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系領(lǐng)導(dǎo) 審批并簽名 A卷 廣州大學(xué)2005-2006 學(xué)年第一學(xué)期試卷 課程 數(shù)學(xué)分析 考試形式（閉卷，考試） 數(shù)信學(xué)院數(shù)學(xué)系 04級 ①②③④⑤⑥班 學(xué)號 姓名 題 號 一 二 三 四 五 總 分 評卷人 分 數(shù) 10 10 36 14 30 100 評 分 一、填 空 題 10分 （2分 / 題） 1.將函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù)______________________ 。 2.將f ( x ) = [ x ] 在( - π,π )上展開的傅里葉級數(shù)在0點(diǎn)處收斂于_______________ 。 3.方程 sin ( ) + + arctany = 1 在( 0 , 0 )點(diǎn)附近可以確定的隱函數(shù)關(guān)系為 __________________________。 4. F( x ) = , 則 =___________________ 。( x > 0 ) 5、= _________________ 。(其中L：) 二、單項(xiàng)選擇題 （2分/題 ，共10分） 1、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域?yàn)開__________ 。 A、 2 ，[ - 2 , 2 ] ； B、 2 ，( - 2 , 2 ) ； C、 , ( - , ) ； D、， [ - , ] ； 2、f ( x ) = 在( 0 , 0 )點(diǎn)先x后y與先y后x累次極限及重極限分別為________ 。 A、1 , 1 , 1； B、1 , 1 , 0； C、- 1 , 1 , 0； D、- 1 , 1 , 不存在。 3.f為連續(xù)函數(shù),交換積分次序: ________。 A、； B、； C、； D、。 4、f在D : 上連續(xù),則在極坐標(biāo)變換下 。 A、； B、； C、 ； D、。 5、f ( x , y ) 在光滑有向曲面S上連續(xù),S 為S的反向曲面, D為S在X O Y面上投影,則下列敘述正確的是 。 A、； B、 C、若f ( x , y )非負(fù),則 D、,使 ,為S的面積 。 三、計(jì)算題（共36分，每小題均為6分） 1、求由方程 確定的隱函數(shù)的微分 ( 其中f 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) )。 2、 ，其中 為拋物線 一段 ， A ( 1 ， 1 )， O ( 0 ， 0 ) 。 3 、 ， 其中D 由 與 圍成 。 4 、 已知 ， 求 導(dǎo)數(shù) 。 5 、 。 6、 驗(yàn)證 ： 為全微分式并求其原函數(shù) 。 四、應(yīng)用題 ( 共 14 分 ) 1. 擬在地面設(shè)立監(jiān)測點(diǎn) 對神州號飛船運(yùn)行軌道上某一定點(diǎn) 實(shí)施監(jiān)控。要求 到 的距離為 到地面上的點(diǎn)的距離為最短。設(shè)地面為光滑曲面 F ( x , y , z ) = 0 ； ( 1 ) 指出直線 與曲面 F ( x , y , z ) = 0的關(guān)系； ( 2 ) 證明 ( 1 ) 的結(jié)論 ( 由實(shí)際知 點(diǎn)必存在 )。 （8 分） 2. 求由直線 , 圍成平行四邊形面積 (其中 ) 。 ( 6 分 ) 五、證明題 （4小題，共30分） 1、 f ( x , y ) = ｛ 證明： ( 1 ) f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 連續(xù)； ( 2 ) f ( x , y ) 在 點(diǎn)( 0 , 0 ) 存在偏導(dǎo)數(shù)； ( 3 ) f ( x , y ) 在 點(diǎn)( 0 , 0 ) 不可微。 ( 10 分 ) 2、 證明 : 含參量反常積分 在 ( 1 , ) 上一致收 斂 。 ( 6 分 ) 3、 證明： 其中L為任一光滑不經(jīng)過原點(diǎn)的簡單封閉曲線 ,方向取正向。D為L圍成的區(qū)域。 ( 8分 ) 4、 若f ( u ) 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明： 其中S為任一光滑的雙側(cè)封閉曲面。 ( 6 分 )