2、r4<00時,正相關(guān);b<0時,負(fù)相關(guān).
考點(diǎn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn)?
【典例】(2021·全國卷Ⅱ)海
3、水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照,收獲時各隨機(jī)抽取了100 個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下圖:
(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg〞,估計(jì)A的概率.
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).
χ2=
【解題導(dǎo)思】
序號
聯(lián)
4、想解題
(1)
以頻率代替概率,相互獨(dú)立時交事件概率等于兩事件概率的積
(2)
填入數(shù)據(jù),代入χ2公式計(jì)算,與臨界值比擬
(3)
中位數(shù)把頻率分布直方圖分為面積相等的兩局部
【解析】(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg〞,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg〞.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,
故P(B)的估計(jì)值為0.62.
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為
(0.068+0.046+0.010+0.008
5、)×5=0.66,
故P(C)的估計(jì)值為0.66.
因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66=0.409 2.
(2)
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
62
38
新養(yǎng)殖法
34
66
由表中數(shù)據(jù)及χ2的計(jì)算公式得,
χ2=≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,
箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)
6、×5=0.68>0.5,
故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為50+≈52.35(kg).
1.在2×2列聯(lián)表中,|ad-bc|越小,說明兩個變量之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說明兩個變量之間關(guān)系越強(qiáng).
2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題,一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟:
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.
(2)根據(jù)公式χ2=計(jì)算.
(3)比擬χ2與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計(jì)推斷.
(2021·合肥模擬)某校在高一年級學(xué)生中,對自然科學(xué)類、社會科學(xué)類校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查. 現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生,其中男生105名;在這18
7、0名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為45名.
(1)試問:從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到男生的概率約為多少?
(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成下面的2×2列聯(lián)表.并判斷能否有95%的把握認(rèn)為科學(xué)類的選擇與性別有關(guān)?
選擇自然
科學(xué)類
選擇社會
科學(xué)類
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
【解析】(1)從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到男生的概率約為=.
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表如表:
選擇自然
科學(xué)類
選擇社會
科學(xué)類
合計(jì)
男生
60
45
105
8、
女生
30
45
75
合計(jì)
90
90
180
那么χ2==≈5.142 9>3.841,
所以有95%的把握認(rèn)為科學(xué)類的選擇與性別有關(guān).
考點(diǎn)三 回歸分析?
命
題
精
解
讀
1.考什么:(1)考查線性回歸方程的求法及運(yùn)用回歸方程進(jìn)行預(yù)測.(2)考查散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)等判斷兩個變量是否相關(guān)的方法.(3)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合等思想方法.
2.怎么考:與頻率分布表、頻率分布直方圖、折線圖等結(jié)合考查回歸分析的方法.
3.新趨勢:以回歸分析為載體,與頻率分布、概率等交匯命題.
學(xué)
霸
好
方
法
1.回歸分析方法:
(1)
9、利用公式,求出回歸系數(shù).(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測.(3)確定模型是否適宜,及時修正.
2.交匯問題: 與頻率分布直方圖、折線圖等交匯時,分析圖形提供的數(shù)據(jù)信息,獲得計(jì)算相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等需要的數(shù)據(jù),最后計(jì)算比擬.
線性回歸方程及其應(yīng)用
【典例】現(xiàn)代社會,“鼠標(biāo)手〞已成為常見病,一次實(shí)驗(yàn)中,10名實(shí)驗(yàn)對象進(jìn)行160分鐘的連續(xù)鼠標(biāo)點(diǎn)擊游戲,每位實(shí)驗(yàn)對象完成的游戲關(guān)卡一樣,鼠標(biāo)點(diǎn)擊頻率平均為180次/分鐘,實(shí)驗(yàn)研究人員測試了實(shí)驗(yàn)對象使用鼠標(biāo)前后的握力變化,前臂外表肌電頻率等指標(biāo).
(1)10 名實(shí)驗(yàn)對象實(shí)驗(yàn)前、后握力(單位:N)測試結(jié)果如下:
實(shí)驗(yàn)前:346,357,358,360,3
10、62,362,364,372,373,376
實(shí)驗(yàn)后:313,321,322,324,330,332,334,343,350,361
完成莖葉圖,并計(jì)算實(shí)驗(yàn)后握力平均值比實(shí)驗(yàn)前握力的平均值下降了多少N?
(2)實(shí)驗(yàn)過程中測得時間t(分)與10名實(shí)驗(yàn)對象前臂外表肌電頻率的中值頻率y(Hz)的九組對應(yīng)數(shù)據(jù)(t,y)為(0,87),(20,84),(40,86),(60,79),(80,78),(100,78),(120,76),(140,77),(160,75).建立y關(guān)于時間t的線性回歸方程;
(3)假設(shè)肌肉肌電水平顯著下降,提示肌肉明顯進(jìn)入疲勞狀態(tài),根據(jù)(2)中9組數(shù)據(jù)分析,使用
11、鼠標(biāo)多少分鐘就該進(jìn)行休息了?
參考數(shù)據(jù):(ti-)(yi-)=-1 800;
參考公式:回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
b=,a=-b.
【解析】(1)根據(jù)題意得到莖葉圖如下圖:
由圖中數(shù)據(jù)可得=×(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=363,
=×(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333,
所以-=363-333=30(N),
所以實(shí)驗(yàn)后比實(shí)驗(yàn)前握力的平均值下降30N.
(2)由題意得=(0+20+40+60+80+100+120+140+160)
12、=80,
=(87+84+86+79+78+78+76+77+75)=80,
(ti-)2=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2+(100-80)2+(120-80)2+(140-80)2+(160-80)2=24 000,
又(ti-)(yi-)=-1 800,
所以b===-0.075,
所以a=-b=80-(-0.075)×80=86,
所以y關(guān)于時間t的線性回歸方程為y=-0.075t+86.
(3)九組數(shù)據(jù)中40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大,提示60分鐘時肌肉已經(jīng)進(jìn)入疲勞狀態(tài),故使用鼠標(biāo)60分鐘就該休息了.
相關(guān)系數(shù)
13、及其應(yīng)用
【典例】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),如表:
x
(年齡/
歲)
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
y
(脂肪含
量/%)
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到如圖的散點(diǎn)圖.
(1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖.
(i)求;
(ii)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度.
(2)假設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.56+bx,求
14、b的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時人體的脂肪含量.
附:參考數(shù)據(jù):=27,xiyi=13 527.8,=23 638,=7 759.6,≈6.56,≈54.18,
參考公式:相關(guān)系數(shù)r==
回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=,a=-b.
【解析】(1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖:
(ⅰ)==47.
(ⅱ)r=
=
=
=
=.
因?yàn)椤?.56,≈54.18,
所以r≈0.98.
由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.98,可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng).
(2)因?yàn)榛貧w方程為y=1.56+bx,即a=1.56.
所以b
15、==≈0.54.
【或利用b==
=≈0.54】
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.54x+1.56.
將x=50代入線性回歸方程得y=0.54×50+1.56=28.56.
所以根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時人體的脂肪含量為28.56%.
非線性回歸分析
【典例】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(xi-)2
(wi-)2
(xi-)
·(yi-)
16、
(wi-)
·(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1.469
108.8
表中wi=,=wi.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由)?
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程.
(3)這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果答復(fù)以下問題:
①年宣傳費(fèi)x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
②年宣傳費(fèi)x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?
【解析】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于
17、年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.
(2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,由d===68.
得c=-d=563-68×6.8=100.6.
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68.
(3)①由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+68=576.6,
年利潤z的預(yù)報值z=576.6×0.2-49=66.32.
②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值z=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.
所以當(dāng)==6.8,即x=46.24時,z取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值
18、最大.
1.兩個隨機(jī)變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示:
x
-4
-2
1
2
4
y
-5
-3
-1
-0.5
1
根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為y=bx+a,那么大致可以判斷 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
【解析】選C.作出散點(diǎn)圖,畫出回歸直線直觀判定b>0,a<0.
2.為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為y=bx+a,xi=225,yi=1 600,b=4
19、.該班某學(xué)生的腳長為24,據(jù)此估計(jì)其身高為 ( )
A.160 B.163 C.166 D.170
【解析】選C.由題意可知y=4x+a,
又=22.5,=160,
因此160=22.5×4+a,解得a=70所以y=4x+70.
當(dāng)x=24時,y=4×24+70=166.
3.某市春節(jié)期間7家超市廣告費(fèi)支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數(shù)據(jù)如表:
超市
A
B
C
D
E
F
G
廣告費(fèi)支出xi
1
2
4
6
11
13
19
銷售額yi
19
32
40
44
52
53
54
(1)假設(shè)用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y
20、與x的線性回歸方程.
(2)假設(shè)用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系,可得回歸方程:y=-0.17x2+5x+20,經(jīng)計(jì)算,二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.93和0.75,請用R2說明選擇哪個回歸模型更適宜,并用此模型預(yù)測A超市廣告費(fèi)支出3萬元時的銷售額.
參考數(shù)據(jù):=8,=42,xiyi=2 794,=708.
參考公式:b=,a=-b.
【解析】(1)b===1.7.
所以a=-b=42-1.7×8=28.4,
故y關(guān)于x的線性回歸方程是y=1.7x+28.4.
(2)因?yàn)?.75<0.93,所以二次函數(shù)回歸模型更適宜.
當(dāng)x=3時,y=33.47.
應(yīng)選擇
21、二次函數(shù)回歸模型更適宜,并且用此模型預(yù)測A超市廣告費(fèi)支出3萬元時的銷售額為33.47萬元.
近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付,某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),繪制了如下圖的散點(diǎn)圖:
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)
22、的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.
參考數(shù)據(jù):
xiyi
xivi
100.54
4
62
1.54
2 535
50.12
140
3.47
其中vi=lg yi,=vi
【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=c·dx適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型.
(2)因?yàn)閥=c·dx,兩邊取常用對數(shù)得:
lg y=lg=lg c+lg d·x,
設(shè)lg y=v,所以v=lg c+lg d·x
因?yàn)?4,=1.54,=140,
所以lg d====
0.25,
把樣本點(diǎn)的中心(4,1.54)代入v=lg c+lg d·x得:
lg c=0.54,所以v=0.54+0.25x,
那么lg y=0.54+0.25x
所以y關(guān)于x的回歸方程為y=100.54+0.25x,
把x=8代入上式得:y=100.54+0.25×8≈347,
故活動推出第8天使用掃碼支付的人次約為3 470.
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2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 11.3 相關(guān)性、最小二乘估計(jì)、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)練習(xí) 理 北師大版
