小升初奧數(shù)專題-第六講圖形面積
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第六講圖形面積 簡單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會計(jì)算面積,首先要能識別一些特別的圖形:正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等,然后會計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上,不但容易識別,而且容易計(jì)算. 上面左圖是邊長為 4的正方形,它的面積是 44= 16(格);右圖是 35的長方形,它的面積是 35= 15(格). 上面左圖是一個(gè)銳角三角形,它的底是5,高是4,面積是 542= 10(格);右圖是一個(gè)鈍角三角形,底是4,高也是4,它的面積是442=8(格).這里特別說明,這兩個(gè)三角形的高線一樣長,鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面. 上面左圖是一個(gè)平行四邊形,底是5,高是3,它的面積是 5 3= 15(格);右圖是一個(gè)梯形,上底是 4,下底是7,高是4,它的面積是 ?。?+7)42=22(格). 上面面積計(jì)算的單位用“格”,一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長是1米,1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個(gè)方格的邊長是1個(gè)長度單位,1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中,我們直接用數(shù)表示長度或面積,省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位. 6.1 三角形的面積 用直線組成的圖形,都可以劃分成若干個(gè)三角形來計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是: 三角形面積= 底高2. 這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式,而且要會靈活運(yùn)用. 例1 右圖中BD長是4,DC長是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢? 解:三角形ABD與三角形ADC的高相同. 三角形ABD面積=4高2. 三角形 ADC面積=2高2. 因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意:三角形的任意一邊都可以看作是底,這條邊上的高就是三角形的高,所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底,和相應(yīng)的三條高. 例2 右圖中,BD,DE,EC的長分別是2,4,2.F是線段AE的中點(diǎn),三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積. 解: BC= 2+ 4+ 2= 8. 三角形 ABC面積= 8 42=16. 我們把A和D連成線段,組成三角形ADE,它與三角形ABC的高相同,而DE長是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理,EF是AE的一半,三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半. 三角形 DFE面積= 164=4. 例3 右圖中長方形的長是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積. 解:ABEF也是一個(gè)長方形,它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長. 而三個(gè)三角形底邊的長加起來,就是FE的長.因此這三個(gè)三角形的面積之和是 FEBE2, 它恰好是長方形ABEF面積的一半. 同樣道理,F(xiàn)ECD也是長方形,它內(nèi)部三個(gè)三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半. 因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半,也就是 20122=120. 通過方格紙,我們還可以從另一個(gè)途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個(gè)三角形的高線,把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后,圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長方形的一半,而長方形ABCD是由這若干個(gè)長方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長方形ABCD面積的的一半. 例4 右圖中,有四條線段的長度已經(jīng)知道,還有兩個(gè)角是直角,那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少? 解:把A和C連成線段,四邊形ABCD就分成了兩個(gè),三角形ABC和三角形ADC. 對三角形ABC來說,AB是底邊,高是10,因此 面積=4102= 20. 對三角形 ADC來說, DC是底邊,高是 8,因此 面積=782=28. 四邊形 ABCD面積= 20+ 28= 48. 這一例題再一次告訴我們,鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面. 例5 在邊長為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF,線段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面積. 解:要直接求出三角形BEF的面積是困難的,但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積 三角形 ABE面積=362= 9. 三角形 BCF面積= 6(6-2)2= 12. 三角形 DEF面積=2(6-3)2= 3. 我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出: 三角形 BEF面積=66-9-12-3=12. 例6 在右圖中,ABCD是長方形,三條線段的長度如圖所示,M是線段DE的中點(diǎn),求四邊形ABMD(陰影部分)的面積. 解:四邊形ABMD中,已知的太少,直接求它面積是不可能的,我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積,然后用長方形ABCD的面積減去它們,由此就可以求得四邊形ABMD的面積. 把M與C用線段連起來,將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 722=7. 因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn),三角形DMC與三角形MCE面積相等,所以三角形MCE面積是 72=3.5. 因?yàn)?BE= 8是 CE= 2的 4倍,三角形 MBE與三角形MCE高一樣,因此三角形MBE面積是 3.54=14. 長方形 ABCD面積=7(8+2)=70. 四邊形 ABMD面積=70-7- 14= 49. 6.2 有關(guān)正方形的問題 先從等腰直角三角形講起. 一個(gè)直角三角形,它的兩條直角邊一樣長,這樣的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角(90度),還有兩個(gè)角都是45度,通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形. 兩個(gè)一樣的等腰直角三角形,可以拼成一個(gè)正方形,如圖(a).四個(gè)一樣的等腰直角三角形,也可以拼成一個(gè)正方形,如圖(b). 一個(gè)等腰直角三角形,當(dāng)知道它的直角邊長,從圖(a)知,它的面積是 直角邊長的平方2. 當(dāng)知道它的斜邊長,從圖(b)知,它的面積是 斜邊的平方4 例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長是8.后一個(gè)三角形的直角邊長,恰好是前一個(gè)斜邊長的一半,求這個(gè)圖形的面積. 解:從前面的圖形上可以知道,前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形,等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半,第一個(gè)等腰直角三角形的面積是882=32. 這一個(gè)圖形的面積是 32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63. 例8 如右圖,兩個(gè)長方形疊放在一起,小長形的寬是2,A點(diǎn)是大長方形一邊的中點(diǎn),并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么圖中陰影部分的總面積是多少? 解:為了說明的方便,在圖上標(biāo)上英文字母 D,E,F(xiàn),G. 三角形ABC的面積=222=2. 三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形. 三角形ABC的斜邊,與三角形ADE的直角邊一樣長,因此三角形 ADE面積=ABC面積2=4. 三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積2=1. 陰影部分的總面積是 4+1=5. 例9 如右圖,已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長度AD=7,BC=3,三個(gè)角的度數(shù):角 B和D是直角,角A是45.求這個(gè)四邊形的面積. 解:這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE,切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE. 因?yàn)? A是45,角D是90,角E是 180-45-90= 45, 所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形. 四邊形ABCD的面積,是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差,即 772-332=20. 這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué),用直線AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形,并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的,這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做,角 A是 45,這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等,兩個(gè)三角形相等,是不能靠眼睛來測定的,必須從幾何學(xué)上找出根據(jù),小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何,千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角,你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形. 現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題. 例10 在右圖 1115的長方形內(nèi),有四對正方形(標(biāo)號相同的兩個(gè)正方形為一對),每一對是相同的正方形,那么中間這個(gè)小正方形(陰影部分)面積是多少? 解:長方形的寬,是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長之和,長方形的長,是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長之和. 長-寬 =15-11=4 是“三”正方形的邊長. 寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長之和,因此 中間小正方形邊長=11-42=3. 中間小正方形面積=33= 9. 如果把這一圖形,畫在方格紙上,就一目了然了. 例11 從一塊正方形土地中,劃出一塊寬為1米的長方形土地(見圖),剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積. 解:剩下的長方形土地,我們已知道 長-寬=1(米). 還知道它的面積是15.75平方米,那么能否從這一面積求出長與寬之和呢? 如果能求出,那么與上面“差”的算式就形成和差問題了. 我們把長和寬拼在一起,如右圖. 從這個(gè)圖形還不能算出長與寬之和,但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形,如下圖就拼成一個(gè)大正方形,這個(gè)正方形的邊長,恰好是長方形的長與寬之和. 可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形,仔細(xì)觀察一下,就會發(fā)現(xiàn),它的邊長,恰好是長方形的長與寬之差,等于1米. 現(xiàn)在,我們就可以算出大正方形面積: 15.754+11= 64(平方米). 64是88,大正方形邊長是 8米,也就是說長方形的 長+寬=8(米). 因此 長=(8+1)2= 4.5(米). 寬=8-4.5=3.5(米). 那么劃出的長方形面積是 4.51=4. 5(平方米). 例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6,求三角形AEG(陰影部分)的面積. 解:四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此 四邊形AECD面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)大正方形邊長2 三角形ADG是直角三角形,它的一條直角邊長DG=(小正方形邊長+大正方形邊長),因此 三角形ADG面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)大正方形邊長2. 四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有,因此,三角形AEH與三角形HCG面積相等,都加上三角形EHG面積后,就有 陰影部分面積=三角形ECG面積 =小正方形面積的一半 = 662=18. 十分有趣的是,影陰部分面積,只與小正方形邊長有關(guān),而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系. 6.3 其他的面積 這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難,但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少,請讀者仔細(xì)體會. 例13 畫在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形(如右圖),求它的面積. 解:直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的,我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計(jì)算. 周圍小正方形有3個(gè),面積為1的三角形有5個(gè),面積為1.5的三角形有1個(gè),因此圍成面積是 44-3-5-1.5=6.5. 例6與本題在解題思路上是完全類同的. 例14 下圖中 ABCD是 68的長方形,AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積. 解:三角形AEF中,我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長,直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB,底邊AB,就是長方形的長,高是長方形的寬,即BC的長,面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半,而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形,它的兩條直角邊的長是知道的,很容易算出它的面積.因此 三角形AEF面積=(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積) ?。?62-482 ?。?8. 這一例題告訴我們,有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形,當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出,從而間接地解決了問題.前面例9的解法,也是這種思路. 例15 下左圖是一塊長方形草地,長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路,一條是長方形,一條是平行四邊形,那么有草部分的面積(陰影部分)有多大? 解:我們首先要弄清楚,平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出,底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 102的長方形面積相等. 可以設(shè)想,把這個(gè)平行四邊形換成 102的長方形,再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁右圖),草地部分面積(陰影部分)還是與原來一樣大小,因此 草地面積=(16-2)(10-2)= 112. 例16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起,求陰影部分的面積. 解:實(shí)際上,陰影部分是一個(gè)梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接來求它的面積. 陰影部分與三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出, ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長減去3,高就是DC的長.因此陰影部分面積等于 梯形 ABCD面積=(8+8-3)52= 32.5. 上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們,如何把不容易算的面積,換成容易算的面積,數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng),首先要提高對圖形的觀察能力. 例17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF,F(xiàn)E,EC都等于3, CB, BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積. 解:兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的. 三角形ABC面積=(3+3+3)42=18. 三角形CDE面積=(4+4) 32=12. 這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分--四邊形BCEG,只要減去這個(gè)重疊部分,所求圖形的面積立即可以得出. 因?yàn)?AF= FE= EC=3,所以 AGF, FGE, EGC是三個(gè)面積相等的三角形. 因?yàn)镃B=BD=4,所以CGB,BGD是兩個(gè)面積相等的三角形. 2三角形DEC面積 = 22(三角形 GBC面積)+2(三角形 GCE面積). 三角形ABC面積 = (三角形 GBC面積)+3(三角形GCE面積). 四邊形BCEG面積 =(三角形GBC面積)+(三角形GCE面積) =(212+18)5 ?。?.4. 所求圖形面積=12+ 18- 8.4=21.6. 例18 如下頁左圖,ABCG是47長方形,DEFG是 210長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差. 解:三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個(gè)長方形的和. ?。ㄈ切蜝CM面積)-(三角形DEM面積) =(梯形ABEF面積)-(兩個(gè)長方形面積之和 =(7+10)(4+2)2-(47 + 210) =3. 例19 上右圖中,在長方形內(nèi)畫了一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影部分的面積是多少? 解:所求的影陰部分,恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分,而面積為13,49,35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分,因此 ?。ㄈ切?ABC面積)+(三角形CDE面積)+(13+49+35) =(長方形面積)+(陰影部分面積). 三角形ABC,底是長方形的長,高是長方形的寬;三角形CDE,底是長方形的寬,高是長方形的長.因此,三角形ABC面積,與三角形CDE面積,都是長方形面積的一半,就有 陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97. 6.4 幾種常見模型 一、等積模型 ①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等; ②兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比; 兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比; 如右圖 ③夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖; 反之,如果,則可知直線平行于. ④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形); ⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半; ⑥兩個(gè)平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比. 二、鳥頭定理 兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比. 如圖在中,分別是上的點(diǎn)如圖 ⑴(或在的延長線上,在上), 則 圖⑴ 圖⑵ 三、蝶形定理 任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”): ①或者② 蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑.通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面,也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系. 梯形中比例關(guān)系(“梯形蝶形定理”): ① ②; ③的對應(yīng)份數(shù)為. 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①; ②. 所謂的相似三角形,就是形狀相同,大小不同的三角形(只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變它們都相似),與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下: ⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例,并且這個(gè)比例等于它們的相似比; ⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方; ⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線. 三角形中位線定理:三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半. 相似三角形模型,給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具. 在小學(xué)奧數(shù)里,出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形. 五、共邊定理(燕尾模型和風(fēng)箏模型) 在三角形中,,,相交于同一點(diǎn),那么. 上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段,因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶停赃@個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一個(gè)三角形之中,為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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