10.8. 曲線與方程〔含軌跡問(wèn)題〕 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　直接法求軌跡方程  【典例】△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定點(diǎn)P(1,1). (1)求△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)假設(shè)過(guò)定點(diǎn)P的直線與△ABC的外接圓交于E,F兩點(diǎn),求弦EF中點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】(1)由題意得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為, kAC=,kAB=1,故AC中垂線的斜率為-,AB中垂線的斜率為-1,那么AC的中垂線的方程為y-=-x,AB的中垂線的方程為y-=-. 由得 所以△ABC的外接圓圓心為(2,0),半徑r=2+1=3, 故△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9. (2)設(shè)弦EF的中點(diǎn)為M(x,y),△ABC外接圓的圓心為N,那么N(2,0), 由MN⊥MP,得·=0, 所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0, 整理得x2+y2-3x-y+2=0, 故弦EF中點(diǎn)的軌跡方程為+=. 直接法求軌跡方程的思路 直接法求軌跡方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這六個(gè)步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標(biāo)系那么可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性. 1.點(diǎn)F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,且·=·,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為 (　　) A.x2=4y　 B.y2=3x C.x2=2y　 D.y2=4x 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________________.  【解析】(1)選A.設(shè)點(diǎn)P(x,y),那么Q(x,-1). 因?yàn)?#183;=·, 所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2), 即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y, 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=4y. (2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱, 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1). 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得·=-, 化簡(jiǎn)得x2+3y2=4(x≠±1). 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1). 答案:x2+3y2=4(x≠±1) 考點(diǎn)二　定義法求軌跡方程  【典例】1.圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 2.如圖,△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A(-1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等),動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M,求曲線M的方程. 【解析】 1.如下圖,設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B, 那么有|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 又|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2, 即動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2,C1的距離的差是常數(shù)2, 且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|, 故動(dòng)圓圓心M的軌跡為以定點(diǎn)C2,C1為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,那么2a=2,所以a=1.又c=3,那么b2=c2-a2=8. 設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y), 那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1). 2.由題知|CA|+|CB|= |CP|+|CQ|+|AP|+|BQ| =2|CP|+|AB|=4>|AB|, 所以曲線M是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(挖去與x軸的交點(diǎn)). 設(shè)曲線M:+=1(a>b>0,y≠0), 那么a2=4,b2=a2-=3, 所以曲線M的方程為+=1(y≠0). 1.定義法的適用范圍 假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律滿足某種曲線的定義,那么可根據(jù)曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.此法一般用于求圓錐曲線的方程. 2.注意2個(gè)易誤點(diǎn) (1)因?qū)A錐曲線定義中的某些特定條件理解不透或無(wú)視某些限制條件而失誤.在利用定義法求軌跡方程時(shí)一定要正確應(yīng)用圓錐曲線的定義.(如典例1中,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支,故應(yīng)限制條件x≤-1) (2)不會(huì)遷移應(yīng)用條件,而找不到解題思路,而無(wú)法解題.(如典例2中,假設(shè)不能正確轉(zhuǎn)化|CA|+|CB|,那么很難求出曲線M的軌跡方程) 　M(-2,0),N(2,0),那么以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程為 (　　) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x≠±2) D.x2+y2=4(x≠±2) 【解析】選D.MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,易知|OP|=|MN|=2,所以P的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心,以r=2為半徑的圓,除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn). 考點(diǎn)三　相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程  【典例】如圖,P是橢圓+y2=1上一點(diǎn),PM⊥x軸于M.假設(shè)=λ. (1)求點(diǎn)N的軌跡方程. (2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí),求λ的值. 【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P,點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為P(x1,y1),N(x,y),那么M的坐標(biāo)為(x1,0),且x=x1, 所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1), =(x1-x,-y)=(0,-y), 由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y). 所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y. 因?yàn)镻(x1,y1)在橢圓+y2=1上, 那么+=1,所以+(1+λ)2y2=1, 故+(1+λ)2y2=1為所求的點(diǎn)N的軌跡方程. (2)要使點(diǎn)N的軌跡為圓,那么(1+λ)2=, 解得λ=-或λ=-. 故當(dāng)λ=-或λ=-時(shí),N點(diǎn)的軌跡是圓. 　相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程的四個(gè)步驟: 第一步—設(shè)出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y) 　? 第二步—尋求所求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與動(dòng)點(diǎn)Q(x′,y′)的關(guān)系 　? 第三步—建立P,Q兩坐標(biāo)間的關(guān)系,并表示出x′,y′ 　? 第四步—將x′,y′代入曲線方程中化簡(jiǎn)求解 (2021·西安模擬)拋物線y2=4x,焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng),Q是OP的中點(diǎn),M是FQ的中點(diǎn),那么點(diǎn)M的軌跡方程是 (　　) A.y2=x-1 B.y2=2(x-) C.y2=2(x-1) D.y2=x- 【解析】選D.設(shè)M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).因?yàn)镸是FQ的中點(diǎn), 所以即 又Q是OP的中點(diǎn), 所以即 因?yàn)镻在拋物線y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-. 【變式備選】 1.方程ax2-ay2=b,且ab<0,那么它表示的曲線是 (　　) A.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 B.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線　 C.圓 D.橢圓 【解析】選B.當(dāng)ab<0時(shí),方程ax2-ay2=b化簡(jiǎn)得y2-x2=-,方程表示雙曲線.焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上. 2.曲線:①y2=x;②x2+y2=1;③y=x3;④x2-y2=1.上述四條曲線中,滿足“假設(shè)曲線與直線y=kx+b有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們必相切〞的曲線的序號(hào)是 (　　) A.① B.② C.③ D.④ 【解析】選B.①當(dāng)直線y=kx+b和拋物線y2=x的對(duì)稱軸平行時(shí),曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),但此時(shí)直線不是切線,故①錯(cuò)誤, ②當(dāng)直線y=kx+b和圓x2+y2=1只有一個(gè)公共 點(diǎn)時(shí),直線與圓相切,故②正確, ③當(dāng)直線y=kx+b和x軸平行時(shí),直線和y=x3只有一個(gè)交點(diǎn),但此時(shí)直線和曲線不相切,故③錯(cuò)誤, ④當(dāng)直線y=kx+b和雙曲線x2-y2=1的漸近線平行時(shí),直線和雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),但此時(shí)直線y=kx+b和雙曲線不相切,故④錯(cuò)誤, 故正確的只有②. 3.如圖,△PAB所在的平面α和四邊形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,假設(shè)tan∠ADP+2tan∠BCP=10,那么點(diǎn)P在平面α內(nèi)的軌跡是 (　　) A.圓的一局部 B.橢圓的一局部 C.雙曲線的一局部　 D.拋物線的一局部 【解析】選B.由題意知+2×=10,那么|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因?yàn)镻,A,B三點(diǎn)不共線,故點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓的一局部. 4.直線y=mx+3m和曲線y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A. B. C.　 D. 【解析】選A.因?yàn)橹本€y=mx+3m=m(x+3)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(-3,0),m為斜率;曲線y=是以原點(diǎn)為圓心,半徑r=2的圓的上半圓,所以同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像,如圖, 當(dāng)直線與半圓切于A點(diǎn)時(shí),它們有唯一公共點(diǎn),此時(shí),直線的傾斜角α滿足 sin α=, 所以cos α==,可得直線的斜率m=tan α==, 當(dāng)直線y=mx+3m的傾斜角由此位置變小時(shí),兩圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),直到直線斜率m變成0為止,由此可得當(dāng)0≤m<時(shí),直線y=mx+3m和曲線y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn). - 8 -