《2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 平面解析幾何 10.7 拋物線練習 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 平面解析幾何 10.7 拋物線練習 理 北師大版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 10.7 拋物線 核心考點·精準研析 考點一　拋物線的定義及標準方程? 1.拋物線y2=4x的焦點為F,定點P(4,-2),在拋物線上找一點M,使得|PM|+|MF|最小,那么點M的坐標為 (　　) A.(2,-2)　 B.(1,2)　 C.(1,-2)　 D.(-1,2) 2.直線l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 (　　) A.　 B.2　 C.　 D.3 3.(2021·保定模擬)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5.假設以MF為直徑的圓過點A(0,

2、2),那么C的方程為 (　　) A.y2=4x或y2=8x　 B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x　 D.y2=2x或y2=16x 4.設P是拋物線y2=4x上的一個動點,F為焦點,假設B(3,2),那么|PB|+|PF|的最小值為________.? 5.拋物線C的頂點為坐標原點,對稱軸為坐標軸,直線l過拋物線C的焦點F,且與拋物線的對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,且|AB|=8,M為拋物線C準線上一點,那么△ABM的面積為________.? 【解析】1.選C.過P作PM垂直于拋物線的準線,交拋物線于點M,交準線于點N,那么|PM|+|MF|=|PM

3、|+|MN|=|PN|,此時|PM|+|MF|最小,點M縱坐標為-2,故橫坐標為1,所以點M的坐標為(1,-2). 2.選B.由題可知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準線,設拋物線的焦點(1,0)為F,那么動點P到l2的距離等于|PF|,那么動點P到直線l1 和直線l2的距離之和的最小值,即焦點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是=2. 3.選C.由得拋物線的焦點F, 設點M(x0,y0),那么=,=. 由得,·=0,即-8y0+16=0, 因而y0=4,M. 由|MF|=5,得 =5. 又p>0,解得p=2或p=8. 故C的方程為y2=4x或y2=16x.

4、 4.如圖,過點B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P1,那么|P1Q|=|P1F|,那么有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值為4. 答案:4 5.不妨設拋物線方程為y2=2px(p>0), 那么焦點F,A,B, 將A代入拋物線方程, 可得2p×=42,得p=4, 那么準線方程為x=-2, 設M(-2,t),那么S△ABM=|AB|×p=4×4=16. 答案:16 1.拋物線定義的應用 利用拋物線的定義解決問題時,應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉(zhuǎn)化.“看到準線應該想到焦點,看到焦點應該想到準線

5、〞,這是解決有關(guān)拋物線距離問題的有效途徑. 2.求拋物線的標準方程的方法 (1)定義法 根據(jù)拋物線的定義,確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準線的距離),再結(jié)合焦點位置,求出拋物線方程.標準方程有四種形式,要注意選擇. (2)待定系數(shù)法 ①根據(jù)拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上,設出相應形式的標準方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程,解出p,從而寫出拋物線的標準方程. ②當焦點位置不確定時,有兩種方法解決: 方法一 分情況討論,注意要對四種形式的標準方程進行討論,對于焦點在x軸上的拋物線,為防止開口方向不確定可分為y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)兩種情況求解 方法二

6、 設成y2=mx(m≠0),假設m>0,開口向右;假設m<0,開口向左;假設m有兩個解,那么拋物線的標準方程有兩個.同理,焦點在y軸上的拋物線可以設成x2=my(m≠0).如果不確定焦點所在的坐標軸,應考慮上述兩種情況設方程 考點二　直線與拋物線的綜合問題? 【典例】1.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F的直線l交拋物線于A,B兩點(點A在第一象限),假設直線l的傾斜角為,那么= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 2.(2021·濮陽模擬)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l交拋物線C于A、B兩點,弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5,那么直線

7、l的斜率k為 (　　) A.±　 B.±1　 C.± D.± 3.(2021·全國卷Ⅰ)拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P. (1)假設|AF|+|BF|=4,求l的方程. (2)假設=3,求|AB|. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 1 一看到拋物線上的點到焦點或到準線的距離問題,即聯(lián)想到利用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化 2 當條件中出現(xiàn)弦的中點(即中點弦問題)時,應立即考慮到設而不求(點差)法 3 當條件中出現(xiàn)過拋物線焦點的直線時,應立即考慮到拋物線焦點弦的有關(guān)結(jié)論 【解析】1.選A.過A、B分別作準線的垂線,垂足

8、分別為M,N,作AE⊥BN,垂足為E,設|AF|=m,|BF|=n,那么由拋物線的定義得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m, 因為∠ABN=60°,于是=,解得n=3m, 那么==. 2.選C.拋物線C:y2=4x的焦點F(1,0), 設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點M(x0,y0),那么x0=,y0=,由弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5,即x0+=5,那么x0=4,由兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),那么==,即k==,那么==,即y0=±,所以直線l的斜率k===±. 3.設直

9、線l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由題設得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+, 由題設可得x1+x2=. 由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 那么x1+x2=-. 從而-=,得t=-. 所以l的方程為y=x-. (2)由=3可得y1=-3y2. 由可得y2-2y+2t=0. 所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2=. 故|AB|=. 1.直線與拋物線交點問題的解題思路 (1)求交點問題,通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組. (2)與交點相關(guān)的問題通常借助根與

10、系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決. 2.解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法 (1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,假設過拋物線的焦點,可直接使用焦點弦公式,假設不過焦點,那么必須用一般弦長公式. (2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設而不求〞“整體代入〞等解法. 提醒:涉及弦的中點、斜率時,一般用“點差法〞求解. 1.F為拋物線C:y2=4x的焦點,E為其準線與x軸的交點,過F的直線交拋物線C于A,B兩點,M為線段AB的中點,且|ME|=,那么|AB|= (　　) A.6　 B.3　 C.8　 D.9

11、 【解析】選A.由y2=4x得焦點F(1,0),E(-1,0),設直線AB的方程為x=ty+1并代入拋物線y2=4x得:y2-4ty-4=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=4t,y1y2=-4, 所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t), |ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0, 解得t2=或t2=-(舍), 所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6. 2.F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,假設|AF|+|BF|=5,那么線段AB的中點到y(tǒng)軸的

12、距離為________.? 【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2),那么由拋物線定義得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,那么x1+x2=,所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為=. 答案: 3.(2021·銅川模擬)拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點為F,且F到準線l的距離為2,過點的直線l′與拋物線交于A,B兩點,與準線l交于點R,假設=3,那么=________.? 【解析】依題意得:C1:y2=4x,焦點F,不妨設點B在x軸的下方, =xB+1=3,所以xB=2,yB=-2. 那么過點的直線l′:y=,與y2=4x聯(lián)立消去x得: y2-y-4=0, 所以

13、yAyB=-4,yA==,xA=, =====. 答案: 考點三　拋物線的性質(zhì)及應用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查拋物線的定義、頂點及直線與拋物線中的最值范圍問題. (2)考查數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. 2.怎么考:借助距離考查拋物線的定義;結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或根本不等式考查最值問題. 3.新趨勢:拋物線離心率的求解仍是考查的重點. 學 霸 好 方 法 1.定義的應用:當題目中出現(xiàn)到焦點的距離或到準線(或到與對稱軸垂直直線)的距離時,應立即考慮到利用定義轉(zhuǎn)化. 2.交匯問題:與函數(shù)、不等式結(jié)合考查范

14、圍最值,要注意定義域問題. 與拋物線有關(guān)的最值問題 【典例】(2021·沈陽模擬)拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點到準線的距離為2,直線l與拋物線C交于A,B兩點,過A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,且l1與l2交于點M. (1)求p的值. (2)假設l1⊥l2,求△MAB面積的最小值. 【解析】(1)由題意知,拋物線焦點為,準線方程為y=-, 焦點到準線的距離為2,即p=2. (2)拋物線的方程為x2=4y,即y=x2,所以y′=x,設A(x1,y1),B(x2,y2), l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2), 由于l1⊥l2,所以·=-1,即x

15、1x2=-4. 設直線l方程為y=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立,得 所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1. 聯(lián)立方程得: 即M(2k,-1). M點到直線l的距離d==, |AB|==4(1+k2), 所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4, 當k=0時,△MAB的面積取得最小值4. 拋物線與向量的綜合問題 【典例】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1

16、)O為坐標原點,C為拋物線上一點,假設=+λ,求λ的值. 【解析】(1)直線AB的方程是y=2x-,與y2=2px聯(lián)立,得4x2-5px+p2=0, 由,方程必有兩個不等實根, 所以x1+x2=,由拋物線定義知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以拋物線方程為y2=8x. (2)由(1)知,x2-5x+4=0, 所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 所以A(1,-2),B(4,4). 設C(x3,y3),那么=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2), 又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4

17、λ+1,解得λ=0或λ=2. 1.(2021·九江模擬)?九章算術(shù)?是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,第九章“勾股〞,講述了“勾股定理〞及一些應用,還提出了一元二次方程的解法問題直角三角形的三條邊長分別稱“勾〞“股〞“弦〞.設點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,l是該拋物線的準線,過拋物線上一點A作準線的垂線AB,垂足為B,射線AF交準線l于點C,假設Rt△ABC的“勾〞=3、“股〞=3,那么拋物線方程為 (　　) A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x 【解析】選B.由題意可知,拋物線的圖像如圖: |AB|=3,|BC|=3,

18、 可得|AC|==6, 所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中點,又|AB|=3,那么p=, 所以拋物線方程為y2=3x. 2.M是拋物線x2=4y上一點,F為其焦點,點A在圓C:(x+1)2+(y-5)2=1上,那么|MA|+|MF|的最小值是________.? 【解析】由,由點M向拋物線x2=4y的準線l:y=-1引垂線,垂足為M1,那么有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,結(jié)合圖形知|MA|+|MM1|的最小值等于圓心C(-1,5)到y(tǒng)=-1的距離再減去圓C的半徑,即等于6-1=5,所以|MA|+|MF|的最小值是5. 答案:5 點P(x,y)是拋物線y2=4x上任意一點,Q是圓C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一點,那么|PQ|+x的最小值為 (　　) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 【解析】選C.由題意,拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線l:x=-1,圓C:(x+2)2 +(y-4)2=1的圓心C(-2,4),半徑r=1,P到直線l:x=-1的距離d=|PF|,根據(jù)拋物線的定義,可得點P到y(tǒng)軸的距離為x=d-1,結(jié)合圖像(如下圖)可得當C,P,F三點共線時,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3. - 11 -