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專題4 幾何證明 【知識要點】 1.進一步掌握直角三角形的性質，并能夠熟練應用； 2.通過本節(jié)課的學習能夠熟練地寫出較難證明的求證； 3.證明要合乎邏輯，能夠應用綜合法熟練地證明幾何命題。 【概念回顧】 1.全等三角形的性質：對應邊（ ），對應角（ ）對應高線（ ），對應中線（ ），對應角的角平分線（ ）。 2.在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，則BC：AC：AB=（ ）。 【例題解析】 【題1】已知在ΔABC中，，AB＝AC，BD平分．求證：BC＝AB＋CD． 【題2】如圖，點Ｅ為正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上一點，點Ｆ為ＣＢ的延長線上的一點，且ＥＡ⊥ＡＦ．求證：ＤＥ＝ＢＦ. 【題3】如圖，AD為ΔABC的角平分線且BD＝CD．求證：AB＝AC. 【題4】已知：如圖，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD，證明AB=DE，AC=DF. 【題5】已知：如圖，△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5． A P C B 求：∠APB的度數． 【題6】如圖：△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足是F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D。 （1） 求證：AE=CD; （2） 若AC=12㎝，求BD的長. 【題7】等邊三角形CEF于菱形ABCD邊長相等. 求證：（1）∠AEF=∠AFE (2)角B的度數 【題8】如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分線，∠1=∠B，求證：AB=AC+CD. 【題9】如圖，在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，BE的延長線交AC于點F. 求證：AF=FC 【題10】如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點C旋轉到ABCD的位置，若∠BCB=30度，求AE的長. 【題11】AD,BE分別是等邊△ABC中BC,AC上的高。M,N分別在AD,BE的延長線上，∠CBM=∠ACN.求證AM=BN. 【題12】已知：如圖，AD、BC相交于點O，OA=OD，OB=OC，點E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF. 求證：BE‖CF. 【鞏固練習】 【練1】 如圖，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF. （1） 請你判斷AD是三角形ABC的中線還是角平分線？請證明你的結論。 （2） 鏈接BF,CE，若四邊形BFCE是菱形，則三角形ABC中應添加一個什么條件？ 【練2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊上的一個動點，且PB=PD，DE垂直AC，垂足為E。 （1） 求證：PE=BO （2） 設AC=3a，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數關系式。 【練3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD，BC的延長線叫MN與E、F 求證∠DEN=∠F. 【練4】如圖，若C在直線OB上，試判斷△CDM形狀。 【練5】已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊向形外作等腰直角三角形。求證：EF=2AD 1、 【練6】如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，點P和點Q分別是從A和C兩點同時出發(fā)，做勻速運動，且他們的速度相同，點P沿射線AB運動，Q點沿點C在BC延長線上運動。設PQ與直線AC相交于點D，作PE⊥AC于點E，當P和Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論。 【提示】 【題1】分析：在ＢＣ上截?。拢牛剑拢?，連接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：，，．∴，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD． 【題2】分析：將ΔABF視為ΔADE繞Ａ順時針旋轉即可． ∵．∴． 又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ． 【題3】分析：延長ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易證ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵．∴．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ． 【題4】本題比較簡單，難點在BF+CF=CE+CF這，一般剛接觸三角形證明的人會在這失手。 證明：∵BF=CE 又∵BF+CF=BC CE+CF=EF ∴BC=EF ∵AB∥DE，AC∥FD ∴∠B=∠E，∠DFE=∠BCA 又∵BF=CE ∴△DEF≌△ABC（ASA） ∴AB=DE，AC=DF 【題5】順時針旋轉△ABP 600 ，連接PQ ，則△PBQ是正三角形。 可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。 【題6】解析：如果遇到這類題，有時在圖形中隱藏著一些不明顯的條件，你就先試試一個角加公共角等于90，再試其它角加這個公共角是否能等于90，能說明它倆相等。 證明：（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE ∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90 ∵∠D+∠BCD=90 ∠FEC+∠BCD=90 ∴∠D=∠FEC 又∵∠DBC=∠ACE=90，AC=BC ∴△DBC≌△ACE（HL） ∴AE=CD （2）由（1）可知 △BDC≌△ACE ∴BC=AC=12㎝，BD=CE ∵AE是BC邊上的中線 ∴BE=EC=BC=6㎝ ∵BD=CE ∴BD=6㎝ 【題7】解： ∵CB=CE,CD=CF ∴∠B=∠CEB，∠D=∠CFD ∵∠B=∠D(菱形的對角相等） ∴∠CEB=∠CFD ∵∠CEF=∠CFE=60 ∠CEB+∠CEF+∠AEF=180 ∠CED+∠CFE+∠AFE=180 ∴∠AEF=∠AFE (2)設∠B=X,則∠A=180—X，∠CEB=X ∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180 ∴ (180－X ) +2∠AEF=180 ∴∠AEF=X/2 ∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180 ∴X+60+X/2=180 ∴X=80 ∴∠B=80 【題8】解析：這種類型的題，一般是一條長的線段被分為兩段，只能證AC、CD這兩條線段與AB這條線段平分的兩條線段AE、BE相等，從而證明出來。 證明：∵∠AED是△EDB的一個外角 又∵∠1=∠B ∴∠AED=2∠B ∴∠AED=∠C=2∠B ∵AD是△ABC的角平分線 ∴∠CAD=∠DAE 又∵∠AED=∠C，AD=DA ∴△ACD≌△AED（AAS） ∴AC=AE，CD=DE ∵∠1=∠B ∴DE=BE ∴CD=BE ∵AB=AE+BE 又∵AC=AE，CD=BE ∴AB=AC+CD 【題9】解析：作CF的中點G，連接DG，則FG=GC 又∵BD=DC ∴DG∥BF ∴AE∶ED=AF∶FG ∵AE=ED ∴AF=FG ∴= ∴即AF=FC 【題10】提示：證明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四點共圓。四邊形EDCF是平行四邊形。（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） 【題11】 證明：因為△ABC為等邊三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC， 所以 ∠BAM=∠CBN ， 又因為∠CBM=∠ACN 所以∠ABM=∠BCN 在△ABM和△BCN中，有AB=BC ∠BAM=∠CBN ∠ABM=∠BCN 由三角形全等的判定ASA得 △ABM和△BCN全等 所以 AM=BN 【題12】分析： 要證明BE‖CF，只要證明∠E＝∠F；已知∠ABE＝∠DCF，又由三角形的外角性質可知∠E＝∠BAO﹣∠ABE，∠F＝∠CDO﹣∠DCF，因此只要證明∠BAO＝∠CDO.