《《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教案1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教案1（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

[教學(xué)目標(biāo)] 理解常量、變量以及函數(shù)概念，了解初等函數(shù)和分段函數(shù)的概念。熟練掌握求函數(shù)的定義域、函數(shù)值的方法，掌握將復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單函數(shù)的方法。了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的基本特征和簡(jiǎn)單性質(zhì)。了解極限、無(wú)窮小（大）量的有關(guān)概念，掌握求極限的常用方法。了解函數(shù)連續(xù)性概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。理解導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求曲線的切線方程，熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)數(shù)的常用方法，會(huì)求簡(jiǎn)單的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。知道微分概念，會(huì)求微分。會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)。 [重難點(diǎn)]函數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 [教學(xué)內(nèi)容] 第一編 微分學(xué) 第1章 函數(shù) 一、試著回答下列問(wèn)題： 問(wèn)題1：在某過(guò)程中由兩個(gè)變量，其中一個(gè)量x變，另一個(gè)量y也變，那么變量y是變量x的函數(shù)，此話對(duì)嗎？ 問(wèn)題2：一個(gè)函數(shù)可以由哪些要素唯一確定？ 問(wèn)題3：函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域中的任意兩個(gè)因素，是否可將函數(shù)唯一確定呢？ 問(wèn)題4：如果y是x的函數(shù)y=f(x)，是否y與x之間的關(guān)系只能用一個(gè)解析式子表示？ 答：?jiǎn)栴}1：不對(duì)。根據(jù)函數(shù)定義，變量x變，變量y也變，并沒(méi)有說(shuō)明y是如何隨x的變化而變化，也沒(méi)有說(shuō)明每給x一個(gè)值，就有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，因此還不能說(shuō)y是x的函數(shù)。 問(wèn)題2：任一函數(shù)，都可由其定義域D和對(duì)應(yīng)關(guān)系f這兩個(gè)要素確定。有的教材講，確定函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域，實(shí)際上，只要定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了，值域也就隨之確定了。 問(wèn)題3：不一定。例如y=sinx與y=cosx，它們的定義域相同，值域也相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，它們不是同一個(gè)函數(shù)。 問(wèn)題4：不一定。表示函數(shù)的方法有：公式法、圖示法和列表法。即使對(duì)于公式法，也不一定必須用一個(gè)解析式表示，如分段函數(shù)： 包含了兩個(gè)式子，但分段函數(shù)仍是一個(gè)函數(shù)。 二、主要內(nèi)容歸納： （一）、函數(shù)概念 1、 常量與變量——在所研究的問(wèn)題中，保持同一確定數(shù)值的量，稱為常量。而能取不同數(shù)值的量，稱為變量。 注意：常量與變量是相對(duì)的，條件改變時(shí)，可以相互轉(zhuǎn)化。 2、函數(shù)定義： y=f(x) x 其中x叫做自變量，y叫做因變量，x的變域D稱為函數(shù)的定義域。用圖示說(shuō)明如下： Y D （ y的變化范圍） （x的變化范圍） 函數(shù)的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)變量（x與y）及其對(duì)應(yīng)規(guī)則f( ) （二）、初等函數(shù) 微積分研究的對(duì)象主要是初等函數(shù)，但初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)構(gòu)成的。 1、 基本初等函數(shù) 常數(shù)函數(shù) y=C (C是常數(shù)) 冪函數(shù) y=xa （a為實(shí)數(shù)） 指數(shù)函數(shù) y=ax (a>0,a≠1) 對(duì)數(shù)函數(shù) y=log ax (a>0,a≠1) 三角函數(shù) y=sinx , y=cosx y=tanx , y=ctgx 2、 復(fù)合函數(shù) y=f(u),u=φ(x)且u=φ(x)的值域是y=f(u)的定義域的子集，則y是x的復(fù)合函數(shù)： y=f[φ(x)]. y u 其各量的關(guān)系圖示如下： 3、 初等函數(shù) 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 注意：要掌握好將一個(gè)初等函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單函數(shù)，其步驟是自外層向內(nèi)層逐層分解，切忌漏層。 4、 常見(jiàn)函數(shù)的定義域的基本求法 求一元函數(shù)y=f(x)的定義域D，即是求使函數(shù)有意義的自變量x的變化范圍。 常見(jiàn)解析式的定義域求法有： （1）、分母不能為零； （2）、偶次根號(hào)下非負(fù)； （3）、對(duì)數(shù)式中的真數(shù)恒為正； （4）、分段函數(shù)的定義域應(yīng)取各分段區(qū)間定義域的并集。 5、 對(duì)應(yīng)規(guī)則f( ) 從以上分析，對(duì)應(yīng)規(guī)則f( )往往表現(xiàn)為各種運(yùn)算，已知f( ) 求f( a)，只須用a取代x，代入對(duì)應(yīng)規(guī)則運(yùn)算即成。但應(yīng)注意分段函數(shù)不同區(qū)間有不同的對(duì)應(yīng)規(guī)則。 （三）、函數(shù)的奇、偶性 判斷函數(shù)y=f(x)的奇、偶性常見(jiàn)有以下方法： （1）、定義法：即在對(duì)稱區(qū)間上若滿足f(-x)=f(x) ，則y=f(x)為偶函數(shù)，若滿足f(-x) = -f(x) ，則y=f(x)為奇函數(shù)，否則y=f(x)為非奇非偶函數(shù)。 （2）、符合法：記偶為②，記奇為①，則有： ②②＝②，②②＝② ①①＝②，①①＝② ②①＝①，②①＝① 即“同號(hào)”相乘除為②，“異號(hào)” 相乘除為①。 記住這些常見(jiàn)函數(shù)的奇、偶性，用符合法可以判斷很多函數(shù)的奇、偶性。 （3）、圖象法： 奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱 圖象法即利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱來(lái)判斷函數(shù)的奇、偶性。 （四）、經(jīng)濟(jì)中常用的函數(shù) 1、需求函數(shù)：qd =q(p), qd——需求量，p——價(jià)格 2、供給函數(shù)：qs=q(p), qs——需求量，p——價(jià)格 3、總成本函數(shù)：C(x)=C1+C2(x), q——產(chǎn)量 C1為固定成本，C2(x)為變動(dòng)成本 4、收入函數(shù)：R(q)=q.p(q), q——銷售量，p——價(jià)格 6、 利潤(rùn)函數(shù)：L（q）=R(q) －C(q) 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：1、函數(shù)y=f(x)的兩要素； 2、 函數(shù)的奇偶性； 3、 基本初等函數(shù)； 4、 經(jīng)濟(jì)中常用的函數(shù)。 難點(diǎn)：經(jīng)濟(jì)中常用的函數(shù)。 四、實(shí)例分析： 例1、 求下列函數(shù)定義域 （1）、分析：應(yīng)同時(shí)要求分母≠0，偶次根號(hào)下非負(fù)，于是 解：要使函數(shù)有意義，必須使： （2）、分析：要求分母≠0且對(duì)數(shù)真數(shù)>0、偶次根號(hào)下非負(fù)，于是 解：要使函數(shù)有意義，必須使： 對(duì)照練習(xí)1、求下列函數(shù)定義域： 例2、求分段函數(shù)的定義域： 分析：分段函數(shù)的定義域應(yīng)是各段定義域的并集 對(duì)照練習(xí)2、求分段函數(shù)的定義域： 例3、 函數(shù)f(x)的定義域是[1，2]，求函數(shù)f(x+1)的定義域。 分析：已知f(x)的定義域?yàn)閇1，2]， ∴ 有f(x+1)的定義域要求1≤x+1≤2, 即0≤x≤1, 即f(x+1)的定義域?yàn)镈=[0，1] 對(duì)照練習(xí)3、函數(shù)f(x)的定義域是[2，3]，求函數(shù)f(x+1)的定義域。 例4、 設(shè)g（t）=t3－6,求g（t2）, [g（t）]2 分析：函數(shù)關(guān)系為g( )=( )3－6，（1）用t2代t，即求出g（t2）；（2）求[g（t）]2即是求該函數(shù)的平方。 解：g（t2）＝(t2 )3－6＝t6－6 [g（t）]2=（ t3－6）2 對(duì)照練習(xí)4、設(shè)f(x)= x2+5,求f(1/x)，f[f(x)] 求f(0) ，f(2) ，f(4) 分析：求分段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)將自白變量的取值代入所在區(qū)間對(duì)應(yīng)的表達(dá)式中。 解：f(0)= 02+1=1 f(2) 無(wú)意義 （2不在f(x)的定義域內(nèi)） f(4)=9－42=－7 對(duì)照練習(xí)5、在上例中，求f(1) ，f(5) 例6、下列函數(shù)對(duì)中，（ ）表示相同函數(shù) 分析：兩個(gè)函數(shù)相同是當(dāng)且僅當(dāng)其定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則分別相同。 解：選擇A，因?yàn)閒(x)與g(x)的定義域均為（-∞，+∞），對(duì)應(yīng)規(guī)則也相同（∵sin2x+cos2x=1） 對(duì)照練習(xí)6、下列函數(shù)對(duì)中，（ ）表示相同函數(shù) 例7、找出下列函數(shù)的奇函數(shù) 對(duì)照練習(xí)7、找出下列函數(shù)的偶函數(shù) 例8、某廠生產(chǎn)一種元器件，設(shè)計(jì)能力為日產(chǎn)100件，每日的固定成本為150元，每件的平均可變成本為10元。 （1）、試求該廠此元器件的日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)； （2）、若每件售價(jià)14元，試寫出總收入函數(shù)； （3）、試寫出利潤(rùn)函數(shù)。 解：設(shè)總成本函數(shù)為C（q）,平均成本函數(shù)為A(q),總收入函數(shù)為R(q),利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（q） 其中：q為生產(chǎn)量（銷售量），則有： （1）、C（q）=固定成本+變動(dòng)成本 =150+10q，（0≤q≤100） A(q)= C（q）／q=150／q ＋10 （2）、R(q)=14q （3）、L（q）= R(q)－C（q） =14q－(150 ＋10q) =4q－150 對(duì)照練習(xí)8、已知某產(chǎn)品固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加50元，則生產(chǎn)q件產(chǎn)品的平均成本為何函數(shù)？ 五、問(wèn)題解答： 對(duì)照練習(xí)答案 第2章 一元函數(shù)微分學(xué) 第一部分 極限與連續(xù) 一、試著回答下列問(wèn)題： 問(wèn)題1：什么是函數(shù)的極限過(guò)程？函數(shù)的極限過(guò)程是用什么指標(biāo)來(lái)衡量的？為什么說(shuō)函數(shù)極限存在與否取決于函數(shù)極限過(guò)程？ 問(wèn)題2：設(shè)有函數(shù)y＝f(x)＝3x－2，當(dāng)x→2時(shí)，f(x)＝3x－2→4，而f(2)＝4，即f(x)在x＝2的函數(shù)值f(2)＝4，這兩件事有什么不同？ 問(wèn)題3：怎樣直觀描述函數(shù)的極限？ 問(wèn)題4：能否直接稱是無(wú)窮大量或無(wú)窮小量呢？ 答：?jiǎn)栴}1：因?yàn)槲⒎e分研究的是變量間的變化關(guān)系，也就是函數(shù)關(guān)系，而在極限中往往用自變量x的變化去刻畫變化過(guò)程，去研究相應(yīng)的函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì)，所以函數(shù)的極限過(guò)程是指：函數(shù)的自變量x的變化過(guò)程。而自變量x的變化過(guò)程有各種情形： x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞ 等等。 顯然，函數(shù)y＝f(x)的變化趨勢(shì)，或存在極限或不存在極限都與極限過(guò)程有關(guān)，也就是與自變量x的各種變化過(guò)程有關(guān)，同一函數(shù)y＝f(x)對(duì)不同極限過(guò)程就有不同的變化趨勢(shì)。 例如：y＝f(x) ＝1／x，當(dāng)x→1時(shí)，f(x) →1； 當(dāng)x→1／2時(shí)，f(x) →2 等等。 問(wèn)題2：當(dāng)x→2時(shí)，y＝f(x)＝3x－2的值如下表： x 1．9 1．99 1．999 1．9999 2．0001 2．001 2．01 2．1 3x－2 3．7 3．97 3．997 3．9997 4．0003 4．003 4．03 4．3 由此可以看出：當(dāng)x→2時(shí)，（包括小于2和大于2的值），y＝f(x)＝3x－2→4。 在討論x趨于2時(shí)，y＝f(x)＝3x－2的極限過(guò)程中，并未提及y＝f(2)＝4這一事實(shí)，其原因在于y＝f(2)描寫的是x ＝2時(shí) y＝f(x)的值，而我們所研究的卻是當(dāng)x趨于2時(shí)y＝f(x)的變化，這是兩碼事。即在本例中，兩種不同的概念得到是相同的值，注意這是不應(yīng)混淆的兩件不同的事。 這表明這兩種不同的概念有時(shí)產(chǎn)生不同的結(jié)果。 問(wèn)題3：由上述兩個(gè)問(wèn)題我們有：定義——如果當(dāng)x取值趨近于α?xí)r，f(x)趨近于一個(gè)單一的值A(chǔ)或在A值上保持不變，則稱A是當(dāng)x趨近于α?xí)r函數(shù)y＝f(x)的極限，這時(shí)可寫成 問(wèn)題4：顯然不然。比如：若x→∞時(shí)，則即是無(wú)窮小量；又若x→0時(shí)，則即是無(wú)窮大量。可見(jiàn)，極限過(guò)程不相同，那么函數(shù)極限一般也不同，因此，所謂的無(wú)窮大量或無(wú)窮小量是相對(duì)某一極限過(guò)程而言。 二、主要內(nèi)容歸納： （一）、函數(shù)極限 極限過(guò)程：即x 無(wú)限接近○ 極限值：即在所給極限過(guò)程中，f(x)無(wú)限接近A 某函數(shù) 極限符號(hào)：即無(wú)限接近 1、 描述性定義： 注意：①、以上是一個(gè)符號(hào)系統(tǒng)，構(gòu)成極限定義，缺一不可； ②、弄懂定義的關(guān)鍵是聯(lián)系函數(shù)圖像，看懂在同一變化過(guò)程中自變量與因變量?jī)蓚€(gè)無(wú)限變化趨勢(shì)； ③、極限過(guò)程x→○是指： x→x0, x→x0 －, x→x0 ＋, x→∞, x→＋∞, x→－∞ 中的一種。 2、 極限存在的充要條件 3、 窮小量與無(wú)窮大量 以零我極限的變量稱為無(wú)窮小量； 絕對(duì)值越來(lái)越大且趨于正無(wú)窮大的變量稱為無(wú)窮大量。 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系是： （即關(guān)系互倒） 無(wú)窮小量與有界變量之積仍為無(wú)窮小量。 4、 極限的四則運(yùn)算 對(duì)某一極限過(guò)程x→○， 若limu＝A，limv＝B，則有： 1、 lim(uv) ＝limulimv＝AB； 2、 lim(uv) ＝limulimv＝AB 若v＝c (c是常量)，有l(wèi)im(cu) ＝climu＝cA； ⑶、 推論：①、limun＝(limu)n ＝An，（n為自然數(shù)） ②、lim，（n為自然數(shù)） ③、limC＝C，（C是常數(shù)） 5、 兩個(gè)重要極限 ⑴、 ⑵、 或 注：這里教材中相應(yīng)公式原來(lái)x的位置，統(tǒng)統(tǒng)被“○”取代，它可以是任一有意義的函數(shù)，這時(shí)的公式實(shí)際比原公式應(yīng)用更廣。并給學(xué)生提供了想象空間，不具體給出函數(shù)形式。 （二）、連續(xù)與間斷 1、 點(diǎn)連續(xù) 在點(diǎn)連續(xù)的這一定義中，一下三個(gè)條件要同時(shí)滿足： ⑴、f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域有定義； ⑵、f(x)在點(diǎn)x0有極限； ⑶、f(x)在點(diǎn)x0的極限等于函數(shù)值。 2、 間斷點(diǎn)——函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)； 3、 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 4、 利用連續(xù)性求極限： 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：1、函數(shù)極限（特別是“”、“”型） 3、 兩個(gè)重要極限的計(jì)算； 4、 無(wú)窮大、無(wú)窮小的概念、性質(zhì)和關(guān)系。 難點(diǎn)：點(diǎn)連續(xù)及間斷點(diǎn)的判斷。 四、實(shí)例分析： 理解并掌握下列極限的計(jì)算方法： l 極限的四則運(yùn)算法則； l 兩個(gè)重要極限； l 函數(shù)的連續(xù)性。 具體計(jì)算時(shí)要注意上述法則或方法成立的條件，否則會(huì)在運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤。 例1 求下列極限 （1） （2） （3） （4） 解（1）當(dāng)時(shí)分式的分子、分母的極限都不存在，不能用極限的除法法則，由教材中公式（2.2.4）可直接得到結(jié)果，即 (2) 當(dāng)時(shí)分式的分子、分母的極限都為0，且分子中含有無(wú)理根式。遇到此情形需先將根式有理化，即有 = （3）當(dāng)時(shí)分式的分子、分母的極限都為0，且分式的分子、分母均為的二次多項(xiàng)式，遇到此情形需先分解因式，消去極限為零的因式再用除法法則。即 （4）先進(jìn)行恒等變形，在利用第2個(gè)重要極限。即 對(duì)照練習(xí)1、求下列極限 （1） （2） （3） （4） 五、問(wèn)題解答： 對(duì)照練習(xí)1、答案 ⑴、 ⑵、 ⑶、 ⑷、e2 第二部分 導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 一、試著回答下列問(wèn)題： 問(wèn)題1：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系及區(qū)別？ 問(wèn)題2：可導(dǎo)、連續(xù)、極限存在三者之間的關(guān)系如何？ 問(wèn)題3：函數(shù)的極值點(diǎn)、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的關(guān)系如何？ 問(wèn)題4：導(dǎo)數(shù)有哪些方面的應(yīng)用？學(xué)習(xí)中應(yīng)注意些什么？ 答：?jiǎn)栴}1：⑴、導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是兩個(gè)不同的概念，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)，實(shí)質(zhì)就是函數(shù)對(duì)自變量在某點(diǎn)的變化速度；而導(dǎo)函數(shù)反映函數(shù)的一般規(guī)律。⑵、導(dǎo)數(shù)定義的是一個(gè)常量，導(dǎo)函數(shù)仍是一個(gè)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)f’(x)在某點(diǎn)x0處的導(dǎo)函數(shù)值f’(x0)。因此可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。 問(wèn)題2：y=f(x)在x0處有： 可導(dǎo)→連續(xù)→存在 ↓ f(x)在點(diǎn)x0必有定義 但反方向的箭頭結(jié)論不一定成立。 問(wèn)題3：駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0即不可導(dǎo)點(diǎn)（但是連續(xù)點(diǎn)）是極值點(diǎn)的可疑點(diǎn)，但它們不一定是極值點(diǎn)；可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)。 問(wèn)題4：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用非常廣泛，而需要我們掌握的有：⑴、利用一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)的切線方程；⑵、判別函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值；⑶、邊際分析、求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題的最值：成本最低、利潤(rùn)最大等等；⑷、求需求彈性。 求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題的極值，關(guān)鍵是利用所掌握的有關(guān)知識(shí)列出目標(biāo)函數(shù)，注意函數(shù)必須是一元的，若有兩個(gè)自變量，必須將其中之一轉(zhuǎn)化。求解時(shí)所用方法仍是求函數(shù)極值的方法。 二、主要內(nèi)容歸納： （一）、導(dǎo)數(shù)的概念: 1、 導(dǎo)數(shù)的定義: ①、 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)： ②、 導(dǎo)函數(shù)： 兩者的關(guān)系： ，即點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值。 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)均簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)。 ③、左、右導(dǎo)數(shù)： 左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)： 關(guān)系：存在且相等。 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)x處的變化率。 2、 導(dǎo)的幾何意義： 是曲線處切線的斜率。 曲線的切線方程為： 3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 若函數(shù)處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)處一定連續(xù)，反之未必成立。 （二）、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則 1、導(dǎo)數(shù)基本公式 略?？唇滩牡?08及109頁(yè)。 2、導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則： 略?？唇滩牡?08及109頁(yè)。 3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法： 設(shè) 4、隱函數(shù)求導(dǎo)法： 方法：對(duì)隱函數(shù)方程F(x,y)=0，兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)（求導(dǎo)過(guò)程中視y為中間變量y=y(x)）,從等式中解出y’。 5、高階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：，即是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 [作業(yè)設(shè)計(jì)]形成性考核冊(cè)作業(yè)1 14