鉛錘高求三角形面積法
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作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法 ------------二次函數(shù)教學(xué)反思 最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問(wèn)題,經(jīng)過(guò)研究,我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說(shuō)遇到“歪歪三角形中間砍一刀”,同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下:如圖1,過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. D B A O y x P C B A O y x B C 鉛垂高 水平寬 h a 圖1 例1.(2013深圳)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),連結(jié)OA,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,得到線段OB.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△BOC的周長(zhǎng)最???若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(4)如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且在x軸的下方,那么△PAB是否有最大面積?若有,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)B(1,) (2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+a),代入點(diǎn)B(1, ),得,因此 (3)如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=—1,當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí),△BOC的周長(zhǎng)最小. 設(shè)直線AB為y=kx+b.所以,因此直線AB為,當(dāng)x=-1時(shí),,因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,/3). (4)如圖,過(guò)P作y軸的平行線交AB于D. 當(dāng)x=-時(shí),△PAB的面積的最大值為,此時(shí). 例2.(2014益陽(yáng)) 如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式;(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及;(3)是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:把A(3,0)代入解析式求得所以設(shè)直線AB的解析式為:由求得B點(diǎn)的圖-2 x C O y A B D 1 1 坐標(biāo)為 把,代入中 解得:所以 (2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)所以當(dāng)x=1時(shí),y1=4,y2=2所以CD=4-2=2(平方單位) (3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,△PAB的鉛垂高為h,則由S△PAB=S△CAB得化簡(jiǎn)得:解得,將代入中,解得P點(diǎn)坐標(biāo)為 例3.(2015江津)如圖,拋物線與x軸交于A(1,0),B(- 3,0)兩點(diǎn),(1)求該拋物線的解析式;(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最???若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)將A(1,0),B(-3,0)代中得∴ ∴拋物線解析式為: (2)存在。 理由如下:由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱 ∴直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn), 此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小 ∵ ∴C的坐標(biāo)為:(0,3) 直線BC解析式為: Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解 ∴∴Q(-1,2) (3)答:存在。理由如下: 設(shè)P點(diǎn)∵若有最大值,則就最大,∴ == 當(dāng)時(shí),最大值= ∴最大= 當(dāng)時(shí),∴點(diǎn)P坐標(biāo)為 同學(xué)們可以做以下練習(xí): 1.(2015浙江湖州)已知如圖,矩形OABC的長(zhǎng)OA=,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC。 (1)填空:∠PCB=____度,P點(diǎn)坐標(biāo)為( , ); (2)若P,A兩點(diǎn)在拋物線y=-x2+bx+c上,求b,c的值,并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上; (3)在(2)中的拋物線CP段(不包括C,P點(diǎn))上,是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形MCAP的面積最大?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 2.(湖北省十堰市2014)如圖①, 已知拋物線(a≠0)與軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B (-3,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1) 求拋物線的解析式;(2) 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)M ,問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3) 如圖②,若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo). 圖① 圖② 3.(2015年恩施) 如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B 兩點(diǎn), A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點(diǎn), 點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn). (1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式. (2)連結(jié)PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POPC, 那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POPC為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積. 圖11 解:(1)將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得: 所以二次函數(shù)的表達(dá)式為: (2)存在點(diǎn)P,使四邊形POPC為菱形.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,),PP交CO于E若四邊形POPC是菱形,則有PC=PO. 連結(jié)PP 則PE⊥CO于E,∴OE=EC= =. ∴= 解得=,=(不合題意,舍去) ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,) (3)過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P(x,),易得,直線BC的解析式為則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x-3). = 當(dāng)時(shí),四邊形ABPC的面積最大 此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形ABPC的面積. 25.(2015綿陽(yáng))如圖,拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-4,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.E(1,2)為線段BC的中點(diǎn),BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G. (1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使△CDH的周長(zhǎng)最小,并求出最小周長(zhǎng); (3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△EFK的面積最大?并求出最大面積. K N C E D G A x y O B F C E D G A x y O B F 【解析】(1)由題意,得 解得,b =-1. 所以拋物線的解析式為,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,). (2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M.因?yàn)镋F垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)為B,連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn),則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H,使DH + CH最小,即最小為 DH + CH = DH + HB = BD =. 而 . ∴ △CDH的周長(zhǎng)最小值為CD + DR + CH =. 設(shè)直線BD的解析式為y = k1x + b,則 解得 ,b1 = 3. 所以直線BD的解析式為y =x + 3.由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB, 得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).同理可求得直線EF的解析式為y =x +. 聯(lián)立直線BD與EF的方程,解得使△CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H(,). (3)如圖所示,設(shè)K(t,),xF<t<xE.過(guò)K作x軸的垂線交EF于N. 則 KN = yK-yN =-(t +)=. 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1-t)= 2KN = -t2-3t + 5 =-(t +)2 +. 即當(dāng)t =-時(shí),△EFK的面積最大,最大面積為,此時(shí)K(-,). 7- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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