ()α+β≤()α()β； (3)如果α1,α2,… αn,β1,β2,…βn＞0， 求證: ()α1+α2+…+αn≤()α1()α2 …()αn。 (1)解：f ′(x)= α(1+x)α-1(1+)β+(1+x)αβ(1+)β-1(-1) =(x-)， ∵x∈(，∞)時(shí)f ′(x)＞0，x∈(0，)時(shí)，f ′(x)＜0. ∴f(x)max= f()=()α()β。 (2)證：∵f()≤f()，∴()α()β≤()α()β， 即()α+β≤()α()β。 (3)當(dāng)n=2時(shí)，由(2)可知()α1+α2≤()α1()α2， 設(shè)n=k時(shí)，()α1+α2+…+αn ≤()α1()α2 …()αn， 當(dāng)n=k+1時(shí)，()α1+α2+…+αn+αn+1 =[](α1+α2+…+αn)+αn+1 ≤()α1+α2+…+αn ()αn+1 ≤()α1()α2 …()αn()αn+1。 所以，結(jié)論對(duì)一切n成立。