《人民大學《保險精算學》》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人民大學《保險精算學》（94頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 編號： 時間：2021年x月x日 書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟 頁碼：第94頁 共94頁 第一章：利息理論基礎 第一節(jié)：利息的度量 一、利息的定義 利息產生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場合，它的實質是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補償所有者在資金租借期內不能支配該筆資金而蒙受的損失。 二、利息的度量 利息可以按照不同的標準來度量，主要的度量方式有 1、? 按照計息時刻劃分： 期末計息：利率 期初計息：貼現率 2、? 按照積累方式劃分： （1）線性積累： 單利計息 單貼現計息 （2）指數積累： 復利計息 復

2、貼現計息 （3）單復利/貼現計息之間的相關關系 ????????? ? 單利的實質利率逐期遞減，復利的實質利率保持恒定。 單貼現的實質利率逐期遞增，復貼現的實質利率保持恒定。 ? 時，相同單復利場合，復利計息比單利計息產生更大的積累值。所以長期業(yè)務一般復利計息。 時，相同單復利場合，單利計息比復利計息產生更大的積累值。所以短期業(yè)務一般單利計息。 3、按照利息轉換頻率劃分： （1）一年轉換一次：實質利率 （實質貼現率 ） （2）一年轉換 次：名義利率 （名義貼現率 ） （3）連續(xù)計息（一年轉換無窮次）：利息效力 特別，恒定利息效力場合有 三、

3、變利息 1、? 什么是變利息 2、? 常見的變利息情況 （1）連續(xù)變化場合 （2）離散變化場合 第二節(jié)：利息問題求解原則 一、利息問題求解四要素 1、? 原始投資本金 2、投資時期的長度 3、利率及計息方式 4、本金在投資期末的積累值 二、利息問題求解的原則 1、本質 任何一個有關利息問題的求解本質都是對四要素知三求一的問題。 2、工具 現金流圖：一維坐標圖，記錄資金按時間順序投入或抽出的示意圖。 3、方法 建立現金流分析方程（求值方程） 4、原則 在任意時間參照點，求值方程等號兩邊現時值相等。 第三節(jié)：年金 一、 年金的定義與分類 1、?

4、年金的定義：按一定的時間間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現已推廣到任意間隔長度的系列付款。 2、? 年金的分類： （1）??????? 基本年金 約束條件：等時間間隔付款 付款頻率與利息轉換頻率一致 每次付款金額恒定 （2）????? 一般年金 ??????? ?不滿足基本年金三個約束條件的年金即為一般年金。 （3） ? 二、基本年金 1、? 分類 （1）付款時刻不同：初付年金/延付年金 （2）付款期限不同：有限年金/永久年金 2、? 基本年金公式推導 3、? 變利率年金問題 （1）?????? 時期變利率（第 個時期利率為 ）

5、 （2）?????? 付款變利率（第 次付款的年金始終以利率 計息） 三、一般年金 ??????? 1、分類 （1）支付頻率不同于計息頻率 （2）變額年金 2、支付頻率不同于計息頻率年金 （1）支付頻率小于計息頻率的年金分析 方法一：利率轉換 方法二：年金的代數分析 （2）支付頻率大于計息頻率的年金分析 方法一：利率轉換 方法二：年金的代數分析 （3）????? 連續(xù)年金 特別，在常數利息效力場合 3、變額年金 （1）????? 等差年金 ? 初始投資P元，等差Q元的年金的一般公式： 現時值： 積累值： 特別地， 遞

6、增年金：P=Q=1 現時值： 積累值： 遞減年金：P=n，Q=-1 現時值： 積累值： （2）????? 等比年金（下一期年金值為前一期年金值的（ ）倍） 現時值： 積累值： 第四節(jié)：收益率 一、收益率的概念 ??? 1、貼現資金流與現金流動表 2、收益率的定義：使得投資返回凈現時值等于零時的利率稱為收益率。也稱為“內返回率” 二、 收益率的唯一性判別? 1、? 由于收益率是高次方程的解，所以它的解很可能不唯一。 2、? Descartes符號判別定理：收益率的最大重數小于等于資金流的符號改變次數。 3、? 收益率唯一性判別定理二：整個投資期間

7、未動用投資余額始終為正，收益率唯一。 三、再投資率 1、? 本金的再投資率 2、? 利息的再投資率 四、基金的利息度量 1、? 幣值加權方法 2、? 時間加權方法 第五節(jié)：分期償還表和償債基金 一、分期償還和償債基金的概念 1、??? 分期償還：借款人按一定的周期用分期付款的辦法償還貸款，這種還貸方法稱為分期償還。 2、??? 償債基金：借款人在貸款期末用一次的集中付款來償還貸款人。利息則在此期間分期付款，并假設借款人周期性地付款給一個“基金”，該“基金”在貸款期末的積累值正好可以償還貸款本金。 二、分期償還表 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還

8、貸款余額 0 - - - 1 1 1 1 0 總計 ? 三、償債基金 時期 付款金額 支付利息 存入償債基金 償債基金積累值 未償還貸款余額 0 - - - - 1 1 0 總計 ? ? 對償債基金而言，第 次付款的實際支付利息為： 第 次付款的實際償還本金為： 第二章?? 生命表函數與生命表構造

9、第一節(jié) 生命表函數 一、生存函數 1、? 定義： 2、? 概率意義：新生兒能活到 的概率 3、? 與分布函數的關系： 4、? 與密度函數的關系： 二、剩余壽命 1、定義：已經活到x歲的人（簡記 ），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。 2、剩余壽命的分布函數 5、? ： ， 它的概率意義為： 將在未來的 年內去世的概率，簡記 3、剩余壽命的生存函數： ， 它的概率意義為： 能活過 歲的概率，簡記 特別： （1） （2） （3） （4） ： 將在 歲與 歲之間去世的概率 4、? 整值剩余壽命 （1）定義： 未來存活的完

10、整年數，簡記 （2）概率函數： 5、剩余壽命的期望與方差 （1）期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值（均值），簡記 （2）剩余壽命的方差： 6、整值剩余壽命的期望與方差 （1）期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值（均值），簡記 （2）整值剩余壽命的方差： 2 三、死亡效力 1、定義： 的人瞬時死亡率，記作 2、死亡效力與生存函數的關系 3、死亡效力與密度函數的關系 4、死亡效力表示剩余壽命的密度函數 記 為剩余壽命 的分布函數， 為 的密度函數，則 第二節(jié) 生命表的構造 一、有關壽命分布的參數模型 1、de Moiv

11、re模型（1729） 2、Gompertz模型（1825） 3、Makeham模型（1860） 4、Weibull模型（1939） 二、生命表的起源 ??????? 1、參數模型的缺點 ????? ???（1）至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。 （2）使用這些參數模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差 （3）壽險中通常不使用參數模型擬合壽命分布，而是使用非參數方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 （4）在非壽險領域，常用參數模型擬合物體壽命的分布。 2、生命表的起源 ????????? （1）生命表的定義 根據

12、已往一定時期內各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表. （2）生命表的發(fā)展歷史 1662年,Jone Graunt,根據倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根據Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 （3）生命表的特點 構造原理簡單、數據準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數方法） ??? 三、生命表的構造 1、原理 在大數定理的基礎上，用觀察

13、數據計算各年齡人群的生存概率。（用頻數估計頻率） 2、常用符號 （1）新生生命組個體數： （2）年齡： （3）極限年齡： （4） 個新生生命能生存到年齡 的期望個數： （5） 個新生生命中在年齡 與 之間死亡的期望個數： 特別，當 時，記作 （6） 個新生生命在年齡 與 區(qū)間共存活年數： （7） 個新生生命中能活到年齡 的個體的剩余壽命總數： 四、選擇與終極生命表 1、選擇-終極生命構造的原因 （1）需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 （2）需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間

14、而逐漸消失 2、選擇-終極生命表的使用 第三節(jié) 有關分數年齡的假設 一、使用背景 生命表提供了整數年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數生存數據,選擇某種分數年齡的生存分布假定， 估計分數年齡的生存狀況 ??? 二、基本原理 插值法 三、常用假定 1、均勻分布（Uniform Distribution）假定:(線形插值) 2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（幾何插值） 3、Balducci假定（調和插值） 四、三個假定下的生命表函數 函數 均勻分布假定 恒定死亡效力假定 Balducci假定

15、 第三章 人壽保險躉繳純保費的厘定 第一節(jié)? 人壽保險躉繳純保費厘定的原理 一、 人壽保險簡介 1、什么是人壽保險 （1）?????? 狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的的一種保險。 （2）?????? 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保障期內被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內被保險人生存為標底的生存保險和兩全保險。 2、人壽保險的分類 根據不同的標準，人壽保險有不同的分類： （1）?????? 以被保險人的受益金額是否恒定進

16、行劃分，可分為：定額受益保險，變額受益保險。 （2）?????? 以保障期是否有限進行劃分，可分為：定期壽險和終身壽險。 （3）?????? 以保單簽約日和保障期是否同時進行劃分，可分為：非延期保險和延期保險。 （4）?????? 以保障標的進行劃分，可分為：人壽保險（狹義）、生存保險和兩全保險。 3、人壽保險的性質 （1）?????? 保障的長期性：壽險的保障期通常比較長。這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。因而，壽險產品純保費的厘定通常要考慮利率的影響。 （2）?????? 保險賠付金額和賠付時間的不確定性：人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生

17、命狀況。以狹義的定期變額人壽保險為例，如果被保險人在保障期內沒有死亡，到期賠付金額為零；如果被保險人在保障期內死亡，保險公司將在被保險人死亡時給付與死亡時間相關的某個數額的賠償金。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。 （3）?????? 被保障人群的大數性：對單個被保險人而言，他會在什么時刻死亡是不可估計的。但對大量的被保險人構成的一個大數群體而言，他們的剩余壽命分布是有統(tǒng)計規(guī)律的。這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預測將來的風險。 二、 人壽保險躉繳純保費厘定的原理 1、假定 傳統(tǒng)的人壽

18、保險產品的躉繳純保費是在如下假定下厘定的： 假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命獨立同分布。 假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經驗生命表進行擬合。 假定三：保險公司可以預測將來的投資受益（即預定利率）。 2、原理 保險公司在上面三個假定條件下，按照凈均衡的原則來厘定躉繳純保費的數額。 所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現時值正好等于將來的保險賠付金的期望現時值。它的實質是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數場合下，收費期望現時值等于支出期望現時值。 而躉繳純保費是指在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現時值。 記 ?：保單生效到賠付的時間 ?：從賠付時刻

19、回溯至保單生效時的利息貼現，稱為貼現函數。 ?：賠付時刻賠付的金額，或者說是被保險人的受益金額，稱為受益函數。 ?：受益賠付額回溯到保單生效時的現時值，稱為現時隨機變量，它是一個依賴于賠付時間、賠付金額和貼現函數的隨機變量，簡記為 ，有 按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于 。 第二節(jié)??????? 死亡即刻賠付保險躉繳純保費的厘定 一、 死亡即刻賠付的含義 1、??? 死亡即刻陪付就是指如果被保險人在保障期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 2、? 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任

20、意時刻，所以死亡即刻陪付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。 二、 主要險種死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定 1、 年定期壽險 （1）定義：保險人只對被保險人在投保后的 年內發(fā)生的保險責任范圍內的死亡給付保險金的險種，又稱為 年死亡保險。 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數的 年定期壽險 （3）基本函數關系 （4） 年定期壽險死亡即刻陪付躉繳純保費（ ）的厘定 （5）現值隨機變量的方差 記 則 2、終身壽險 （1）定義：保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。 （2）假

21、定： 的人投保保額為1單位元數的終身壽險 （3）基本函數關系 （4）終身壽險死亡即刻賠付躉繳純保費（ ）的厘定 （5）現值隨機變量的方差 記 則 3、延期 年的終身壽險 （1）?? 定義：保險人只對被保險人在投保 年后發(fā)生的保險責任范圍內的死亡給付保險金的險種。 （2） ? （2）假定： 的人投保保額為1單位元數的延期 年的終身壽險 （3）基本函數關系 （4）延期 年的終身壽險死亡即刻陪付躉繳純保費（ ）的厘定 （5）現值隨機變量的方差 記 則 4、 年定期生存險 （1）定義：被保險人投保后生存至 年期滿時，保險人在第 年

22、末支付保險金的險種。 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數的 年定期生存險 （3）基本函數關系 （4） 年定期生存險躉繳純保費（ ）的厘定 （5）現值隨機變量的方差 5、 年定期兩全險 （1）定義：被保險人投保后如果在 年期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至 年期滿，保險人在第 年末支付保險金的保險。所以 年定期兩全險實際上等價于 年生存保險加上 年定期壽險的組合。 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數的 年定期兩全險 （3）基本函數關系 （4） 年定期兩全險死亡即刻賠付躉繳純保費（ ）的厘定 記 年定期壽險現值隨機變

23、量為 ， 年定期生存險現值隨機變量為 ， 年定期兩全險現值隨機變量為 ，已知 則有 即 （5）現值隨機變量的方差 因為 所以 又因為 所以 年定期兩全保險現值隨機變量的方差等價于 6、延期 年的 年定期兩全險 （1）定義：被保險人在投保后的前 年的死亡不獲賠償，從第 年開始為期 年的定期兩全險。顯然它相當于延期 年的 年定期壽險和延期 年的 年定期生存險的組合 （2）假定： 的人投保保額為1單位元數的延期 年的 年定期兩全險 （3）基本函數關系 （4）延期 年的 年定期兩全險死亡即刻賠付躉繳純保費（ ）的厘定 記 延期 年的 年定期壽

24、險現值隨機變量為 ，延期 年的 年定期生存險現值隨機變量為 ，延期 年的 年定期兩全險現值隨機變量為 ，有 即 從延期 年的定期兩全保險的定義還可以直接推出它的躉繳純保費等于 （5）現值隨機變量的方差 因為 且 所以延期 年的 年定期兩全保險現值隨機變量的方差等價于 7、遞增終身壽險 （1）定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的遞增線性函數。 （2）假定： 的人投保初始保額為1單位元數的遞增終身壽險， 如果保險賠償金一年遞增一次，即受益函數為： ，記這種遞增終身壽險躉繳純保費為 如果保險賠償金一年遞增 次，即受益

25、函數為 ，記這種遞增終身壽險躉繳純保費為 如果保險賠償金一年遞增無窮次（連續(xù)遞增），即受益函數為 ，記這種遞增終身壽險躉繳純保費為 （3）?????? 基本函數關系 的現值隨機變量為 的現值隨機變量為 的現值隨機變量為 （4）?????? 遞增終身人壽保險死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定 的厘定 的厘定 的厘定 8、遞減 年定期壽險 （1）定義：遞減定期壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的遞減線性函數。 （2）假定： 的人投保初始保額為1單位元數的遞減定期壽險， 如果保險賠償金一年遞減一次，即受益函數為： ，記這種遞減定期

26、壽險躉繳純保費為 如果保險賠償金一年遞減 次，即受益函數為 ，記這種遞減定期壽險躉繳純保費為 如果保險賠償金一年遞減無窮次（連續(xù)遞增），即受益函數為 ，記這種減定期壽險躉繳純保費為 （3）基本函數關系 的現值隨機變量為 的現值隨機變量為 的現值隨機變量為 （4）遞減定期壽險死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定 的厘定 的厘定 的厘定 第三節(jié)??????? 死亡年末賠付保險躉繳純保費的厘定 一、死亡年末賠付的含義 1、 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當年年末給予保險賠付。 2、由于賠付

27、時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定凈凈凈躉繳保費時通常先假定的理賠方式。 二、主要險種死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定 1、 年定期壽險 （1）基本函數關系 記 為被保險人整值剩余壽命，則 （2） 年定期壽險死亡年末陪付躉繳純保費（ ）的厘定 等式兩邊同乘以 ，得 這一等式顯示了保單發(fā)行時 個 歲的被保險人的凈躉繳保費總和與按死亡預期流出的資金量現時值之間的平衡關系。 （

28、3）現值隨機變量的方差 記 則 （4）比較 顯然，和死亡即刻賠付情況下躉繳純保費的計算模型相比，這兩個精算模型的構造思想、計算步驟都一樣，唯一不同的就是一個連續(xù)（ ），一個離散（ ）；一個的期望是求積分得到（ ），一個的期望是求累加和得到（ ）。 2、其它險種場合 顯然，其它險種場合的情況和定期壽險場合一樣。我們容易得到如下結果： 險種 凈躉繳保費 終身壽險 延期 年終身壽險 年兩全保險 延期 年 年兩全保險 遞增終身壽險（一年遞增一次） 遞減 年定期壽險（一年遞減一次） 三、 死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關系（剩余壽命在分數時

29、期均勻分布假定下） 以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分數生存壽命： 則 同理可以驗證，在如下兩個條件： （1） （2） 只依賴于剩余壽命的整數部分，即 則有 換言之，滿足如上兩個條件，死亡即刻賠付即為死亡年末賠付的 倍。 第四節(jié)??????? 遞歸方程 公式一： 理解： 的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于 在第一年死亡的情況下1單位的賠付額，或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。 公式二： 理解： 個 歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經過一年的積累，當年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費 ，還可以為所有在當年去世的被保險

30、人提供額外的 。 公式三： 理解：年齡為 的被保險人在活到 歲時的凈躉繳保費與當初 歲時的凈躉繳保費之差等于保費的一年利息減去提供一年的保險成本。 公式四： 理解： 的躉繳純保費等于其未來所有年份的保險成本的現時值之和。 第五節(jié)??????? 計算基數 一、 什么是計算基數 定義：在保險精算學中，有些保費的計算過程往往很繁瑣，為簡化計算步驟，引入一些換算函數，這些換算函數是一些根據假定條件事先算好的中間量，也稱為計算基數，一般的保費計算都可以表示成這些計算基數的函數形式。 二、 常用計算基數 三、 用計算基數表示常見壽險的躉繳純保費

31、 第四章?? 生存年金 第一節(jié)??????? 生存年金簡介 一、 生存年金的定義和分類 1、生存年金的定義： 以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型。 2、生存年金的分類 （1）?????? 延付年金、初付年金 （2）?????? 連續(xù)年金、離散年金 （3）?????? 定期年金、終身年金 （4）?????? 非延期年金、延期年金 （5）?????? 被保險人支付的保費年金、保險人支付的保險賠付年金 3、生存年金與確定性年金的關系 （1）?????? 確定性年金：支付期數確定的年金（利息理論中

32、所講的年金）。 （2）?????? 生存年金與確定性年金的聯系：都是每隔一段時間的系列付款 （3）?????? 生存年金與確定性年金的區(qū)別：確定性年金的支付期數是確定的，而生存年金的支付期數是不確定的（以被保險人生存為條件） 二、 生存年金的用途 1、? 被保險人保費交付常使用生存年金的方式 2、? 某些場合保險人理賠時支付的保險金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險、殘疾保險、撫恤保險、失業(yè)保險等場合。 第二節(jié)??????? 與生存相關聯的一次性支付 一、 年期生存保險定義 現齡 歲的人在投保 年后仍然存活，可以在第 年末獲得生存賠付的保險稱為 年期生存保險。這就是我們在第三

33、章講到的純生存保險。 單位元數的 年期生存保險的躉繳純保費為 。在生存年金研究中習慣用 表示該保險的精算現值 二、相關公式及意義 理解： 年齡 現時值 1 1 ? S 1 ? 第三節(jié)??????? 連續(xù)生存年金 一、 連續(xù)生存年金簡介 1、定義：在保障時期內，以被保險人生存為條件，連續(xù)支付年金的保險。 2、分類： ??? 終身（永久）連續(xù)生存年金、定期連續(xù)生存年金 延期連續(xù)生存年金、非延期連續(xù)生存年金 3、連續(xù)生存年金精算現值估計方法 u?????? 當期支付技巧：考慮未來連續(xù)支付的現時值之和 u?????? 綜合支付

34、技巧：考慮年金在因死亡或到期而結束時的總值。 二、終身連續(xù)生存年金精算現值的估計 1、綜合支付技巧 步驟一：計算到死亡發(fā)生時間T為止的所有已支付的年金的現值之和 步驟二：計算這個年金現值關于時間積分所得的年金期望值，即終身連續(xù)生存年金精算現值，記作： 2、當期支付技巧 步驟一：計算在時刻 所支付的當期年金的現值 步驟二：計算該當期年金現值按照可能支付的時間積分，得到期望年金現值 3、相關公式 三、定期連續(xù)生存年金精算現值的估計 1、綜合支付技巧 2、當期支付技巧 3、相關公式 四、延期連續(xù)生存年金精算現值的估計 1、延期 年

35、終身生存年金：當 活到 歲之后，每年可獲1單位元數的連續(xù)支付的延期年金，其精算現值記作 也等價于 2、延期 年 年定期生存年金：當 在 歲與 歲之間存活時，每年可獲1單位元數的連續(xù)支付的延期年金，其精算現值記作 也等價于 第四節(jié)??????? 離散生存年金 一、離散生存年金簡介 1、定義：在保障時期內，以被保險人生存為條件，每隔一段時間支付一次年金的保險。 2、連續(xù)生存年金與離散生存年金的關系 （1）計算精算現值的理論基礎完全相同 （2）不同的是求精算現值時： 連續(xù)場合使用積分運算→離散場合使用累加求和 連續(xù)場合沒有初付、延付的問題，離散場合要分初付、

36、延付分開考慮 3、分類： 初付生存年金、延付生存年金 ??? 終身離散生存年金、定期離散生存年金 延期離散生存年金、非延期離散生存年金 二、初付生存年金精算現值的估計 由于大多數壽險公司都采用的是初付年金的方式收取保費，所以我們首先討論初付年金的精算現值的估計。 1、初付終身生存年金 （1）當期支付技巧 （2）綜合支付技巧 （3）相關公式 2、初付定期生存年金 （1）?????? 期支付技巧 （2）綜合支付技巧 （3）相關公式 3、延期初付生存年金 險種 延期 年終身生存年金 延期 年 年定期生存年金 精算現值 三、延付生

37、存年金精算現值的估計 1、初付生存年金與延付生存年金的關系 2、常見險種的延付生存年金 ??????????????? 險種 延付年金精算現時值 終身生存年金 年定期 生存年金 延期 年 終身生存年金 延期 年 年定期生存年金 第五節(jié)??????? 年付 次的生存年金 一、年付 次的終身生存年金（初付） 1、基本公式 2、UDD假定下的公式 3、近似公式 二、年付 次的定期生存年金（初付） 1、基本公式 2、UDD假定下的公式 3、近似公式 三、年付 次的延期生存年金（初付） 險種 精算現值近似公式

38、 延期 年 終身生存年金 延期 年 年定期生存年金 第六節(jié)? 等額年金計算基數公式 險種 初付 延付 終身生存年金 定期生存年金 延期終身生存年金 延期定期生存年金 第五章? 純保費和毛保費 第一節(jié)??? 保費簡介 一、 保費的構成 二、 保費的分類 1、? 按保費繳納的方式分： 一次性繳納：躉繳（純/毛）保費 以年金的方式繳納：期繳（純/毛）保費 2、? 按保險的種類分： 只覆蓋死亡的保險：純壽險保費 只覆蓋生存的保險：生存險保費 既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險：兩全險保費 在前兩章中，我們已經學過各險種

39、場合躉繳純保費的確定： （1）純壽險躉繳純保費（死亡受益死亡即刻支付） 終身壽險躉繳純保費： 年延期終身壽險躉繳純保費： 年定期壽險躉繳純保費： 年延期 年定期壽險躉繳純保費： （2）生存險躉繳純保費的確定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付） 年定期生存險躉繳純保費： 終身生存年金躉繳純保費： 年延期終身生存年金躉繳純保費： 年定期生存年金躉繳純保費： 年延期 年定期生存年金躉繳純保費： （3）兩全險躉繳純保費的確定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保險期沒支付） 年定期兩全險躉繳純保費： 第二節(jié)??? 凈均衡保費 一、 凈均衡保費與

40、躉繳純保費的關系 1、純保費厘定原則——平衡原則：保險人的潛在虧損均值為零。 L=給付金現值-純保費現值 E（L）=0 E（給付金現值）=E（純保費現值） 2、凈均衡保費與躉繳純保費的關系 E（躉繳純保費現值）=E（凈均衡保費現值） 二、 各險種凈均衡保費的厘定 1、? 完全連續(xù)凈均衡年保費的厘定 （1）?????? 終身壽險完全連續(xù)凈均衡年保費的厘定 ????????? 假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年連續(xù)交付保費（給付連續(xù)，繳費也連續(xù)） ????????? 厘定過程： ????????? ? （2）?????? 常見險種完

41、全連續(xù)凈均衡年保費總結 險種 完全連續(xù)凈均衡年保費 終身人壽保險 年定期壽險 年兩全保險 年繳費終身人壽保險 年繳費 年兩全保險 年生存保險 年遞延終身生存保險 2、? 完全離散凈均衡年保費的厘定 （1）?????? 終身壽險完全離散凈均衡年保費的厘定 ????????? 假定條件： 死亡年末給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起每年年初交付保費（給付離散，繳費也離散） ????????? 厘定過程： ????????? ? （2）?????? 常見險種完全離散凈均衡年保費的厘定 險種 完全連續(xù)凈均衡年保

42、費 終身人壽保險 年定期壽險 年兩全保險 年繳費終身人壽保險 年繳費 年兩全保險 年生存保險 年遞延終身生存保險 3、? 半連續(xù)純年保費的厘定 （1）?????? 終身壽險半連續(xù)凈均衡年保費的厘定 ????????? 假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起每年年初交付保費（給付連續(xù)，繳費離散，這是實際中最常見的給付、繳費方式） ????????? 厘定過程： ????????? ? （2）?????? 常見險種完全離散凈均衡年保費的厘定 險種

43、 完全連續(xù)凈均衡年保費 終身人壽保險 年定期壽險 年兩全保險 年繳費終身人壽保險 年繳費 年兩全保險 年生存保險 年遞延終身生存保險 4、每年繳納數次保費的純保費的厘定 ????????? 終身壽險年繳 次保險假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起每年繳費 次，每期期初繳費（給付連續(xù)，繳費離散） ??????? 厘定過程： 第三節(jié)??? 毛保費 一、 保險費用簡介 1、定義：保險公司支出的除了保險責任范圍內的保險金給付外，其它的維持保險公司正常運

44、作的所有費用支出統(tǒng)稱為經營費用。這些費用必須由保費和投資收益來彌補。 2、保險費用范圍：稅金、許可證、保險產品生產費用、保單銷售服務費用、合同成立后的維持費、投資費用等。 3、保險機構營業(yè)費用的一種分類方案： 費用分類 分類 投資 （1）?????? 分析 （2）?????? 購買、銷售及服務成本 保險 新契約費 （1）?????? 銷售費用（含廣告費及代理人傭金） （2）?????? 風險分類（含體檢費用） （3）?????? 準備新保單及會計 維持費 （1）?????? 保費收取及會計 （2）?????? 收益變更及受益選擇權選擇 （3）?????? 與保單

45、持有者聯絡 營業(yè)費用 （1）?????? 研究 （2）?????? 精算與一般法律服務 （3）?????? 普通會計 （4）?????? 稅金、許可證等費用 支付費用 （1）?????? 理賠調查及辯護費 （2）?????? 受益支付費用 二、 毛保費的確定 1、毛保費的定義： 保險公司實際收取的保費為用于保險金給付的純保費和用于各種經營費用開支的附加費用之和，即毛保費，簡記為：G 2、毛保費厘定原則 基本原則：精算等價原則 毛保費精算現值=純保費精算現值+附加費用的精算現值 ??? ??????????????=各種給付精算現值+各種費用支出精算現值 三、 單

46、位保單費用 1、 保單費用：在保險費用中，有一部分附加費用只與保單數目有關，與保險金額或保險費無關，這部分費用稱為保單費用，如準備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知的費用等。 2、? 毛保費的分析 （1）毛保費可分為三部分： 第一部分：跟保險金額有關的費用，如承保費用等 第二部分：跟保費數額有關的費用。如代理人傭金、保險費稅金等 第三部分：只與保單數目有關的費用（保單費用）。如準備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知單等。 ? （2）毛保費構成分析 3、 ? 其中： ：保險金額為 的保單的毛保費。 ??? ：保險成本中與保險金額相關的部分，其中單位保險的純保

47、費是它的主要部分。 ? ：每份保單平攤的費用，即單位保單費用。 ?：附加費用在毛保費中所占的百分比。 3、費率函數 （1）定義 （2）近似費率公式 如果 ，近似總保費等于真實總保費。 如果 ，近似總保費高于真實總保費。 如果 ，近似總保費低于真實總保費。 （2）帶狀費率公式 根據保險面額不同，分成不同的“bands”（區(qū)間帶） 如果 ，近似總保費等于真實總保費。 如果 ，近似總保費高于真實總保費。 如果 ，近似總保費低于真實總保費。 第六章 責任準備金 第一節(jié)??????? 凈責任準備金（受益責任準備金） 一、責任準備金的定義 1、

48、責任準備金產生原因 除了保單發(fā)行日以外，以保障期內任意某個時刻為參照點，未來收支的現時值都有可能不平衡。 2、凈責任準備金定義： 保險公司在任一時刻對每個現存被保險人的未盡責任現時值，就稱為凈責任準備金。也就是在該時刻每個現存的被保險人將來收益的現時值，所以也稱為受益責任準備金。 它的實質是現存被保險人未來收益與未來繳費現時值之差 。 3、責任準備金的分類 （1）按覆蓋責任分 凈責任準備金（受益責任準備金）：覆蓋被保險人將來的保險收益 費用責任準備金：覆蓋保險公司將來的費用支出 修正責任準備金：對第一年的費用支出作修正，等價調節(jié)各年責任準備金，以利于保險公司的利潤均勻溢出。

49、 （2）按被保險人繳費、保險人賠付的方式分 完全連續(xù)責任準備金（死亡即刻賠付，連續(xù)繳費） 完全離散責任準備金（死亡年末賠付，生存期初繳費） 半連續(xù)責任準備金（死亡即刻賠付，生存期初繳費） 二、凈責任準備金確定原理 以完全連續(xù)終身壽險為例 1、前瞻虧損（prospective loss） 其中： 2、凈責任準備金的 確定 前瞻虧損的期望即該時刻的凈責任準備金，記作 。 用這種原理確定責任準備金的方法稱為前瞻方法。 前瞻虧損的方差 三、用前瞻法確定常見險種的責任準備金 1、終身壽險，終身繳費 2、 年定期壽險， 年繳費 3、 年兩全險， 年

50、繳費 4、 次繳費終身壽險 5、 次繳費 年定期壽險 6、 年延期， 年繳費的終身生存年金 四、凈責任準備金的其它確定公式 1、保費差公式 （1）理解：責任準備金等于剩余繳費期內保費差的精算現值。 （2）推導：（以完全連續(xù)終身壽險為例） 2、繳清保險公式 （1）理解：責任準備金等于部分受益的精算現值。 （2）推導：（以完全連續(xù) 年定期兩全保險為例） 3、后顧方法 （1）理解：責任準備金是已付保費積累值與保險成本積累值（accumulated cost of insurance）之差。 （2）推導： 4、應用前瞻公式和后顧公式的原則 （1

51、）在保障時間超過繳費期的場合，使用前瞻法更為方便 （2）在尚未提供受益的遞延期內，使用后顧法更為方便 5、其它公式 五、完全離散場合責任準備金的遞推公式 1、責任準備金的含義： 解釋：責任準備金為未來的保險責任的現時值減去未來保費收入的現時值。 2、 解釋： 第年死亡受益， 為第年初繳付保費。則第 年為每個現存的被保險人準備的責任準備金 加上每個現存的被保險人繳付的保費 積累到年末正好可以為每個在這一年內死亡的被保險人提供 元的死亡賠付，并為在該年末存活的每位被保險人準備 元責任準備金。 3、 解釋： 稱為風險凈值，是指一旦這一年中有死亡發(fā)生，死亡受益超

52、過責任準備金部分的數額。 該遞推公式說明每一位年初存活的被保險人所繳保費及年初所繳保費與年初責任準備金所產生的利息之和有兩個用途：一是彌補年末責任準備金與年初責任準備金的差值；二是彌補該年死亡發(fā)生時而產生的風險凈值。 六、半連續(xù)責任準備金的確定 根據死亡年末給付與死亡即刻給付之間的關系，根據半連續(xù)保費與完全離散保費之間的關系，半連續(xù)責任準備金都可以轉換為完全離散責任準備金的函數。 以 次繳費 年定期壽險為例 其他險種場合可以同理推導。 七、一年繳費若干次責任準備金的確定 一年繳費若干次的責任準備金可以表示為一年繳費一次的完全離散責任準備金加上一個損失保費的額外附加責任準備金

53、。 以一年 次繳費的完全離散終身壽險為例 該責任準備金推導： 同理，一年 次繳費的完全離散 年兩全保險的責任準備金為 解釋：“損失保費”部分形成的額外責任準備金等于繳費期內每次繳納??????? 元（終身壽險為 ）純保費的純壽險完全離散責任準備金 （終身壽險為 ）的一部分，比例為 。 ? 八、分數期責任準備金的確定 UDD假定下，近似方法： 第二節(jié)??????? 修正責任準備金 一、責任準備金產生原因 1、費用責任準備金 （1）凈保費責任準備金（受益責任準備金）覆蓋的責任：保險人將來的凈責任 （2）費用責任準備金覆蓋的責任：由于保險

54、業(yè)的特殊性，第一年的費用遠遠高于以后各年的費用，所以分期繳付保費場合，保險人的費用責任準備金實際上一直是負的。 換言之，在保險費用這一方面是保險人先墊付了被保險人的費用，被保險人用將來的分期付款逐期償還首年欠付費用。 2、修正責任準備金產生的原因 如果不考慮費用責任準備金的因素，始終以凈保費責任準備金為準計算保險公司的債務，會使保險公司保險初年的負擔很重，而且利潤溢出各年變動非常大。 為了保險公司的利潤溢出比較平滑，也同時兼顧被保險人的利益，有了修正責任準備金的概念。 二、修正責任準備金方法 1、修正責任準備金原理——階梯保費制 原始等額凈保費示圖 修正后階梯（凈）保費

55、 ? ? ? ? ? ? 沒有修正前是等額凈保費： 。 修正后成為階梯保費： 。 。 有 2、常用修正責任準備金方法 （1）完全初年修正方法 條件：第一年的修正凈保費等于第一年的死亡受益現值： 則有： （2）美國保險監(jiān)督官標準 產生背景：FPT適用于低費率保單，如果是高費率保單，第一年沖銷的費用就過多了。 美國保險監(jiān)督官標準： 如果是

56、低保費保單： 采用FPT調節(jié) 如果是高保費保單： ，則 （3）加拿大修正制 加拿大保險法允許有更大力度的修正。 條件： ，其中 為第一年費用按均衡保費衡量的額外補貼，有 其中：a＝150％凈均衡保費，b＝新契約費，c＝仍然提供的管理費用及保單持有人分紅時在第二年及以后年中可收回費用的精算現值。 第七章 多元生命函數 第一節(jié)? 多元生命函數簡介 一、多元生命函數的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數。 二、多元生命函數的作用 養(yǎng)老金給付場合 n????????? 合伙人聯保場合 n遺產稅的計算場合 三、多元剩余壽命的聯合分布 1、? 聯合密度函數 2、? 聯

57、合分布函數 3、? 聯合生存函數 4、? 邊際生存函數 第二節(jié)? 多元生命狀況 ??? 一、連生狀況 1、? 連生狀況定義 （1）定義：當所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況。當有一個成員死亡時，連生狀況就結束了。簡記連生狀況為： （2）連生狀況剩余壽命的定義： （3）連生狀況剩余壽命的性 質：連生狀況的剩余壽命的實質上就是 個生命的最小次序統(tǒng)計量 2、? 兩個體連生狀況的生命函數 （1）分布函數 （2）生存函數 特別：兩個體剩余壽命獨立場合 （3）密度函數 特別：兩個體剩余壽命獨立場合 （4）死亡效力函數 特別：兩個體剩余壽

58、命獨立場合 （5）兩個體至少有一個在第 年內死亡的概率 （6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率 （7）剩余壽命的期望 二、最后生存狀況 1、? 最后生存狀況的定義 （1）定義：只要至少有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。當所有的成員都死亡時，最后生存狀況就結束了。簡記最后生存狀況為： （2）最后生存狀況剩余壽命的定義： （3）最后生存狀況剩余壽命的性 質：最后生存狀況的剩余壽命的實質上就是 個生命的最大次序統(tǒng)計量 2、? 多生命狀況剩余壽命的關系 （1） （2） （3） （4） 3、兩個體最后生存狀況的生命函數 （1）分布函數

59、 等價公式 （2）生存函數 等價公式 （3）密度函數 等價公式 （4）死亡效力函數 （5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率 等價公式 （6）剩余壽命期望 4、聯合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析 第三節(jié)??????? 聯合生命模型 一、 簡介 聯合生命模型分為兩類：Common Shock 模型和Copulas模型。 Common Shock 模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量相互獨立的模型。這種模型假定有時與現實情況不符，但易于分析。 Copulas模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量不獨立的模型。這種模型假定更符合實際情況，

60、但不易于分析。 我們主要研究簡單的Common Shock 模型。 二、 Common Shock 模型 1、定義：如果有 滿足 且有一個Common Shock 隨機變量 ，它獨立于 ，且服從指數生存函數 令 則 2、聯合生命狀況分析 記 則 （1）邊際生存函數為 （2）連生狀況剩余壽命生存函數為 （3）最后生存狀況剩余壽命生存函數為 特別， 獨立時，等價于 。 第四節(jié)? 人壽保險與生存年金 一、聯合生命狀況躉繳純保費的確定 1、? 躉繳純保費的確定原理 2、? 聯合多生命狀況躉繳純保費的確定 （1）?????? 連生狀

61、況 （2）?????? 最后生存狀況 二、聯合生命狀況生存年金的確定 1、? 生存年金確定原理 2、? 聯合生命狀況生存年金的確定 （1）連生狀況 （2）最后生存狀況 三、 連生狀況合最后死亡狀況的關系 四、 繼承年金 1、? 繼承年金的定義：在聯合生命狀態(tài)中，只有在其中一個生命（v）死亡之后，另一個生命（u）才能開始獲得年金。這種年金叫做繼承年金，簡記為 。 2、? 終身繼承年金 3、? 定期繼承年金 第五節(jié)? 在特殊死亡律假定下求值 一、Gomperz 和Makeham假定 1、? Gomperz假定下 尋找能替代連生狀態(tài)的單個

62、生命狀態(tài) ，即 已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有 由這個等式可求出 ，于是 2、? Makeham假定下 由于Makeham假定的死亡效力函數含有常數項，所以無法用單個生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個同年齡的連生狀態(tài) 作替換，即 已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有 由這個等式可求出 ，于是 二、均勻分布假定 ??? 在均勻分布假定下，躉繳純保費和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質 第七章 多元生命函數 第一節(jié)? 多元生命函數簡介 一、多元生命函數的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數。 二、多元生命函

63、數的作用 養(yǎng)老金給付場合 n????????? 合伙人聯保場合 n遺產稅的計算場合 三、多元剩余壽命的聯合分布 1、? 聯合密度函數 2、? 聯合分布函數 3、? 聯合生存函數 4、? 邊際生存函數 第二節(jié)? 多元生命狀況 ??? 一、連生狀況 1、? 連生狀況定義 （1）定義：當所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況。當有一個成員死亡時，連生狀況就結束了。簡記連生狀況為： （2）連生狀況剩余壽命的定義： （3）連生狀況剩余壽命的性 質：連生狀況的剩余壽命的實質上就是 個生命的最小次序統(tǒng)計量 2、? 兩個體連生狀況的生命函數 （1）分布函數

64、（2）生存函數 特別：兩個體剩余壽命獨立場合 （3）密度函數 特別：兩個體剩余壽命獨立場合 （4）死亡效力函數 特別：兩個體剩余壽命獨立場合 （5）兩個體至少有一個在第 年內死亡的概率 （6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率 （7）剩余壽命的期望 二、最后生存狀況 1、? 最后生存狀況的定義 （1）定義：只要至少有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。當所有的成員都死亡時，最后生存狀況就結束了。簡記最后生存狀況為： （2）最后生存狀況剩余壽命的定義： （3）最后生存狀況剩余壽命的性 質：最后生存狀況的剩余壽命的實質上就是 個

65、生命的最大次序統(tǒng)計量 2、? 多生命狀況剩余壽命的關系 （1） （2） （3） （4） 3、兩個體最后生存狀況的生命函數 （1）分布函數 等價公式 （2）生存函數 等價公式 （3）密度函數 等價公式 （4）死亡效力函數 （5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率 等價公式 （6）剩余壽命期望 4、聯合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析 第三節(jié)??????? 聯合生命模型 一、 簡介 聯合生命模型分為兩類：Common Shock 模型和Copulas模型。 Common Shock 模型假定個體之間的剩余壽命隨

66、機變量相互獨立的模型。這種模型假定有時與現實情況不符，但易于分析。 Copulas模型假定個體之間的剩余壽命隨機變量不獨立的模型。這種模型假定更符合實際情況，但不易于分析。 我們主要研究簡單的Common Shock 模型。 二、 Common Shock 模型 1、定義：如果有 滿足 且有一個Common Shock 隨機變量 ，它獨立于 ，且服從指數生存函數 令 則 2、聯合生命狀況分析 記 則 （1）邊際生存函數為 （2）連生狀況剩余壽命生存函數為 （3）最后生存狀況剩余壽命生存函數為 特別， 獨立時，等價于 。 第四節(jié)? 人壽保險與生存年金 一、聯合生命狀況躉繳純保費的確定 1、? 躉繳純保費的確定原理 2、? 聯合多生命狀況躉繳純保費的確定 （1）?????? 連生狀況 （2）?????? 最后生存狀況 二、聯合生命狀況生存年金的確定 1、? 生存年金確定原理 2、? 聯合生命狀況生存年金的確定 （1）連生狀況 （2）最后生存狀況 三、 連生狀況合最后死亡狀況的關系