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第二章 預備知識 本章給出本書所必需的預備知識。第一節(jié)介紹矩陣論的基本概念和基本知識；第二節(jié)討論廣義逆矩陣；第三節(jié)給出奇異矩陣束的概念；第四節(jié)討論正則矩陣的基本結(jié)果。 2.1矩陣論基本概念和知識 用表示復數(shù)集合，用表示實數(shù)集合。上的矩陣由表示，上的矩陣由表示。除非特別說明，所有矩陣都屬于。 如果，我們用表示的共軛轉(zhuǎn)置；對向量，通常的內(nèi)積。對向量，定義它的Euclid范數(shù)，。對矩陣，我們使用算子范數(shù)， 如果是的一個子空間，表示的維數(shù)。如果，的值域（列空間）用表示，而的零空間由表示。我們知道， 設(shè)都是的子空間，這些空間的和是子空間 。 如果（），即子空間是無關(guān)的，則它們的和稱為直和，記作。我們知道， 而且，如果，則存在唯一的使得 一個投影是一個矩陣使得。易證，。反之，如果，存在唯一的投影使得和；我們把這個投影稱為沿著到上的投影，并記作。如果是的一個子空間，的一個正交補是 。 是一個子空間，并且。簡記為。 我們經(jīng)常要用到塊矩陣的概念。特別地，若矩陣是塊對角的，即沿的主對角線有矩陣塊，其余元素均為零，記。 矩陣的特征值是多項式的根。的譜是的所有特征值的集合，記作；的譜半徑為。 設(shè)，我們說相似于，如果存在一個非奇異矩陣使得。每一個矩陣都相似于一個Jordon標準型，即 其中 稱為Jordon塊。 一個矩陣是半正定的，如果對所有都成立，其中表示向量的內(nèi)積。如果矩陣是半正定的，則它有唯一的半正定方根，記為，即。 一個矩陣，的指數(shù)，記作，是使得（為了方便起見設(shè)）的最小非負整數(shù)。由于 顯然，存在，且。若是非奇異矩陣，則。若是次數(shù)為的冪零矩陣（），則。指數(shù)也可以定義為使得成立的最小非負整數(shù)。 如下定理我們在下節(jié)中要用到。 定理1.1 如果，且，則和都是的不變子空間，且。 定理1.1的證明留給讀者。 定理1.2 如果， ， 和則存在一個非奇異矩陣使得 其中是一個非奇異矩陣，是一個次數(shù)為的冪零矩陣。 證明：設(shè)是的一組基，是的一組基，則為的一組基。如果，則存在坐標使得。設(shè) 則 ，其中，。 注意到，當且僅當，而當且僅當。如果，我們有 ， 其中是一個矩陣，是一個矩陣。這樣，。若，則。由于，故。由于對所有都有，因此。類似可證，從而得到，。 若，。這意味著對任意成立，從而。另一方面，由于和是一個矩陣可得，是非奇異矩陣?，F(xiàn)在，由得，。 2.2 廣義逆矩陣 本節(jié)介紹廣義逆陣，即半逆陣、反形半逆陣、Moore-Penrose逆陣和Drazin逆陣。 首先，我們來討論半逆矩陣。 定義2.1 對于矩陣，若存在矩陣使得 則稱矩陣為矩陣的半逆矩陣。一般地，用表示的一個半逆矩陣。 一般說來，一個矩陣的不一定是唯一的，但如下結(jié)果成立。 定理2.1 若為矩陣的一個半逆矩陣，則 均為矩陣的一個半逆矩陣，其中，為適當階數(shù)的任意矩陣，且矩陣的任何一個半逆矩陣都可表示成(2.2)的形式。 證明：我們先證明(2.2)滿足(2.1)，即 反過來，我們證明，如果矩陣滿足(2.1)，則其可以表示成(2.2)的形式。事實上，只要取即可。這時 定理2.1證畢。 定理2.2 如果，其中，為非奇異矩陣，而取遍矩陣的所有半逆陣，則取遍矩陣的所有半逆陣。 證明：如果為矩陣的半逆陣，設(shè)，則 因而為的半逆陣。 反之，如果為的半逆陣，則它有形式，，其中是的半逆陣。事實上， 定理2.2證畢。 定理2.3 分塊矩陣的半逆陣為，其中 證明：直接驗證得 定理2.3證畢。 同理可證如下定理。 定理2.4 分塊矩陣的半逆陣為，其中 定理2.3和定理2.4分別給出求半逆陣的方法。例如，設(shè)，是由的前行構(gòu)成的矩陣，是的第行。由定理2.3，我們可以得到求矩陣的半逆陣的遞推公式： 其中 下面討論反形半逆陣。 定義2.2 設(shè)，若存在階矩陣使得 則稱為矩陣的反形半矩陣。一般地，用表示矩陣的一個反形逆。反形半逆陣是特殊的半逆陣。 定理2.5 如下關(guān)系式成立， 其中為適當階數(shù)的單位矩陣，為適當階數(shù)的任意矩陣。 定理2.6 當取遍的所有半逆陣時，矩陣取遍矩陣的所有反形逆陣。 定理2.5和定理2.6的證明由定義直接驗證即得。 定義2.3 設(shè)，若存在階矩陣使得 則稱為矩陣的準逆陣（Moore-Penrose逆陣，簡稱逆陣）。 顯然，逆矩陣是一種特殊的反形半逆陣。特別地，當時， 這表明的逆陣確是逆陣的一種推廣。 下面證明定義2.3的矩陣存在而且唯一。 定理2.7 設(shè)，存在唯一滿足定義2.3的（Moore-Penrose）條件10-40的階矩陣。 證明：設(shè)，則由矩陣分解理論知道，可以分解為，其中和分別為和階酉矩陣 ， 這里為階非奇異上三角陣。記 則滿足Moore-Penrose條件10-40。 下面證明唯一性。設(shè)和是矩陣的任意兩個Moore-Penrose逆，都滿足Moore-Penrose條件10-40，則 Moore-Penrose逆有許多與通常逆（正則逆）相仿的性質(zhì)。 定理2.8 設(shè)，則 (1) ； (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ，這里和為酉矩陣。 利用的定義可以方便地驗證上述性質(zhì)，留給讀者作為習題。 現(xiàn)在，我們討論Drazin逆陣。 定義2.4 設(shè)，若矩陣使得 則稱為矩陣的Drazin逆陣（簡稱逆陣）。 定理2.9 設(shè)，Drazin逆陣存在，且唯一。進一步， 若 其中是一個非奇異矩陣，是一個次數(shù)為的冪零矩陣，則 。 證明：設(shè)，由定理1.2，存在一個非奇異矩陣使得(2.4)成立。定義如(2.5)， 則滿足定義2.4中的條件10-30，故為矩陣的Drazin逆陣。這就是說，任意矩陣都存在Drazin逆陣。 現(xiàn)在，我們證明Drazin逆陣的唯一性。設(shè)和是矩陣的任意兩個Drazin逆陣，并設(shè)，則由定義2.4中的條件10和30得，，且 由定義2.4中的條件20有 類似可證 這樣，我們有 定理2.9證畢。 注2.1 和，其中。另外 由定理2.9，可得下面結(jié)論。 定理2.10 如果，且是的一個重特征值，則是的一個重特征值。若是的一個重特征值，則是的一個重特征值。 定理2.11 設(shè)，則是的次數(shù)小于或等于多項式。 證明：在(2.4)中，是一個非奇異矩陣，是一個次數(shù)為的冪零矩陣，且。由Cayley-Hamilton定理，其中是次數(shù)小于或等于的多項式。直接計算得，，由于。定理2.11證畢。 2.3矩陣束 本節(jié)給出矩陣束的基本概念和相應(yīng)的基本知識。 定義3.1 對階數(shù)同為的兩個矩陣和純量，稱為以為參數(shù)的矩陣束，簡稱矩陣束。 一般地，我們將矩陣分為正則矩陣束和奇異矩陣束兩類。 定義3.2 如果矩陣同為兩個階方陣，且行列式不恒為零，則稱矩陣束為正則矩陣束，稱矩陣對為正則矩陣對。 定義3.3 對階數(shù)同為的兩個矩陣如果，或者且行列式恒為零，則稱矩陣束為奇異矩陣束。 定義3.4 對階數(shù)同為的兩個矩陣束和，如果存在兩個階數(shù)分別為和的非奇異矩陣和，使得 則稱矩陣束與矩陣束嚴格相抵的。 對階數(shù)為的奇異矩陣束，設(shè)其秩為，則或者，或者。不妨設(shè)，則列線性相關(guān)，且線性方程組 有非零解。 由于(3.1)的系數(shù)是的一次式，其基本的線性無關(guān)解?？梢赃@樣選取，使得它的分量都是的多項式。我們只考慮這樣一些解，它是的多項式，且在這些解中，取最小次數(shù)的解 其中 。將其代入(3.1)，并比較的系數(shù)得 則(3.3)關(guān)于的系數(shù)矩陣 的秩。 由于是最小的，故矩陣 的秩。 這樣，是在式中使成立的最小指標。 定理3.1 如果(3.1)有最小次數(shù)的解，且有，則矩陣束與矩陣束 嚴格相抵，其中 而是這樣的矩陣束，類似(3.1)的方程對于它沒有次數(shù)小于的解。 該定理的證明可分三步進行： 第一步，證明矩陣束與 嚴格相抵，其中為適當階的矩陣。 第二步，證明方程 不能有次數(shù)小于的解。 第三步，上面的矩陣可以化為(3.4)。 詳細證明可參見[5]，從略。 下面討論奇異矩陣束的標準形式。 定理3.2 對于階數(shù)為的奇異矩陣束，若在其行之間和其列之間都沒有常系數(shù)的線性相關(guān)性，則矩陣束與矩陣束 嚴格相抵，其中 而矩陣束是正則的。 證明：如果奇異矩陣束列線性相關(guān)，且方程 有次數(shù)小于的非零解，由假定知，再由定理3.1可得，該矩陣束與矩陣束 嚴格相抵，其中方程 沒有次數(shù)小于的解。 如果方程有次數(shù)小于的非零解（必有），由定理3.1得，奇異矩陣束與矩陣束 嚴格相抵，其中方程 沒有次數(shù)小于的非零解。 如此繼續(xù)下去，我們可將奇異矩陣化為 其中，且方程 有次數(shù)非零的解，即矩陣束列線性無關(guān)。 如果矩陣束行線性相關(guān)，則矩陣束的轉(zhuǎn)置矩陣束列線性相關(guān)，由上可將其化為(1.6)的形式，即存在 將化為 其中矩陣束的行和列都是線性無關(guān)的，即矩陣束是正則的。 定理3.3 一般地，對于階數(shù)為的奇異矩陣束，存在非奇異矩陣和非奇異矩陣，使得 其中為零矩陣， 而 ，為一正則矩陣束，這里 證明：一般說來，矩陣束的行與列可能有常系數(shù)線性相關(guān)。設(shè)方程 與方程 的常系數(shù)無關(guān)解的最大個數(shù)分別為和。 對于方程(3.8)，以其線性無關(guān)常數(shù)解為中基的前個向量，則對應(yīng)的矩陣中前列都是零，即 對于，用完全類似的方法可使前行變?yōu)榱?。這樣，矩陣束可化為 其中的行與列沒有常系數(shù)線性相關(guān)性。由定理3.2可得定理3.3成立。 2.4 正則矩陣束 上一節(jié)中，我們給出了正則矩陣束的概念，本節(jié)將作進一步的討論。 定理4.1 矩陣對為正則的充要條件為，存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束 嚴格相抵。 證明：定理的充分性是顯然，我們只需證明其必要性。 如果矩陣束正則，則存在常數(shù)使得。設(shè)，則 從而 用相似變換，將其化為 其中為矩陣的準對角形范式。為冪零矩陣，而。 式(2.1)右端的對角線上第一子塊乘以，第二子塊乘以，并設(shè) ，， 可得矩陣束與矩陣束 嚴格相抵，而且，仍為冪零矩陣。定理2.1證畢。 由定理4.1不難證明如下定理。 定理4.2 矩陣對為正則的充要條件為，存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束 嚴格相抵。 定理4.3 設(shè)矩陣對正則，即存在某些純量使得存在，令 則有 證明：因為 我們有 因此，。用分別左乘和右乘該式，得 故。定理2.3證畢。 定理4.4 下列敘述是等價的， a) 矩陣對正則； b) 如果，而且 則對所有，都有； c) 如果，而且 則對所有，都有； d) 對所有的，矩陣 列滿秩。 e) 對所有的，矩陣 行滿秩。 證明：我們首先證明a)與b)的等價性。 如果a)不成立，則存在非零的使得對所有的數(shù)都有 我們可以將表示為關(guān)于的階數(shù)最小的多項式 其中。將式(2.2)代入方程組并比較 充要條件為，存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束關(guān)于的同次項系數(shù)得 我們注意到， 而且，故b)不成立，即由b)可以得到a)。 反之，如果b)不成立，設(shè)為第一個使得（）非零的集合，并設(shè)為集中的非零元素。由的定義，存在唯一確定的使得 類似地，存在唯一確定的使得(2.3)成立，故a)不成立。也就是說，由a)可推出b). 綜上所述，a)與b)等價。 由于等價于，因而可由a)與b)的等價性得到a)與c)的等價性。 a)與d)和a)與e)的等價性同理可證。