10.1 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 核心考點·精準研析 考點一　直線的傾斜角與斜率  1.直線x+y+1=0的傾斜角是 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.(2021·石家莊模擬)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是 (　　) A. B. C.∪　 D.∪ 3.如下圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,那么 (　　) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k1<k3<k2 D.k3<k2<k1 4.假設點A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點共線,那么a的值為________.  【解析】1.選D.由直線的方程得直線的斜率為k=-,設傾斜角為α,那么tan α=-,又0≤α<π,所以α=. 2.選B.由直線方程可得該直線的斜率為-,又-1≤-<0,所以傾斜角的取值范圍是. 3.選C.由圖可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,應選C. 4.因為kAC==1,kAB==a-3. 由于A,B,C三點共線,所以a-3=1,即a=4. 答案:4 1.傾斜角α與斜率k的關系: (1)當α∈時,k∈[0,+∞),且傾斜角越大,斜率越大. (2)當α=時,斜率k不存在. (3)當α∈時,k∈(-∞,0),且傾斜角越大,斜率越大. 2.斜率的兩種求法: (1)定義法:假設直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan α求斜率. (2)公式法:假設直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 【秒殺絕招】 　第2題可以用檢驗答案的方法求解,假設傾斜角α=,那么斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不對,所以選B. 考點二　求直線的方程  【典例】1.求過點A(1,3),傾斜角是直線y=-x的傾斜角的的直線方程. 2.經(jīng)過圓C:(x+5)2+(y-2)2=1的圓心,且在x軸上截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程. 3.求過A(2,1),B(m,3)兩點的直線l的方程. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 1 看到點與斜率想到直線方程的點斜式 2 看到截距想到直線方程的截距式 3 看到字母想到對斜率是否存在的討論 【解析】1.因為y=-x的斜率為k=-,其傾斜角為120°,所以所求直線的傾斜角為60°,其斜率為, 所以直線方程為y-3=(x-1), 即直線方程為x-y+3-=0. 2.因為圓C的圓心為(-5,2), 當直線不過原點時,設所求直線方程為+=1,將(-5,2)代入所設方程,解得a=-, 所以直線方程為x+2y+1=0; 當直線過原點時,設直線方程為y=kx, 那么-5k=2,解得k=-, 所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0. 故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0. 3.①當m=2時,直線l的方程為x=2; ②當m≠2時,直線l的方程為=, 即2x-(m-2)y+m-6=0. 因為m=2時,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即為x=2, 所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0. 1.在求直線方程時,應選擇適當?shù)男问?并注意各種形式的適用條件. 2.對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用:假設采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況;假設采用截距式,應判斷截距是否為零. 3.截距是數(shù),不是距離.它是直線與坐標軸交點的坐標,在x軸上的截距是直線與x軸交點的橫坐標,在y軸上的截距是直線與y軸交點的縱坐標.截距可正、可負、可為0,因此在解與截距有關的問題時,一定要注意“截距為0〞的情況,以防漏解. (2021·邯鄲模擬)經(jīng)過點(2,1),且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是 (　　) A.x=2　 B.y=1　 C.x=1　 D.y=2 【解析】選A.因為直線y=-x-1的斜率為-1,那么傾斜角為.由,所求直線的傾斜角為-=,斜率不存在,所以過點(2,1)的直線方程為x=2. 考點三　直線方程的綜合應用  命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)與直線方程有關的最值問題.(2)數(shù)形結合思想.(3)根本不等式.(4)函數(shù)的單調(diào)性. 2.怎么考:以選擇題或填空題形式出現(xiàn) 3.新趨勢:數(shù)學建模核心素養(yǎng)的應用 學 霸 好 方 法 1.求解與直線方程有關的最值問題 根本不等式或函數(shù)法求最值. 2.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,別離參數(shù)法求出定點. 3.交匯問題: (1)三角形和四邊形的面積.(2)根本不等式.(3)函數(shù)的單調(diào)性. 與不等式相結合的最值問題 【典例】當k>0時,兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________.  【解析】直線2x+ky-2=0與x軸交于點(1,0).由解得y=, 所以兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形的面積為×1×=, 又k+≥2=2, 當且僅當k=時取等號, 故三角形面積的最大值為. 答案: 如何用直線方程求出三角形的邊長? 提示:根據(jù)直線方程求出交點坐標進而求得三角形的邊長. 與函數(shù)結合的最值問題 【典例】直線x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A,B兩點,假設動點P(a,b)在線段AB上,那么ab的最大值為________. 【解析】由題得A(2,0),B(0,1),由動點P(a,b)在線段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,從而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0≤b≤1,故當b=時,ab取得最大值. 答案: 如何找到a,b的關系進行消元? 提示:P(a,b)在直線x+2y=2上,將a,b代入直線方程,得到a與b的關系. 由直線方程求參數(shù)的范圍 【典例】直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當0<a<2時,直線l1,l2與兩坐標軸圍成一個四邊形,當四邊形的面積最小時,實數(shù)a=________. 【解析】由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,2),直線l1的縱截距為2-a,直線l2的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=+.又0<a<2,所以當a=時面積最小. 答案: 四邊形的面積如何轉化成三角形的面積? 提示:設題中l(wèi)1與y軸交點為A(0,2-a),l2與x軸交點為B(a2+2,0),那么四邊形OAPB的面積為三角形OAP和三角形OBP的面積之和. 1.點P(x,y)在直線x+y-4=0上,那么x2+y2的最小值是 (　　) A.8　 B.2　 C.　 D.16 【解析】選A.因為點P(x,y)在直線x+y-4=0上, 所以y=4-x, 所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8, 當x=2時,x2+y2取得最小值8. 2.過點P(2,1)作直線l,與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點,求: (1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程. (2) 求|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程. 【解析】(1)設所求直線l的方程為+=1(a>0,b>0),那么+=1.又因為+≥2?ab≥4,當且僅當==,即a=4,b=2時,△AOB面積S=ab有最小值為4.此時,直線l的方程是+=1, 即x+2y-4=0. (2)由題意知直線l的斜率存在,設為k(k<0),那么直線l的方程為y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k), 那么A,B(0,1-2k). 所以|PA|·|PB| =· =·2=2 =2≥2=4. 當且僅當=k2,即k=-1時,等號成立, 所以|PA|·|PB|的最小值為4,此時直線l的方程為x+y-3=0. 　直線l過點M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,O為坐標原點.求: (1)當|OA|+|OB|取得最小值時,直線l的方程. (2)當|MA|2+|MB|2取得最小值時,直線l的方程. 【解析】(1)設直線l的方程為+=1,那么+=1, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,當且僅當“a=b=2〞時取等號,此時直線l的方程為x+y-2=0. (2)設直線l的斜率為k,那么k<0, 直線l的方程為y-1=k(x-1),那么A, B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4. 當且僅當k2=,即k=-1時取等號,此時直線l的方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0. - 8 -