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絕密 啟封并使用完畢前 2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 全國卷 1 文科數(shù)學 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷 1 至 3 頁 第 卷 4 至 6 頁 注意事項 1 答題前 考生務必將自己的準考證號 姓名填寫在答題卡上 考生要認真核對答題卡上粘貼的 條形碼的 準考證號 姓名 考試科目 與考生本人準考證號 姓名是否一致 2 第 卷每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡 皮擦干凈后 在選涂其他答案標號 第 卷必須用 0 5 毫米黑色簽字筆書寫作答 若在試題卷 上作答 答案無效 3 考試結(jié)束 監(jiān)考員將試題卷 答題卡一并收回 第 卷 一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題 5 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是符合題目 要求的 1 已知集合 A x x 3n 2 n N B 6 8 12 14 則集合 A B 中元素的個數(shù)為 A 5 B 4 C 3 D 2 2 已知點 A 0 1 B 3 2 向量 4 3 則向量 A C A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 3 已知復數(shù) z 滿足 z 1 i i 1 則 z A 2 I B 2 I C 2 I D 2 i 4 如果 3 個整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長 則稱這 3 個數(shù)為一組勾股數(shù) 從 1 2 3 4 5 中任取 3 個不同的數(shù) 則 3 個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為 A B C D 015012 5 已知橢圓 E 的中心在坐標原點 離心率為 E 的右焦點與拋物線 C y 8x 的焦點重合 A B 是 C 的準線與 E 的兩個焦點 則 AB A 3 B 6 C 9 D 12 6 九章算術 是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著 書中有如下問題 今有委米依垣內(nèi)角 下周八尺 高五尺 問 積及為米幾何 其意思為 在屋內(nèi)墻角處堆放米 如圖 米堆為一個圓 錐的四分之一 米堆底部的弧度為 8 尺 米堆的高為 5 尺 問米堆的體積和堆放的米各為多少 已知 1 斛米的體積約為 1 62 立方尺 圓周率約為 3 估算出堆放斛的米約有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 7 已知 是公差為 1 的等差數(shù)列 則 4 為 的前 項 和 8 4 10 A B C 10 D 12 172 192 8 函數(shù) f x 的部分圖像如圖所示 則 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為cos A k k k 14 34 A 2k 2k k 14 34 A k k k 14 34 A 2k 2k k 14 34 9 執(zhí)行右面的程序框圖 如果輸入的 t 0 01 則輸出的 n A 5 B 6 C 7 D 8 10 已知函數(shù) 且 f a 3 則 f 6 a 2 1 2 1 2 1 1 A B C D 745434 11 圓柱被一個平面截去一部分后與半球 半徑為 r 組成一個幾何體 該幾何體三視圖中的正 視圖和俯視圖如圖所示 若該幾何體的表面積為 16 20 則 r A 1 B 2 C 4 D 8 12 設函數(shù) y f x 的圖像關于直線 y x 對稱 且 f 2 f 4 1 則 a A 1 B 1 C 2 D 4 第 卷 注意事項 第 卷共 3 頁 須用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答 若在試卷上作答 答案無效 本卷包括必考題和選考題兩部分 第 13 題 第 21 題為必考題 每個試題考生都必須作答 第 22 題 第 24 題為選考題 考生根據(jù)要求做答 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 13 在數(shù)列 a n 中 a 1 2 an 1 2an Sn為 a n 的前 n 項和 若 S n 126 則 n 14 已知函數(shù) f x ax3 x 1 的圖像在點 1 f 1 處的切線過點 2 7 則 a 15 x y 滿足約束條件 則 z 3x y 的最大值為 16 已知 F 是雙曲線 C x 2 1 的右焦點 P 是 C 的左支上一點 A 0 6 當 APF 周長8y 6 最小是 該三角形的面積為 三 解答題 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 本小題滿分 12 分 已知 a b c 分別為 ABC 內(nèi)角 A B C 的對邊 sin 2B 2sinAsinC 若 a b 求 cosB 設 B 90 且 a 求 ABC 的面積2 18 本小題滿分 12 分 如圖 四邊形 ABCD 為菱形 G 為 AC 與 BD 的交點 BE 平面 ABCD 證明 平面 AEC 平面 BED 若 ABC 120 AE EC 三棱錐 ACD 的體積為 求該三棱錐的側(cè)面積36 19 本小題滿分 12 分 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費 需了解年宣傳費 x 單位 千元 對年銷售量 y 單位 t 和年利潤 z 單位 千元 的影響 對近 8 年的年宣傳費 和年銷售量 1 i 1 2 8 數(shù)據(jù)作了初步處理 得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值 1 x y w 821 iix 821 iiw 81 iiixy 81 iiiwy 46 6 563 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中 w1 1 1x 8iw 根據(jù)散點圖判斷 與 哪一個適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x 的yabx ycdx 回歸方程類型 給出判斷即可 不必說明理由 根據(jù) 的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù) 建立 y 關于 x 的回歸方程 以知這種產(chǎn)品的年利率 z 與 x y 的關系為 z 0 2y x 根據(jù) 的結(jié)果回答下列問題 i 年宣傳費 x 49 時 年銷售量及年利潤的預報值是多少 ii 年宣傳費 x 為何值時 年利率的預報值最大 附 對于一組數(shù)據(jù) u 1 v1 u 2 v2 u n vn 其回歸線 v u 的斜率和截距 的最小二乘估計分別為 20 本小題滿分 12 分 已知過點 A 0 1 且斜率為 k 的直線 l 與圓 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M N 兩點 1 求 K 的取值范圍 2 若 12 其中 0 為坐標原點 求 MN OM N 21 本小題滿分 12 分 設函數(shù) x 討論 的導函數(shù) 零點的個數(shù) f fx 證明 當 時 0a 2lna 請考生在第 22 23 24 題中任選一題作答 如果多做 則安所做的第一題計分 作答時請寫 清題號 22 本小題滿分 10 分 選修 4 1 幾何證明選講 如圖 AB 是 的直徑 AC 是 的切線 BC 交 于點 E OO 若 D 為 AC 的中點 證明 DE 是 的切線 若 CA CE 求 ACB 的大小 3 23 本小題滿分 10 分 選修 4 4 坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系 中 直線 圓 以坐標原點為xOy1C2x 2 2211xy 極點 軸的正半軸為極軸建立極坐標系 x I 求 的極坐標方程 1C2 II 若直線 的極坐標方程為 設 與 的交點為 求3 4R 2C3MN 的面積2MNA 24 本小題滿分 10 分 選修 4 5 不等式選講 已知函數(shù) 1 2 0fxxa 當 時 求不等式 的解集 1a 1fx 若 的圖像與 軸圍成的三角形面積大于 6 求 的取值范圍 fx a 參考答案 一 選擇題 1 D 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A 11 B 12 C 二 填空題 13 6 14 1 15 4 16 126 三 解答題 17 解 由題設及正弦定理可得 2bac 又 可得ab 由余弦定理可得 6 分 221cos4cBa 由 知 2b 因為 由勾股定理得90 22cb 故 得2ac ca 所以 的面積為 1 12 分ABC 18 解 因為四邊形 ABCD 為菱形 所以 ACBD 因為 平面 所以 故 平面E EBED 又 平面 所以平面 平面 5 分AC 設 在菱形 中 由 可得Bx 120 3 2xGBGD 因為 所以在 中 可得AEC RtAEC32Gx 由 平面 知 為直角三角形 可得BE ACDEBG2BEx 由已知得 三棱錐 的體積 31634EACDVG A 故 9 分2x 從而可得 6AEC 所以 的面積為 3 的面積與 的面積均為AEC5 故三棱錐 的側(cè)面積為 12 分D 25 19 解 由散點圖可以判斷 適宜作為年銷售量 關于年宣傳費 的回歸方程類ycdx yx 型 2 分 令 先建立 關于 的線性回歸方程 由于wx w8 12 108 6iiiiiyd 5638 10 cyw 所以 關于 的線性回歸方程為 因此 關于 的線性回歸方程 68yw yx 6 分 10 68yx 由 知 當 時 年銷售量 的預報值49y 10 68576 y 年利潤 的預報值z 9 分 57 249 3 根據(jù) 的結(jié)果知 年利潤 的預報值z 0 168 1 620 zxx 所以 當 即 時 取得最大值 13 682x 46 2x z 故年宣傳費為 46 24 千元時 年利潤的預報值最大 12 分 20 解 由題設 可知直線 的方程為l1ykx 因為 與 交于兩點 所以lC2 3 解得 473k 所以 的取值范圍為 5 分47 3 設 12 MxyN 將 代入方程 整理得k 22 1xy 2 4 70 x 所以 7 分12122 kxk OMNy A2112 kxx 248 由題設可得 解得 所以 的方程為 1k kl1yx 故圓心 在 上 所以 12 分Cl MN 21 解 的定義域為 fx 0 2 0 xafe 當 時 沒有零點 a fx 當 時 因為 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 所以 在 單調(diào)遞增 又2ex fx 當 滿足 且 時 故當 時 存在唯一零 0fa b4a 1b 0fb a fx 點 6 分 由 可設 在 的唯一零點為 當 時 當 fx 0 0 x0 0f 時 0 x 故 在 單調(diào)遞減 在 單調(diào)遞增 所以當 時 取得最小值 fx0 0 x0 x fx 最小值為 0 由于 所以02xae 002 lnl2afxxa 故當 時 12 分 lnf 22 解 連結(jié) 由已知得 AE AEBCA 在 中 由已知得 故RtCD EDC 連結(jié) 則OO 又 所以 90AB 90OB 故 是 的切線 5 分90ED A 設 由已知得1 Cx 223 1BEx 由射影定理可得 所以 即2Cx4210 可得 所以 10 分3x 60A 23 解 因為 所以 的極坐標方程為 的極坐標方cos iny 1cos2 C 程為 5 分240 將 代入 得 解得 2csi4 2340 故 即12 12 MN 由于 的半徑為 1 所以 的面積為 10 分2C2CMNA12 24 解 當 時 化為a fx 0 x 當 時 不等式化為 無解 1 40 當 時 不等式化為 解得 3213x 當 時 不等式化為 解得x x 2 所以 的解集為 5 分 1f 由題設可得 2 1 3 afxx 所以函數(shù) 的圖像與 軸圍成的三角形的三個頂點分別為 f 21 0 3aA 的面積為 21 0Ba 1Ca AB2 1 3a 由題設得 故2 63 2a 所以 的取值范圍為 10 分