7.2 復數(shù) 核心考點·精準研析 考點一　復數(shù)的概念  1.(2021·合肥模擬)a,b均為實數(shù),假設+=1(i為虛數(shù)單位),那么a+b= (　　) A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.-1 2.(2021·吉林模擬)設i是虛數(shù)單位,為實數(shù),那么實數(shù)a的值為 (　　) A.1　 B.2　 C.　 D. 3.復數(shù)z滿足zi=-2-i(i為虛數(shù)單位),那么|z|= (　　) A. B. C.2 D. 4.復數(shù)z的共軛復數(shù)是,且|z|-=,那么z的虛部是　　　　.  【解析】1.選C.由+=1, 得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2, 即(a+b)+(a-b)i=2,那么.所以a+b=2. 2.選C.因為==+i為實數(shù),所以2a-1=0,即a=. 3.選D.因為zi=-2-i,所以z=-1+2i, 所以|z|=. 4.設z=a+bi(a,b∈R), 由|z|-=,得-a+bi=, 所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2. 答案:-2 　關于復數(shù)的概念 (1)明確復數(shù)的分類、復數(shù)相等、共軛復數(shù),復數(shù)的模的概念. (2)解題時先要將復數(shù)化為代數(shù)形式,確定實部和虛部后解題. 考點二　復數(shù)的幾何意義  【典例】1.在復平面內(nèi)與復數(shù)z=所對應的點關于虛軸對稱的點為A,那么A對應的復數(shù)為 (　　) A.1+2i　　　 B.1-2i C.-2+i　　　 D.2+i 2.(2021·鄭州模擬)復數(shù)z1=在復平面內(nèi)對應的點為A,復數(shù)z2在復平面內(nèi)對應的點為B,假設向量與虛軸垂直,那么z2的虛部為　　　　.  3.(2021·太原模擬)假設z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分別為M,m,那么M-m=　　　　. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 1 由點關于虛軸對稱,想到假設點坐標為(x,y),那么關于虛軸對稱的點的坐標為(-x,y) 2 由與虛軸垂直想到點A,B對應的復數(shù)虛部相等 3 由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z對應的點的軌跡 【解析】1.選C.依題意得,復數(shù)z==i(1-2i)=2+i,其對應的點的坐標是(2,1),因此點A(-2,1)對應的復數(shù)為-2+i. 2.z1===-i, 所以A, 因為向量與虛軸垂直,且復數(shù)z2在復平面內(nèi)對應的點為B, 所以z2的虛部為-. 答案:- 3.由|z+3+4i|≤2,得z在復平面內(nèi)對應的點在以Q(-3,-4)為圓心,以2為半徑的圓及其內(nèi)部. 如圖: |z-1-i|的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的動點與定點P(1,1)的距離, 那么M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,那么M-m=4. 答案:4 　關于復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)Z,充分利用三者之間的對應關系相互進行轉化. (2)=r的幾何意義是復數(shù)z,z1對應的點的距離為r,假設復數(shù)z對應的點為動點,z1對應的點為定點,那么復數(shù)z對應的點的軌跡是以z1對應的點為圓心,r為半徑的圓. 1.(2021·新余模擬)在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選D.===2-i, 所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為,在第四象限. 2.在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點與原點的距離是 (　　) A.1 B. C.2 D.2 【解析】選B.===1+i.對應的點與原點的距離是=. 考點三　復數(shù)的四那么運算  命題 精解 讀 1.考什么:(1)考查復數(shù)的運算、概念、幾何意義等問題. (2)考查數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng). 2.怎么考:考查復數(shù)的乘除運算、復數(shù)運算的幾何意義、軌跡問題. 3.新趨勢:以復數(shù)的運算為載體,考查復數(shù)的幾何意義、概念、動點的軌跡問題. 學霸 好方 法 1.關于復數(shù)的四那么運算及應用 熟練運用復數(shù)的加、減、乘、除的運算法那么是關鍵,再結合復數(shù)的相關概念、幾何意義解決相關的問題. 2.交匯問題 與三角函數(shù)交匯時需要結合三角函數(shù)的相關公式計算,與軌跡交匯時可以轉化為解析幾何問題解決 復數(shù)四那么運算的綜合應用 【典例】假設z=1+2i,那么= (　　) A.1　　 B.-1　 C.i　　　 D.-i 【解析】選C.因為z=1+2i,那么=1-2i, 所以z=(1+2i)(1-2i)=5,那么==i. 復數(shù)混合運算應注意什么? 提示:分清運算層次,逐層進行運算. 復數(shù)四那么運算的幾何意義 【典例】如圖,在復平面內(nèi),復數(shù)z1,z2對應的向量分別是,,那么復數(shù)z1·z2對應的點位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選D.由=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所對應的點為(1,-2),在第四象限. 向量、復數(shù)的運算、點的坐標怎樣關聯(lián)? 提示:將向量轉化為對應的復數(shù),利用復數(shù)運算后再對應相應的點、向量. 復數(shù)四那么運算的交匯問題 【典例】(2021·邢臺模擬)假設復數(shù)x=sin θ-+i(θ∈R)是純虛數(shù),那么cos θ+icos 2θ的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選C.因為復數(shù)x=sin θ-+i(θ∈R)是純虛數(shù),所以,即sin θ=,cos θ=-(θ為第二象限角).那么cos 2θ =1-2sin2θ=1-2×=. 所以cos θ+icos 2θ的共軛復數(shù)的實部小于0,虛部小于0,在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限. 此題復數(shù)中含有三角函數(shù)問題求解時用到了哪些三角函數(shù)知識? 提示:用到同角三角函數(shù)的根本關系,二倍角公式. 1.(2021·宜春模擬)復數(shù)z=+i,那么+|z|=(　　) A.-i B.--i C.-i D.+i 【解析】選C.因為復數(shù)z=+i,所以復數(shù)z的共軛復數(shù)=-i,|z|==1,所以+|z|=-i+1=-i. 2.(2021·閔行模擬)如下列圖,在復平面內(nèi),網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數(shù)分別是z1,z2,那么=　　　　.  【解析】由題意,z1=i,z2=2-i, 所以====5. 答案:5 3.(2021·人大附中模擬)復數(shù)z滿足=2-i(i為虛數(shù)單位),那么z的模是　　　　.  【解析】因為=2-i, 所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i, 所以|z|==5. 答案:5 1.(2021·商丘模擬)假設=ad-bc,那么滿足等式=0的復數(shù)z=　　　　.  【解析】由可得=z(1+i)+i(1-i)=0, 所以z==-1. 答案:-1 2.(2021·杭州模擬)歐拉公式eix=cos x+isin x(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系,它在復變函數(shù)論里非常重要,被譽為“數(shù)學中的天橋〞,根據(jù)歐拉公式可知,假設表示復數(shù)z,那么|z|=　　　　　.  【解析】由題意=cos π+isin π =cos +isin =-+i, 所以|z|==1. 答案:1 可修改 歡迎下載 精品 Word