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第二章：實數(shù) 本章的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)： 知識梳理 一．數(shù)的開方主要知識點： 【1】平方根：如果一個數(shù)x的平方等于a，那么，這個數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此： 4. 當a=0時，它的平方根只有一個，也就是0本身； 5. 當a＞0時，也就是a為正數(shù)時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：。 6. 當a＜0時，也即a為負數(shù)時，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若的平方根是2，則x= 　 ；的平方根是 （4）當x 時，有意義。 （5）一個正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數(shù)是多少？ 【算術(shù)平方根】： （1）如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0的算術(shù)平方根仍然為0。 （2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負性，即：。 （3）算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個值，并且是非負數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數(shù)的值，表示為：。 例2.（1）下列說法正確的是 （ ） A．1的立方根是； B．；（C）、的平方根是； （ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 （3）的算術(shù)平方根是 。 （4）若有意義，則___________。 （5）已知△ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。 （6）已知：A=是的算術(shù)平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。 （7）（提高題）如果x、y分別是4－的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x － y的值. 【立方根】 （1）如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3次根號a。注意：這里的3表示的是開根的次數(shù)。一般的，平方根可以省寫根的次數(shù)，但是，當根的次數(shù)在兩次以上的時候，則不能省略。 （2）平方根與立方根：每個數(shù)都有立方根,并且一個數(shù)只有一個立方根；但是，并不是每個數(shù)都有平方根，只有非負數(shù)才能有平方根。 例3.（1）64的立方根是 （2）若，則b等于（ ） 　A. 1000000　 B. 1000　 C. 10 　D. 10000 （3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。 其中正確的有 （ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 【無理數(shù)】 （1）無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數(shù)，如:等；（3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。應(yīng)當要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：等；無理數(shù)也不一定帶根號，如： （2） 有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)），而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形式。 例4.（1）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有＿＿＿＿＿＿＿；是無理數(shù)的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序號） （2）有五個數(shù):0.125125…,0.1010010001…,-,,其中無理數(shù)有 ( )個 A 2 B 3 C 4 D 5 【實數(shù)】 （1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。在實數(shù)中，沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)；絕對值最小的實數(shù)是0，最大的負整數(shù)是-1。 （2）實數(shù)的性質(zhì)：實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)a的倒數(shù)是（a≠0）；實數(shù)a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點到原點的距離。 （3）實數(shù)的大小比較法則：實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負數(shù)；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的就大，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。 （4）實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方、開方六種運算。運算法則和運算順序與有理數(shù)的一致。 例5. （1）下列說法正確的是（ ）； A、任何有理數(shù)均可用分數(shù)形式表示 ； B、數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng) ； C、1和2之間的無理數(shù)只有 ； D、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。 （2）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( ) b 0 a A、 B、 C、 D、 （3）比較大小(填“>”或“<”). 3 ， ， ， ， （4）數(shù) 的大小關(guān)系是 ( ) A. B. C. D. （5）將下列各數(shù)：，用“＜”連接起來；______________________________________。 （6）若，且，則：= 。 （7）計算： （8）已知：，求代數(shù)式的值。 6.（提高題）觀察下列等式：回答問題： ① ② ③，…… （1）根據(jù)上面三個等式的信息，請猜想的結(jié)果； （2）請按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗證。 　 課后練習 重點考查題型： 一、考查題型： 1． －1的相反數(shù)的倒數(shù)是　　　　　 2． 已知｜a+3|+＝0，則實數(shù)（a+b）的相反數(shù)　　　　　 3． 數(shù)－3．14與－Л的大小關(guān)系是　　　　　 4． 和數(shù)軸上的點成一一對應(yīng)關(guān)系的是　　　　　　 5． 和數(shù)軸上表示數(shù)－3的點A距離等于2．5的B所表示的數(shù)是　　　　　　 6． 在實數(shù)中Л,－,0, ,－3．14, 無理數(shù)有（　?。? （A）1　個　　（B）2個　?。–）3個　?。―）4個 7．一個數(shù)的絕對值等于這個數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（　?。? （A）非負數(shù)　　（B）非正數(shù)　?。–）負數(shù)　　（D）正數(shù) 8．若x＜－3，則｜x＋3｜等于（　　　） （A）x＋3　?。˙）－x－3　　（C）－x＋3　?。―）x－3 9．下列說法正確是（　?。? a) 有理數(shù)都是實數(shù) （B）實數(shù)都是有理數(shù) b) 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)?。―）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù) 10．實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大?。? （1） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考點訓練： *1．判斷題： （1）如果a為實數(shù)，那么－a一定是負數(shù)；（?。? （2）對于任何實數(shù)a與b,|a－b|=|b－a|恒成立；（?。? （3）兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；（?。? （4）兩個無理數(shù)之積不一定是無理數(shù)；（?。? （5）任何有理數(shù)都有倒數(shù)；（?。　。?）最小的負數(shù)是－1；（　） （7）a的相反數(shù)的絕對值是它本身；（?。? （8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則a－b=－1；（?。? 2．把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里 －|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －,, (－)0，3－2，ctg45,1.2121121112．．．．．．中 無理數(shù)集合｛　　　　　 　　 ?。　∝摲謹?shù)集合｛　　　　 　　　　｝ 整數(shù)集合｛　　　 　　　 　?。》秦摂?shù)集合｛ 　　　　　　　　 ｝ *3．已知10，且y<|x|，用"<"連結(jié)x，－x，－|y|，y。 10．最大負整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對值最小的實數(shù)各是什么？ 11．絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術(shù)平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？ 12．把下列語句譯成式子： （1）a是負數(shù)　 ??；（2）a、b兩數(shù)異號 　　；（3）a、b互為相反數(shù)　　　??； （4）a、b互為倒數(shù)　　　　；(5)x與y的平方和是非負數(shù)　　　　?。? （6）c、d兩數(shù)中至少有一個為零　　　 ；（7）a、b兩數(shù)均不為0　　　　　。 *13.數(shù)軸上作出表示，，－的點。 四．獨立訓練： 1．0的相反數(shù)是　　，3－л的相反數(shù)是　　， 的相反數(shù)是　　　；－л的絕對值是　　　，0　的絕對值是　　，－的倒數(shù)是　　　　　　 2．數(shù)軸上表示－3．2的點它離開原點的距離是　　　。 A表示的數(shù)是－，且AB＝，則點B表示的數(shù)是　　　　。 3　－,л,(1－),－,0．1313…,2cos60, －3－1 ,1．101001000… (兩1之間依次多一個0),中無理數(shù)有　　 　，整數(shù)有　 　　，負數(shù)有　 　　。 4. 若a的相反數(shù)是27，則｜a|＝ ；5．若|a|＝，則a= 5．若實數(shù)x，y滿足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，則x＋y的值是 6．實數(shù)可分為（　　?。? （A）正數(shù)和零（B）有理數(shù)和無理數(shù)（C）負數(shù)和零 （D）正數(shù)和負數(shù) *7．若2a與1－a互為相反數(shù)，則a等于（　　?。? 　?。ˋ）1　　 （B）－1　　 （C） （D） 8．當a為實數(shù)時，=－a在數(shù)軸上對應(yīng)的點在（　　?。? (A)原點右側(cè)（B）原點左側(cè)（C）原點或原點的右側(cè)（D）原點或原點左側(cè) *9．代數(shù)式＋＋的所有可能的值有（　　?。? （A）2個　　　（B）3個　　?。–）4個　　（D）無數(shù)個 10．已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖 （1）比較a－b與a+b的大小　　　　　　　 （2）化簡|b－a|+|a+b| 11．實數(shù)ａ、ｂ、ｃ在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 試化簡：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜ *12．已知等腰三角形一邊長為ａ，一邊長ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周長。 ＊13．若3，ｍ，5為三角形三邊，化簡：－