2015-2016學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)實驗學(xué)校高三（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（補習(xí)班） 　 一．選擇題：每小題5分，共50分． 1．（5分）（2016春?綿陽校級月考）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，N={x|log2x＜1}，則M∩N=（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（1，2） 2．（5分）（2016?商丘三模）若復(fù)數(shù)z=（其中a∈R，i是虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則a=（　?。? A．3 B．6 C．9 D．12 3．（5分）（2016?綿陽校級模擬）下列說法中正確的是（　　） A．“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件 B．“若，則”的否命題是“若，則 C．若，則￢p：?x∈R，x2﹣x﹣1＜0 D．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題 4．（5分）（2015?資陽三模）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（　　） A．f（x）的圖象關(guān)于直線對稱 B．f（x）的圖象關(guān)于點對稱 C．若方程f（x）=m在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)f（x）的圖象 5．（5分）（2016?冀州市校級模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的更相減損法的思路與圖相似．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 6．（5分）（2016?漳平市校級模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? A．+ B．1+ C． D．1 7．（5分）（2014秋?湖北期中）已知二次函數(shù)f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的兩個零點分別在（0，1）與（1，2）內(nèi)，則（m+1）2+（n﹣2）2的取值范圍是（　?。? A． B． C．[2，5] D．（2，5） 8．（5分）（2011?天心區(qū)校級模擬）過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，F(xiàn)1是另一焦點，若∠，則雙曲線的離心率e等于（　　） A． B． C． D． 9．（5分）（2016?晉中模擬）一袋中有紅、黃、藍三種顏色的小球各一個，每次從中取出一個，記下顏色后放回，當(dāng)三種顏色的球全部取出時停止取球，則恰好取5次球時停止取球的概率為（　?。? A． B． C． D． 10．（5分）（2016?河南二模）已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+bx存在極小值，且對于b的所有可能取值f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為（　　） A．﹣e3 B．﹣e2 C．﹣e D．﹣ 　 二.填空題：每小題5分，共25分． 11．（5分）（2015?安慶校級模擬）二項式的展開式中常數(shù)項為　　． 12．（5分）（2016春?湛江校級月考）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為f′（x），則f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）的值為　?。? 13．（5分）（2016春?綿陽校級月考）若直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，則直線l的方程是　?。? 14．（5分）（2015春?湖北校級期末）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣xy+4y2﹣z=0．則當(dāng)取得最小值時，x+4y﹣z的最大值為　?。? 15．（5分）（2015秋?梅州校級期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點．點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是　?。? 　 三．解答題：16，17，18，19每小題12分，20題13分，21題14分，共75分． 16．（12分）（2016?張掖模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2（x+）． （1）若x∈（0，π），求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC面積的最大值． 17．（12分）（2014?正定縣校級三模）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2=6，a5=12；數(shù)列{bn}的前n項和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求數(shù)列{an}和{bn}通項公式； （2）記cn=，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若Tn＜對一切n∈N*都成立，求最小正整數(shù)m． 18．（12分）（2016?銀川校級一模）自2016年1月1日起，我國全面二孩政策正式實施，這次人口與生育政策的歷史性調(diào)整，使得“要不要再生一個”“生二孩能休多久產(chǎn)假”等成為千千萬萬個家庭在生育決策上避不開的話題．為了解針對產(chǎn)假的不同安排方案形成的生育意愿，某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取了200戶有生育二胎能力的適齡家庭進行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 產(chǎn)假安排（單位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭數(shù) 4 8 16 20 26 （1）若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率，面對產(chǎn)假為14周與16周，估計某家庭有生育意愿的概率分別為多少？ （2）假設(shè)從5種不同安排方案中，隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案，然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇． ①求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率； ②如果用ξ表示兩種方案休假周數(shù)和．求隨機變量ξ的分布及期望． 19．（12分）（2016?安徽一模）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形EFBD為等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD． （Ⅰ）證明：DE∥平面ACF； （Ⅱ）若梯形EFBD的面積為3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值． 20．（13分）（2014?濰坊模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦點，F(xiàn)1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|= （1）求橢圓C1的方程； （2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t），kt≠0交橢圓C于A，B兩點，若橢圓C上一點P滿足+=λ，求實數(shù)λ的取值范圍． 21．（14分）（2015?河北區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx． （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值； （3）若方程f（x）=c有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，求證：． 　 2015-2016學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)實驗學(xué)校高三（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（補習(xí)班） 參考答案與試題解析 　 一．選擇題：每小題5分，共50分． 1．（5分）（2016春?綿陽校級月考）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，N={x|log2x＜1}，則M∩N=（　?。? A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（1，2） 【分析】利用交集的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)求解． 【解答】解：集合M={x|x2+x﹣2＜0}=（﹣2，1），N={x|log2x＜1}=（0，2）， 則M∩N=（0，1）， 故選：C． 【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意不等式性質(zhì)的合理運用． 　 2．（5分）（2016?商丘三模）若復(fù)數(shù)z=（其中a∈R，i是虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則a=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，利用復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，求解a即可． 【解答】解：復(fù)數(shù)z===． 由條件復(fù)數(shù)z=（其中a∈R，i是虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，得，18﹣a=3a+6， 解得a=3． 故選：A． 【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力． 　 3．（5分）（2016?綿陽校級模擬）下列說法中正確的是（　　） A．“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件 B．“若，則”的否命題是“若，則 C．若，則￢p：?x∈R，x2﹣x﹣1＜0 D．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題 【分析】A．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷 B．根據(jù)否命題的定義進行判斷 C．根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷 D．根據(jù)復(fù)合命題之間的關(guān)系進行判斷 【解答】解：A．若f（x）=x2，滿足f（0）=0，但函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，若f（x）=，滿足函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，但f（0）不存在，即“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件，故A錯誤， B．“若，則”的否命題是“若，則，正確，故B正確， C．命題的否定￢p：?x∈R，x2﹣x﹣1≤0，故C錯誤， D．若p∧q為假命題，則p，q至少有一個為假命題，故D錯誤， 故選：B 【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，四種命題的關(guān)系，含有量詞的命題的否定以及復(fù)合命題真假關(guān)系，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大． 　 4．（5分）（2015?資陽三模）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（　?。? A．f（x）的圖象關(guān)于直線對稱 B．f（x）的圖象關(guān)于點對稱 C．若方程f（x）=m在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)f（x）的圖象 【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，結(jié)合圖象，可得結(jié)論． 【解答】解：由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分圖象可得A=2， ==﹣，求得ω=2， 再根據(jù)五點法作圖可得2×+φ=π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）， 在上，2x+∈[﹣，]， 當(dāng)實數(shù)m的取值范圍是時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有2個交點， 故選：C． 【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題． 　 5．（5分）（2016?冀州市校級模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的更相減損法的思路與圖相似．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點，先判斷，再執(zhí)行，分別計算出當(dāng)前的a，b的值，即可得到結(jié)論． 【解答】解：由a=14，b=18，a＜b， 則b變?yōu)?8﹣14=4， 由a＞b，則a變?yōu)?4﹣4=10， 由a＞b，則a變?yōu)?0﹣4=6， 由a＞b，則a變?yōu)?﹣4=2， 由a＜b，則b變?yōu)?﹣2=2， 由a=b=2， 則輸出的a=2． 故選：A． 【點評】本題考查算法和程序框圖，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運用，以及賦值語句的運用，屬于基礎(chǔ)題． 　 6．（5分）（2016?漳平市校級模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? A．+ B．1+ C． D．1 【分析】根據(jù)已知可得該幾何體是一個四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，分別求出它們的體積，相加可得答案． 【解答】解：根據(jù)已知可得該幾何體是一個四分之一圓錐，與三棱柱的組合體， 四分之一圓錐的底面半徑為1，高為1，故體積為：=， 三棱柱的底面是兩直角邊分別為1和2的直角三角形，高為1，故體積為：×1×2×1=1， 故組合體的體積V=1+， 故選：B 【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，根據(jù)三視圖判斷出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵． 　 7．（5分）（2014秋?湖北期中）已知二次函數(shù)f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的兩個零點分別在（0，1）與（1，2）內(nèi)，則（m+1）2+（n﹣2）2的取值范圍是（　　） A． B． C．[2，5] D．（2，5） 【分析】由條件可得，，化簡得到關(guān)于m，n的不等式組，在平面直角坐標(biāo)系中，作出不等式組表示的區(qū)域， 再由（m+1）2+（n﹣2）2表示的幾何意義是點（﹣1，2）到區(qū)域內(nèi)的點的距離的平方，由圖象觀察，即可得到取值范圍． 【解答】解：由于二次函數(shù)f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的兩個零點 分別在（0，1）與（1，2）內(nèi)， 則即有， 在平面直角坐標(biāo)系中，作出不等式組表示的區(qū)域， 而（m+1）2+（n﹣2）2表示的幾何意義是點（﹣1，2） 到區(qū)域內(nèi)的點的距離的平方， 求得點（﹣1，2）到直線m+n+1=0的距離為 =， 點（﹣1，2）到點（﹣2，0）的距離為， 故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范圍是（2，5）． 故選D． 【點評】本題考查二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系，考查二元不等式表示的平面區(qū)域，考查兩點的距離和點到直線的距離公式的運用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題． 　 8．（5分）（2011?天心區(qū)校級模擬）過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，F(xiàn)1是另一焦點，若∠，則雙曲線的離心率e等于（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)由題設(shè)條件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出雙曲線的離心率e． 【解答】解：由題意可知，|F1F2|=2c， ∵∠， ∴， ∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4， 整理得e4﹣6e2+1=0， 解得或（舍去） 故選C． 【點評】本題考查雙曲線的離心率，解題要注意時雙曲線的離心率大于1． 　 9．（5分）（2016?晉中模擬）一袋中有紅、黃、藍三種顏色的小球各一個，每次從中取出一個，記下顏色后放回，當(dāng)三種顏色的球全部取出時停止取球，則恰好取5次球時停止取球的概率為（　?。? A． B． C． D． 【分析】恰好取5次球時停止取球，分兩種情況3，1，1及2，2，1，這兩種情況是互斥的，利用等可能事件的概率計算每一種情況的概率，再根據(jù)互斥事件的概率得到結(jié)果． 【解答】解：分兩種情況3，1，1及2，2，1 這兩種情況是互斥的，下面計算每一種情況的概率， 當(dāng)取球的個數(shù)是3，1，1時， 試驗發(fā)生包含的事件是35， 滿足條件的事件數(shù)是C31C43C21 ∴這種結(jié)果發(fā)生的概率是= 同理求得第二種結(jié)果的概率是 根據(jù)互斥事件的概率公式得到P= 故選B 【點評】本題是一個等可能事件的概率問題，考查互斥事件的概率，這種問題在高考時可以作為文科的一道解答題，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件． 　 10．（5分）（2016?河南二模）已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+bx存在極小值，且對于b的所有可能取值f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為（　?。? A．﹣e3 B．﹣e2 C．﹣e D．﹣ 【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在極小值等價為f′（x）=﹣x+b=0有解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與判別式△之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可． 【解答】解：函數(shù)的定義域為（0，+∞）， 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣x+b， 若函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+bx存在極小值， 則f′（x）=﹣x+b=0有解， 即﹣x2+bx+a=0有兩個不等的正根， 則，得b＞2，（a＜0）， 由f′（x）=0得x1=，x2=， 分析易得f（x）的極小值點為x1， ∵b＞2，（a＜0）， ∴x1==∈（0，）， 則f（x）極小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a， 設(shè)g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，）， f（x）的極小值恒大于0等價為g（x）恒大于0， ∵g′（x）=+x=＜0， ∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減， 故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0， 得ln≤，即﹣a≤e3，則a≥﹣e3， 故a的最小值為是﹣e3， 故選：A 【點評】本題主要考查函數(shù)極值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度極大． 　 二.填空題：每小題5分，共25分． 11．（5分）（2015?安慶校級模擬）二項式的展開式中常數(shù)項為　　． 【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項． 【解答】解：展開式的通項是= 令解得r=6 故展開式的常數(shù)項為=7 故答案為7 【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具． 　 12．（5分）（2016春?湛江校級月考）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為f′（x），則f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）的值為　　． 【分析】利用導(dǎo)數(shù)的公式和導(dǎo)數(shù)的運算法，探究一下之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論． 【解答】解：函數(shù)，則f（﹣x）=﹣sinx； f′（x）=+cosx， cosx， ∵f′（x）﹣f′（﹣x）=0，f（x）+f（﹣x）=2． ∴f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）=2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的公式的運用，簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的能力，同時要求有一定的化簡能力和計算能力．探究其之間的關(guān)系．屬于中檔題． 　 13．（5分）（2016春?綿陽校級月考）若直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，則直線l的方程是　?。? 【分析】直線過定點（0，1），截得的弦最短，圓心和弦垂直，求得斜率可解得直線方程． 【解答】解：直線l是直線系，它過定點（0，1），要使直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短， 必須圓心（1，0）和定點（0，1）的連線與弦所在直線垂直； 連線的斜率﹣1，弦所在直線斜率是1． 則直線l的方程是：y﹣1=x， 故答案為：x﹣y+1=0． 【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的一般方程求圓心，是基礎(chǔ)題． 　 14．（5分）（2015春?湖北校級期末）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣xy+4y2﹣z=0．則當(dāng)取得最小值時，x+4y﹣z的最大值為　?。? 【分析】將z=x2﹣xy+4y2代入，利用基本不等式化簡即可得到當(dāng)取得最小值時的條件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值． 【解答】解：∵x2﹣xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣xy+4y2，又x，y，z為正實數(shù)， ∴=+﹣1≥2﹣1=3（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取“=”）， 當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=2y（y＞0）時取等號， 此時x+4y﹣z=2y+4y﹣（x2﹣xy+4y2）=6y﹣6y2 =﹣6（y﹣）2+≤． ∴x+4y﹣z的最大值為． 故答案為： 【點評】本題考查基本不等式，根據(jù)條件求得取得最小值時x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題． 　 15．（5分）（2015秋?梅州校級期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點．點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是　?。? 【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數(shù)進行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論． 【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°）， ∵=λ+μ， ∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5）， ∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ， ∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα）， ∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°） ∵0°≤α≤90°， ∴﹣45°≤α﹣45°≤45°， ∴﹣≤sin（α﹣45°）≤， ∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1 ∴2λ﹣μ的取值范圍是[﹣1，1]． 故答案為：[﹣1，1]． 【點評】本題考查平面向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵． 　 三．解答題：16，17，18，19每小題12分，20題13分，21題14分，共75分． 16．（12分）（2016?張掖模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2（x+）． （1）若x∈（0，π），求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC面積的最大值． 【分析】（1）由三角恒等變換化簡f（x），由此得到遞增區(qū)間． （2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面積公式即可． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，==， 由， 可解得：． 又因為x∈（0，π）， 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和． （Ⅱ）由，可得， 由題意知B為銳角，所以， 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB， 可得：，即，且當(dāng)a=c時等號成立， 因此， 所以△ABC面積的最大值為． 【點評】本題考查三角恒等變換，余弦定理及三角形面積公式． 　 17．（12分）（2014?正定縣校級三模）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2=6，a5=12；數(shù)列{bn}的前n項和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求數(shù)列{an}和{bn}通項公式； （2）記cn=，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若Tn＜對一切n∈N*都成立，求最小正整數(shù)m． 【分析】（1）設(shè){}的公差為d，由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式；由已知條件推導(dǎo)出{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{bn}的通項公式． （2）由cn==，利用裂項求和法能求出最小正整數(shù)m． 【解答】解：（1）設(shè){}的公差為d， 則，， ∵a2=6，a5=12， ∴，解得a1=4，d=2， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2． ∵數(shù)列{bn}的前n項和是Sn，且Sn+bn=1， ∴當(dāng)n=1時，b1=S1， 由，得， 當(dāng)n≥2時，∵，， ∴Sn﹣Sn﹣1=（bn﹣1﹣bn），即， ∴， ∴{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列， ∴=． （2）∵=2?（）n， ∴cn=cn====， ∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（） =1﹣＜1， 由已知得， ∴m≥2014， ∴最小正整數(shù)m=2014．…（12分）． 【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查最小正整數(shù)的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用． 　 18．（12分）（2016?銀川校級一模）自2016年1月1日起，我國全面二孩政策正式實施，這次人口與生育政策的歷史性調(diào)整，使得“要不要再生一個”“生二孩能休多久產(chǎn)假”等成為千千萬萬個家庭在生育決策上避不開的話題．為了解針對產(chǎn)假的不同安排方案形成的生育意愿，某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取了200戶有生育二胎能力的適齡家庭進行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 產(chǎn)假安排（單位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭數(shù) 4 8 16 20 26 （1）若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率，面對產(chǎn)假為14周與16周，估計某家庭有生育意愿的概率分別為多少？ （2）假設(shè)從5種不同安排方案中，隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案，然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇． ①求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率； ②如果用ξ表示兩種方案休假周數(shù)和．求隨機變量ξ的分布及期望． 【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率計算公式能求出當(dāng)產(chǎn)假為14周時某家庭有生育意愿的概率和當(dāng)產(chǎn)假為16周時某家庭有生育意愿的概率． （2）①設(shè)“兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周”為事件A，由已知從5種不同安排方案中，隨機地抽取2種方案選法共有10種，由此利用列舉法能求出其和不低于32周的概率． ②由題知隨機變量ξ的可能取值為29，30，31，32，33，34，35．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）． 【解答】解：（1）由表中信息可知，當(dāng)產(chǎn)假為14周時某家庭有生育意愿的概率為； 當(dāng)產(chǎn)假為16周時某家庭有生育意愿的概率為…（2分） （2）①設(shè)“兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周”為事件A， 由已知從5種不同安排方案中，隨機地抽取2種方案選 法共有（種）， 其和不低于32周的選法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6種， 由古典概型概率計算公式得…（6分） ②由題知隨機變量ξ的可能取值為29，30，31，32，33，34，35． ，， ， 因而ξ的分布列為 ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…（12分） 【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用． 　 19．（12分）（2016?安徽一模）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形EFBD為等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD． （Ⅰ）證明：DE∥平面ACF； （Ⅱ）若梯形EFBD的面積為3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DE∥平面ACF； （Ⅱ）若梯形EFBD的面積為3，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角A﹣BF﹣D的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）設(shè)AC，BD的交點為O，則O為BD的中點，連接OF， 由EF∥BD，EF=BD，得EF∥OD．EF=OD， 所以四邊形EFOD為平行四邊形，故ED∥OF，…（3分） 又EF?平面ACF，OF?平面ACF， 所以DE∥平面ACF． …（6分） （Ⅱ）方法一：因為平面EFBD⊥平面ABCD，交線為BD，AO⊥BD， 所以AO⊥平面EFBD，作OM⊥BF于M，連AM， ∵AO⊥平面BDEF，∴AO⊥BF，又OM∩AO=O， ∴BF⊥平面AOM，∴BF⊥AM， 故∠AMO為二面角A﹣BF﹣D的平面角．…（8分） 取EF中點P，連接OP，因為四邊形EFBD為等腰梯形，故OP⊥BD， 因為=?OP=3， 所以O(shè)P=．由PF=，得BF=OF==， 因為， 所以O(shè)M==，故AM==，…（10分） 所以cos=， 故二面角A﹣BF﹣D的余弦值為． …（12分） 【點評】本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，利用二面角平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大． 　 20．（13分）（2014?濰坊模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦點，F(xiàn)1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|= （1）求橢圓C1的方程； （2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t），kt≠0交橢圓C于A，B兩點，若橢圓C上一點P滿足+=λ，求實數(shù)λ的取值范圍． 【分析】（1）由C2：x2=4y，知F1（0，1），c=1，設(shè)M（x0，y0），x0＜0，由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓C1的方程． （2）由直線l：y=k（x+t），t≠0與圓x2+（y+1）2=1相切，求出k=，且t2≠1，聯(lián)立y=k（x+t）與，得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍． 【解答】解：（1）由C2：x2=4y，知F1（0，1），c=1，設(shè)M（x0，y0），x0＜0， ∵M在拋物線C2上，∴=4y0，① 又|MF1|=，∴，② 由①②得，， ∵點M在橢圓上， ∴2a=|MF1|+|MF2|==4， ∴a=2，b2=4﹣1=3， ∴橢圓C1的方程為． （2）由直線l：y=k（x+t），t≠0與圓x2+（y+1）2=1相切， ∴，∵k≠0，∴k=，且t2≠1，③ 聯(lián)立y=k（x+t）與， 消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則， ， ∵， ∴P（，）， 又點P在橢圓C1上，∴， ∴，④ 由kt≠0， 把③代入④，得，又t≠0，t2≠1， ∴，且， ∴0＜λ2＜4，且， ∴λ的取值范圍是（﹣2，﹣）∪（，0）∪（0，）∪（）． 【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用． 　 21．（14分）（2015?河北區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx． （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值； （3）若方程f（x）=c有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，求證：． 【分析】（1）對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出； （2）由（1）可得，若函數(shù)f（x）有兩個零點，則a＞0，且f（x）的最小值，即．可化為h（a）=．利用單調(diào)性判斷其零點所處的最小區(qū)間即可得出； （3））由x1，x2是方程f（x）=c得兩個不等實數(shù)根，由（1）可知：a＞0．不妨設(shè)0＜x1＜x2．則，． 兩式相減得+alnx2=0，化為a=．由，當(dāng)時，f′（x）＜0，當(dāng)時，f′（x）＞0．故只要證明即可，即證明，令換元，再利用導(dǎo)數(shù)即可證明． 【解答】解：（1）x∈（0，+∞）． ==． 當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞0上單調(diào)遞增，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）． 當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得． 所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． （2）由（1）可得，若函數(shù)f（x）有兩個零點，則a＞0，且f（x）的最小值，即． ∵a＞0，∴． 令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且h（2）=﹣2，h（3）==， 所以存在零點h（a0）=0，a0∈（2，3）， 當(dāng)a＞a0時，h（a）＞0；當(dāng)0＜a＜a0時，h（a）＜0． 所以滿足條件的最小正整數(shù)a=3． 又當(dāng)a=3時，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3時，f（x）由兩個零點． 綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3． （3）∵x1，x2是方程f（x）=c得兩個不等實數(shù)根，由（1）可知：a＞0． 不妨設(shè)0＜x1＜x2．則，． 兩式相減得+alnx2=0， 化為a=． ∵，當(dāng)時，f′（x）＜0，當(dāng)時，f′（x）＞0． 故只要證明即可， 即證明x1+x2＞，即證明， 設(shè)，令g（t）=lnt﹣，則=． ∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0 ．∴g（t）在（0，1）上是增函數(shù)，又在t=1處連續(xù)且g（1）=0， ∴當(dāng)t∈（0，1）時，g（t）＜0總成立．故命題得證． 【點評】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等基礎(chǔ)知識，及其分類討論思想方法、等價轉(zhuǎn)化方法、換元法等基本技能與方法．