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一、　條件分式求值 類型1　歸一代入法 將條件式和所求分式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，然后整體代入，使分子、分母化歸為同一個(gè)只含相同字母積的分式，便可約分求值． 1．已知＋＝3，求的值． 解：由已知條件＋＝3，得a＋b＝3ab. 對(duì)待求式進(jìn)行變形，得＝.將a＋b視為一個(gè)整體，代入得 ＝＝＝－. 類型2　整體代入法 將條件式和所求分式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，然后整體代入求值． 2．已知a2－a＋1＝2，求＋a－a2的值． 解：由條件式得a2－a＝1， 故原式＝－(a2－a)＝－1＝1. 3．已知－＝5，求的值． 解：顯然xy≠0.將待求式的分子、分母同時(shí)除以xy，得 ＝＝＝－5. 4．已知a＋b＋c＝0，求c(＋)＋b(＋)＋a(＋)的值． 解：原式＝c(＋＋)－1＋b(＋＋)－1＋a(＋＋)－1 ＝(＋＋)(c＋b＋a)－3. ∵a＋b＋c＝0， ∴原式＝－3. 類型3　設(shè)輔助元代入法 在已知條件中有連比或等比時(shí)，一般可設(shè)參數(shù)k，往往立即可解． 5．已知＝＝，求的值． 解：令＝＝＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k. ∴原式＝＝＝. 6．已知＝＝≠0，求的值． 解：設(shè)＝＝＝k≠0，則x＝3k，y＝4k，z＝7k. ∴原式＝＝＝5. 類型4　構(gòu)造互倒式代入法 構(gòu)造x2＋＝(x)2?2迅速求解，收到事半功倍之效． 7．已知m2＋＝4，求m＋和m－的值． 解：在m2＋＝4的兩邊都加上2，得(m＋)2＝6，故m＋＝. 同理(兩邊都減2)，可得m－＝. 8．若x＋＝3，求x2＋的值． 解：x2＋＝(x＋)2－2＝32－2＝7. 類型5　主元法 若兩個(gè)方程有三個(gè)未知數(shù)，故將其中兩個(gè)看作未知數(shù)，剩下的第三個(gè)看作常數(shù)，聯(lián)立解方程組，思路清晰、解法簡(jiǎn)潔． 9．已知3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求的值． 解：以x、y為主元，解方程組 得 ∴原式＝＝＝1. 10．若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0(xyz≠0)，求代數(shù)式的值． 解：將已知條件看作關(guān)于x、y的二元一次方程組解得 故原式＝ ＝－ ＝－13. 類型6　倒數(shù)法 已知條件和待求式同時(shí)取倒數(shù)后，再逆用分式加減法法則對(duì)分式進(jìn)行拆分，然后將三個(gè)已知式相加，這樣解非常簡(jiǎn)捷． 11．已知x＋＝3，求的值． 解：∵＝(x＋)2－1＝32－1＝8， ∴＝. 12．已知三個(gè)數(shù)x、y、z滿足＝－2，＝，＝－.求的值． 解：先將三個(gè)已知條件中的分子化為相同，得到＝－2，＝，＝－. 取倒數(shù)，有＝－，＝，＝－. 將以上三個(gè)式子相加，得＝－. 兩邊再同時(shí)取倒數(shù)，得＝－4. 二、　分式的運(yùn)算 題組1　分式的混合運(yùn)算 1．計(jì)算： (1)＋； 解：原式＝＋ ＝＋ ＝ ＝1. (2)； 解：原式＝ ＝ ＝. (3)(－)； 解：原式＝ ＝. (4)(巴中中考)－； 解：原式＝－ ＝－ ＝. (5)(1＋)； 解：原式＝ ＝ ＝x－1. (6)(南充中考)(a＋2－)； 解：原式＝ ＝ ＝－2(a＋3) ＝－2a－6. (7)(x＋1－)； 解：原式＝ ＝－ ＝－. (8)(＋1). 解：原式＝ ＝. 題組2　分式的化簡(jiǎn)求值 2．(舟山中考)先化簡(jiǎn)，再求值：(1＋)，其中x＝2 016. 解：原式＝＝＝. 當(dāng)x＝2 016時(shí)，原式＝＝. 3．(湘潭中考)先化簡(jiǎn)，再求值：(＋)，其中x＝2. 解：原式＝[＋] ＝ ＝. 當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝. 4．(資陽(yáng)中考)先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋)(a－2＋)，其中a滿足a－2＝0. 解：原式＝ ＝ ＝. 當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，原式＝3. 5．(樂山中考)化簡(jiǎn)并求值：(＋)，其中x、y滿足|x－2|＋(2x－y－3)2＝0. 解：∵|x－2|＋(2x－y－3)2＝0， ∴ 解得 ∴原式＝＝. 當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，原式＝. 6．(泰州中考)先化簡(jiǎn)，再求值：(1－)－，其中x滿足x2－x－1＝0. 解：原式＝－ ＝x－ ＝. ∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1.∴原式＝1. 7．(西寧中考)化簡(jiǎn)：－，然后在不等式x≤2的非負(fù)整數(shù)解中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值． 解：原式＝－ ＝－ ＝ ＝. ∵不等式x≤2的非負(fù)整數(shù)解是0，1，2. 答案不唯一，如： 當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝＝2； 當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝＝1； 當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝. 8．化簡(jiǎn)求值：(－a－2b)－，其中a，b滿足 解：原式＝－ ＝－－ ＝－ ＝－. ∵a，b滿足∴ ∴原式＝－＝－. 9．(河南中考)先化簡(jiǎn)，再求值：(－1)，其中x的值從不等式組的整數(shù)解中選?。? 解：原式＝ ＝ ＝－. 解得－1≤x＜， ∴不等式組的整數(shù)解為x＝－1，0，1，2，要使分式有意義，x只能取2， ∴原式＝－＝－2. 10．(煙臺(tái)中考)先化簡(jiǎn)：(－)，再?gòu)模?＜x＜3的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的x值代入求值． 解：原式＝ ＝ ＝. 取x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝＝4.(答案不唯一．注：x≠1，0) 三、分式方程的解法歸類 類型1　利用常規(guī)步驟解分式方程 1．解分式方程：＋＝－1； 解：原方程可化為－＝1. 方程兩邊同乘以(x＋2)(x－2)，得 (x＋2)2－16＝(x＋2)(x－2)． 整理，得4x＝8，解得x＝2. 檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，(x＋2)(x－2)＝0， 所以x＝2是原方程的增根，原方程無解． 類型2　列項(xiàng)相消法解分式方程 2．解方程：＋＋＝. 解：原方程變形為 －＋－＋－＝. 整理，得－＝0， 去分母，得x＋3－2x＝0， 解得x＝3. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原分式方程的解． 3．解方程：＋＋＝. 解：原方程變形為(－)＋(－)＋(－)＝. 整理，得－＝， 去分母，得2(x＋9)－2x＝9x， 解得x＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原分式方程的解． 類型3　兩邊通分法解分式方程 4．解方程：－＝－. 解：兩邊通分，得 ＝， ＝，6x＝36，x＝6. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原分式方程的解． 5．解方程：＋＝＋. 解：移項(xiàng)，得－＝－， 兩邊通分，得＝， x2＋3x＋2＝x2＋7x＋12，－4x＝10，x＝－2.5. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－2.5是原分式方程的解． 四、　巧用分式方程的解求值 技巧1　利用分式方程解的定義求字母的值 1．已知關(guān)于x的分式方程＝與分式方程＝的解相同，求m2－2m的值． 解：解分式方程＝，得x＝3. 將x＝3代入＝，得＝， 解得m＝. ∴m2－2m＝()2－2＝－. 技巧2　利用分式方程有(無)解求字母的值 2．若關(guān)于x的方程＝＋2有解，求m的取值范圍． 解：去分母并整理，得x＋m－4＝0. 解得x＝4－m. ∵分式方程有解，∴x＝4－m不能為增根． 又∵原方程若有增根，則增根為x＝3， ∴4－m≠3.解得m≠1. ∴當(dāng)m≠1時(shí)，原分式方程有解． 3．已知關(guān)于x的方程－m－4＝無解，求m的值． 解：原方程可化為(m＋3)x＝4m＋8. 由于原方程無解，故有以下兩種情形： ①若整式方程無實(shí)根，則m＋3＝0且4m＋8≠0，此時(shí)m＝－3； ②若整式方程的根是原方程的增根，則＝3，解得m＝1. 經(jīng)檢驗(yàn)，m＝1是方程＝3的解． 綜上所述，m＝－3或1. 技巧3　利用分式方程有增根求字母的值 4．當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程－＝會(huì)產(chǎn)生增根？ 解：去分母并整理，得(m－2)x＝5＋m， 假設(shè)產(chǎn)生增根x＝1，則有m－2＝5＋m，方程無解，∴不存在m的值，使原方程產(chǎn)生增根x＝1； 假設(shè)產(chǎn)生增根x＝－1，則有2－m＝5＋m， 解得m＝－. ∴當(dāng)m＝－時(shí)，分式方程－＝產(chǎn)生增根． 技巧4　利用分式方程解的正負(fù)性求字母的值 5．(齊齊哈爾中考)若關(guān)于x的分式方程＝2－的解為正數(shù)，求滿足條件的正整數(shù)m的值． 解：原方程可化為x＝2(x－2)＋m，∴x＝4－m， ∵方程解為正數(shù)，∴4－m＞0，解得m＜4， ∴正整數(shù)m可取1、2、3.又∵方程的解不能是增根， ∴4－m≠2，∴m≠2， ∴正整數(shù)m只能取1、3. 6．當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程－＝的解為負(fù)數(shù)？ 解：去分母，得(x＋1)(x＋3)－x(x－2)＝x＋a， 解得x＝. 由題意可得：x＜0， 且x≠2、－3 ，解得a＜3.即≠2且≠－3， 解得a≠－12. ∴當(dāng)a＜3且a≠－12時(shí)，原分式方程的解為負(fù)數(shù)． 五、　分式方程應(yīng)用題的常見類型 類型1　工程問題 1．某城市進(jìn)行道路改造，若甲、乙兩工程隊(duì)合作施工20天可完成；若甲、乙兩工程隊(duì)合作施工5天后，乙工程隊(duì)再單獨(dú)施工45天可完成．求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此工程需要多少天？設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此工程需要x天，可列方程為＋＝1． 2．(十堰中考)甲、乙兩名學(xué)生練習(xí)計(jì)算機(jī)打字，甲打一篇1 000字的文章與乙打一篇900字的文章所用的時(shí)間相同．已知甲每分鐘比乙每分鐘多打5個(gè)字，問：甲、乙兩人每分鐘各打多少個(gè)字？ 解：設(shè)乙每分鐘打x個(gè)字，則甲每分鐘打(x＋5)個(gè)字，由題意，得 ＝，解得x＝45. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝45是原方程的解． 答：甲每分鐘打50個(gè)字，乙每分鐘打45個(gè)字． 3．(廣東中考)某工程隊(duì)修建一條1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，結(jié)果提前4天完成任務(wù)． (1)求這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路多少米？ (2)在這項(xiàng)工程中，如果要求工程隊(duì)提前兩天完成任務(wù)，那么實(shí)際平均每天修建道路的工效比原計(jì)劃增加百分之幾？ 解：(1)設(shè)這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路x米，得 ＝＋4，解得x＝100. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的解． 答：這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建100 m. (2)設(shè)實(shí)際平均每天修建道路的工效比原計(jì)劃增加y%，可得 ＝，解得y＝20. 經(jīng)檢驗(yàn)，y＝20是原方程的解． 答：實(shí)際平均每天修建道路的工效比原計(jì)劃增加百分之二十． 4．一項(xiàng)工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費(fèi)102 000元；如果甲、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用的時(shí)間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每天的施工費(fèi)少1 500元． (1)甲，乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？ (2)若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，哪個(gè)公司的施工費(fèi)較少？ 解：(1)設(shè)甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需1.5x天．根據(jù)題意，得 ＋＝，解得x＝20， 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是方程的解且符合題意．1．5x＝30.答：甲公司單獨(dú)完成工程需20天，乙公司需30天． (2)設(shè)甲公司每天的施工費(fèi)為y元，則乙公司每天的施工費(fèi)為(y－1 500)元，根據(jù)題意，得 12(y＋y－1 500)＝102 000，解得y＝5 000. 甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的施工費(fèi)為 205 000＝100 000(元)； 乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的施工費(fèi)為 30(5 000－1 500)＝105 000(元)． ∴甲公司的施工費(fèi)較少． 類型2　行程問題 5．(婁底中考)甲、乙兩同學(xué)與學(xué)校的距離均為3 000米，甲同學(xué)先步行600米然后乘公交車去學(xué)校，乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行的速度是乙騎自行車速度的，公交車速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學(xué)同時(shí)從家出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘． (1)求乙騎自行車的速度． (2)當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？ 解：(1)設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意，得 ＋＝－2， 解得x＝300. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝300是方程的解． 答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘． (2)3002＝600(米)． 答：當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有600米． 6．從貴陽(yáng)到廣州，乘特快列車的行程約為1 800 km，高鐵開通后，高鐵列車的行程約為860 km，運(yùn)行時(shí)間比特快列車所用的時(shí)間減少了16 h．若高鐵列車的平均速度是特快列車平均速度的2.5倍，求特快列車的平均速度． 解：設(shè)特快列車的平均速度為x km/h，根據(jù)題意可列出方程為 ＝＋16，解得x＝91. 檢驗(yàn)：當(dāng)x＝91時(shí)，2.5x≠0. 所以x＝91是方程的解． 答：特快列車的平均速度為91 km/h. 類型3　銷售問題 7．某學(xué)校后勤人員到一家文具店給九年級(jí)的同學(xué)購(gòu)買考試用的文具包，文具店規(guī)定一次購(gòu)買400個(gè)以上，可享受8折優(yōu)惠．若給九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買一個(gè)，不能享受8折優(yōu)惠，需付款1 936元；若多買88個(gè)，就可享受8折優(yōu)惠，同樣只需付款1 936元．請(qǐng)問該學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？ 解：設(shè)九年級(jí)學(xué)生有x人，根據(jù)題意，得 0.8＝， 整理得0.8(x＋88)＝x，解得x＝352. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝352是方程的解． 答：這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有352人． 8．華昌中學(xué)開學(xué)初在金利源商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌足球，購(gòu)買A品牌足球花費(fèi)了2 500元，購(gòu)買B品牌足球花費(fèi)了2 000元，且購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是購(gòu)買B品牌足球數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B品牌足球比購(gòu)買一個(gè)A品牌足球多花30元． (1)求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的足球各需多少元； (2)華昌中學(xué)為響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌足球共50個(gè)．恰逢金利源商場(chǎng)對(duì)兩種品牌足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%，B品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售．如果這所中學(xué)此次購(gòu)買A、B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過3 260元，那么華昌中學(xué)此次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌足球？ 解：(1)設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌足球需x元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌足球需(x＋30)元，根據(jù)題意，得 ＝2，解得x＝50. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解． 則x＋30＝80. 答：購(gòu)買一個(gè)A品牌足球需50元，購(gòu)買一個(gè)B品牌足球需80元． (2)設(shè)本次購(gòu)買a個(gè)B品牌足球，則購(gòu)進(jìn)A品牌足球(50－a)個(gè)，根據(jù)題意，得 50(1＋8%)(50－a)＋800.9a≤3 260， 解得a≤31. ∵a取正整數(shù)，∴a最大值為31. 答：此次華昌中學(xué)最多可購(gòu)買31個(gè)B品牌足球． 9．(常德中考)某服裝店用4 500元購(gòu)進(jìn)一批襯衫，很快售完．服裝店老板又用2 100元購(gòu)進(jìn)第二批該款式的襯衫，進(jìn)貨量是第一次的一半，但進(jìn)價(jià)每件比第一批降低了10元． (1)這兩次各購(gòu)進(jìn)這種襯衫多少件？ (2)若第一批襯衫的售價(jià)是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤(rùn)不低于1 985元，則第二批襯衫每件至少要售多少元？ 解：(1)設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)襯衫x件，則第一次購(gòu)進(jìn)襯衫2x件，根據(jù)題意，得 －＝10，解得x＝15. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是此方程的解，則2x＝30. 答：第一次購(gòu)進(jìn)襯衫30件，第二次購(gòu)進(jìn)襯衫15件． (2)設(shè)第二批襯衫每件售價(jià)為y元，根據(jù)題意，得 30(200－)＋15(y－)≥1 985， 解得y≥172. 答：第二批襯衫每件至少要售172元．