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數(shù)學(xué)廣角——植樹問題 師：我們利用課前兩分鐘的時間我們來做個游戲，游戲的名字叫敢動不敢言——看動作猜成語。游戲規(guī)則：我將請兩位同學(xué)上來，我悄悄的給他們看一個詞，完了以后，他們根據(jù)這個詞的內(nèi)容來演，但是不能發(fā)言，而我們在坐的同學(xué)呢給他們互動，你們來猜，看看我們班的同學(xué)配合默契程度怎么樣，好不好？ 生：好 師：誰愿意上來？（兩位上來），好，我現(xiàn)在要悄悄的給他們看，你們做好準(zhǔn)備。（看完后）哪位來做主持？ 生：我來，這個詞是四個字的，第一個和第三個是數(shù)字，下面我來演示一下（兩位同學(xué)演示） 師：猜出來了嗎？誰來說說看，你來找一位同學(xué)回答。 生：一刀兩斷 師：對不對，同意的舉手，哦，都舉手了，謝謝兩位請坐，他們猜對了，就是一刀兩斷，（板書：一刀兩斷）你們真聰明，反應(yīng)很快，配合的默契程度很高， 師：好，現(xiàn)在做準(zhǔn)備好了嗎？（做好了）能上課了嗎？（能）那我們現(xiàn)在上課了？ 師：上課 生：老師好！ 師：同學(xué)們好！請坐 一、導(dǎo)入 師：今天我們這節(jié)數(shù)學(xué)課就從一刀兩斷開始，現(xiàn)在我們看這個詞，數(shù)學(xué)上借用這個詞我們替換一個字（一刀兩斷，替換一個字“斷換段”）一起讀一下。 生一起讀：一刀兩斷 師：現(xiàn)在我想請一位同學(xué)用畫草圖的方式把一刀兩斷的結(jié)果表示出來（師板書——畫），誰想上來畫一畫？ （學(xué)生上臺） 師：我來幫幫你，如果這表示一跟繩子的話，你來使它一刀兩斷， （學(xué)生動手） 師：謝謝，請回 師：請看這個圖，很簡單，但是卻讓我們一目了然，請認(rèn)真觀察，剛才那位同學(xué)一共剪了幾次？ 生一起回答：一次 師：哦，一次，（板書：次數(shù)，在次數(shù)下面寫1）剪成幾段？（生回答：兩段）（老師板書：段數(shù)，在段數(shù)下面寫2）繼續(xù)，像這樣剪兩次，幾段？（3段）三次，幾段？（4段）你們報得這么快，我都來不及記錄了，讓我記一下，（分別在次數(shù)下面和段數(shù)下面寫2—3，3—4） 師：還要我繼續(xù)畫下去嗎？（不需要）那么你找到了規(guī)律了？（找到了）哦，請你們先別告訴我，讓我來考考你們好不好？（好） 師：我這次啊出大點的數(shù)字，如果像這樣如果我剪50次（師在次數(shù)下面寫上50），能剪成幾段？ 生一起回答：51段 師：這么快，好的（師在段數(shù)下面寫上51），再來，現(xiàn)在我們反過來，像這樣剪繩子，我想剪成……你想剪成幾段??？誰來報一個大點的數(shù)？ 生：1000段 師：哦，1000段，我把它寫下來（板書在段數(shù)下面），想好了嗎？剪成1000段要剪幾次？哦，舉手的人真多，大家一起告訴我吧。 生一起回答：999次 師：看來這個規(guī)律大家真的已經(jīng)找到了（師在“畫”字下面寫“找”字），誰來說說看，像這樣剪繩子的時候，次數(shù)和段數(shù)之間有怎樣的規(guī)律呢？ 生：段數(shù)都要比次數(shù)多1 師：可以，還可以怎么說？ 生：次數(shù)比段數(shù)少1 師：很好，那么現(xiàn)在我想問了，我們找到這個規(guī)律有什么好處？體會一下，像這些大的數(shù)據(jù)，是我們畫出來的？不是，那是怎么出來的？ 生：是推理出來的 師：他說是推理出來的，這個詞用得非常棒（師板書——推），看來，一個簡單的草圖，我們通過觀察在這些小的數(shù)據(jù)里面，我們找到了規(guī)律，就可以依次來推理了，是不是？也就是說我們可以“以小見大”（板書——以小見大），找到規(guī)律來推算。那么今天這節(jié)就讓我們用以小見大：畫、找、推這樣一個方法來解決數(shù)學(xué)廣角中的植樹問題（板書——植樹問題）， 二、新授 師：好，現(xiàn)在我們要看屏幕了，請看屏幕（出示課件題目：一根繩總長12米，每段長3米，可剪幾段？），一根繩總長12米，每段長3米，可剪幾段？能完成嗎？（能）好，我們做在我們的練習(xí)紙的第一部分，列式計算，答省略不寫，開始吧 （生動手，師巡視輔導(dǎo)，抽選一位同學(xué)的答案寫在黑板上123=4（段），1分鐘后）， 師：好，校對，大家看黑板，這位同學(xué)答案對嗎？ 生一起回答：對 師：好，請問：除法算式中的12是指什么？ 生：這條繩子總長12米 師：簡單點，兩個字， 生一起回答：總長 師：好，（板書——總長），3指什么？ 生：段長 師：好的，（在總長后面板書——段長）請看，總長、段長，總長里有幾段段長呢？4段，4段指什么？ 生：段數(shù) 師：段數(shù)，（在段長后面板書——段數(shù)），通過這樣的一個簡單的數(shù)學(xué)問題，其實我們是總結(jié)出了一個數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系就是我們一起來說說吧：（板書）總長段長=段數(shù)，對了，現(xiàn)在讓我們一起回到剛才的剪繩子的問題上，（出示課件第一題）像剛才那種剪法，剪成4段我們要剪幾次？ 生一起回答：三次 師：三次（演示課件剪刀剪），四段三次是不是符合我們剛才總結(jié)出來的規(guī)律？（手指剪繩子草圖）段數(shù)比次數(shù)多1。 生一起回答：是 師：好了，現(xiàn)在我們要變換以下情境了，我們知道3月12日是植樹日，那我們就不剪繩子了，我們來植樹，請看大屏幕，（出示課件：一條路總長12米，每隔3米栽一棵樹，可以怎樣栽？栽幾課？） 師：請看題，這里有一個12米，這個12米是指什么？ 生一起回答：路的總長 師：哦，路的總長，能不能用總長來概括， 生：能 師：哦，這里又有一個每隔3米栽一棵樹，這3米就是什么？ 生：段長 師：段長，好的，那么現(xiàn)在總長里面有多少個段長，那么求出來還是什么？ 生：4段 師：那么現(xiàn)在這條小路分成4段的情況下，我們到底怎么該栽呢？可以栽幾棵呢？這樣，我們就用剛才總結(jié)的方法畫、找、推（師指黑板板書），一步一步來研究，先從畫開始，每位同學(xué)在這張圖上畫一畫，小數(shù)苗到底可以栽在哪個位置上，開始吧，在你們的練習(xí)紙的第二部分畫一畫，開始，（老師巡視并抽選）（1分鐘后） 師：好，我們來交流一下，請看屏幕，這是第一位（用投影出示），這位同學(xué)栽了幾棵樹苗？ 生：5棵 師：5棵樹，5棵4段，再來看第二位，他栽了幾棵樹苗？ 生：3棵 師：3棵，3棵4段，好，再來一位，栽了幾棵樹苗？ 生：4棵 師：4棵，4棵4段，好，我把它們都搬到屏幕上去，在分成4段的情況下，剛才我在下面看了一下基本上出現(xiàn)的都是這三種情況，是吧？ 生一起回答：是 師：有同學(xué)要問了，剛才我們在剪繩子的時候我們就是一刀兩段，一種情況，現(xiàn)在怎么就出現(xiàn)三種情況呢？那么這三種情況里面他們的棵樹和段數(shù)之間又有怎樣的規(guī)律呢？想不想來研究一下？ 生一起回答：想 師：想，好，接下來，我們要以小組為單位，我們一起來研究一下，拿出小組合作的那張練習(xí)紙，請看屏幕上的要求（師出示屏幕：1、給每種情況起個名。2、每種情況中“棵數(shù)”與“段數(shù)”有什么關(guān)系），開始研究吧。（師巡視輔導(dǎo)） 師：（3分鐘之后）有的同學(xué)說我起名有點困難，有的同學(xué)把名字起好了，找關(guān)系還來不及找，沒關(guān)系，等下我們組和組之間還可以交流，好，我們先暫停一下，現(xiàn)在我們請一個小組派代表來介紹一下第一種情況下棵數(shù)和段數(shù)之間的關(guān)系，好不好？（好）哪組想來？ 生：他的關(guān)系是：棵數(shù)=段數(shù)+1（師在之前張貼的5棵4段圖下面板書——棵數(shù)=段數(shù)+1） 師：請觀察這張簡單的圖示是不是這樣的關(guān)系 生：5棵數(shù)4段 師：同意嗎？（同意），好，請坐，我也發(fā)現(xiàn)有的用文字表示的他說棵數(shù)比段數(shù)多1，你看，同一個關(guān)系，同一個規(guī)律我們又可以用不同的表達(dá)方式，對不對？（對）好了，接下來請第二組來匯報下第二種情況，哪組來說一說？ 生：棵數(shù)比段數(shù)少1 師：我們用數(shù)量關(guān)系表示……. 生：棵數(shù)=段數(shù)—1（師在之前張貼的3棵4段圖下面板書——棵數(shù)=段數(shù)—1） 師：同意嗎？同意，好，下面第三種情況，我們一起來吧， 生一起說：棵數(shù)等于段數(shù)（師在之前張貼的4棵4段圖下板書——棵數(shù)=段數(shù)） 師：好了，現(xiàn)在我們來看，三種情況都是在分成4段的情況下，有的時候棵數(shù)比段數(shù)多1，有的時候棵數(shù)比段數(shù)少1，有的時候棵數(shù)等于段數(shù)？怎么回事呢？請認(rèn)真觀察，到底是哪個位置決定一會兒多1，一會兒少1呢？重在哪個位置上的數(shù)特別的重要？值得我們好好研究一下，什么位置上？ 生：兩頭 師：兩頭，同意嗎？ 生：同意 師：好，那我們現(xiàn)在來觀察，（師手指之前張貼的5棵4段說）兩頭都栽，結(jié)果棵數(shù)就等于段數(shù)加1，哦，你們都把名字說出來了，我們就叫它兩頭都栽或者叫兩端都栽（在圖前面寫“兩頭都栽”），那么這個呢？（師指3棵4段圖）能起名字了吧？ 生：能 師：叫做什么？ 生：兩頭都不栽 師：好，（師在3棵4段圖前面寫“兩頭都不栽”）那這個呢？（師指4棵4段圖說） 生：只栽一頭 師：那另一頭呢？ 生：不栽， 師：好，那我把他展開來寫叫一頭栽一頭不栽（在4棵4段前面寫），好了，我覺得你們起名字的本領(lǐng)真大，原來這個起名字也不是亂起的，你們看這三種情況起的多有水平啊，為什么有水平啊，他揭示了三種情況當(dāng)中所預(yù)示的棵數(shù)和段數(shù)之間分別不同的關(guān)系，是不是？ 生：是 師：那我要問了，一頭栽一頭不栽，除了這個情況還有吧？ 生分別說 師：一種是頭不栽尾栽，另一種是尾不栽頭栽，是不是啊，哦，是不是這種情況？（師張貼一頭栽一頭不栽的另一張圖在第三種情況的下面），你看，一個名字包括了兩種情況，是吧，師：好了，現(xiàn)在我們已經(jīng)研究了植樹問題的三種情況，剛才啊，老師在巡視的時候有的同學(xué)說這三種情況不能再用一刀兩斷來概括了，我說對，他學(xué)習(xí)能力很強，那既然不能用一刀兩斷來概括了，那你們也想想辦法用什么方法來概括下，為了方便記憶，我們也用一個四個字的詞來概括下好不好？我們就叫它“五指四空”，（板書——五指四空）， 師：哦，已經(jīng)有同學(xué)拿出手來比劃了，好，請一位同學(xué)上來借用下你的小手，（把學(xué)生的小手放在投影儀上老師介紹）找一找五指代表我們剛才的五棵小樹苗，四空代表剛才的四段，那“五指四空”這就是我們剛才的哪一種？ 生一起回答：第一種， 師：非常好，它的名字叫什么？ 生：兩頭都栽 師：太好了，謝謝，請回，接下來你能用你自己的小手創(chuàng)造性的表示下這種情況嗎？（師出示一頭栽一頭不栽課件）動手演示下， 生嘗試演示 師：4段4棵，是不是這樣？（課件出示手）這是哪種情況？ 生：一頭不栽一頭栽 師：真棒，好，還有一種情況呢，（師出示兩頭都不栽的課件） 生嘗試演示 師：哦，這種手勢比較難都做出來了，是不是這樣??？（課件出示手）這叫做什么呀？ 生：兩頭都不栽 師：太對了，你看，小手是不離身的，有了這個模型，帶在身上，你還怕記不住這三種情況當(dāng)中棵數(shù)和段數(shù)之間的關(guān)系嗎？不怕了，對不對？ 生一起回答：對 師：好，現(xiàn)在回過頭來，我們再來看剛才這到題：當(dāng)一條小路每3米分成一段，可以分成四段，對吧，在分成4段的情況下我們得出了這三種栽法，都符合題意，這三種情況就是我們植樹問題當(dāng)中的三種最基本情況，好了，學(xué)到現(xiàn)在啊我們體會一下，我們剛才是用怎樣的方法學(xué)的？（老師手指畫、找、推） 生：畫、找、推 師：好了，現(xiàn)在請你們翻開課本第117頁例1，（師用課件出示此題）現(xiàn)在動手把這道題做在書中空白處，開始， 師：請大家認(rèn)真審題，題目當(dāng)中的栽樹方法其實就是我們剛才哪種情況？ 生：兩頭都栽 師：（2分鐘后）好了沒有？好，很多同學(xué)都已經(jīng)做好了，現(xiàn)在開始校對。是不是這樣??？兩種：分步，綜合，請問為什么要加1？ 生：因為兩頭要栽，所以要加1 師：通過此題，我們歸納出一個數(shù)量關(guān)系，它就是段長段數(shù)＝總長，原來就是我們剛才這個數(shù)量關(guān)系的反向運用，是不是啊， 師：好，現(xiàn)在我們再來看看，我們今天這節(jié)課啊其實舉了很多的例子，他們之間有沒有關(guān)聯(lián)呢，仔細(xì)觀察，在數(shù)學(xué)廣角之中，剪繩子其實就和哪種情況一樣的？ 生：栽樹， 師：栽樹有三種情況的，栽樹里面的…… 生：兩頭都不栽 師：路燈其實就和……. 生：兩頭都栽一樣 師：是不是這樣？生活中這樣的例子還有很多很多，你們有心的可以去找一找 師：好，現(xiàn)在我想問，通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲，和大家分享一下，你最感興趣的是什么？ 生：我知道了一刀兩段，五指四空 師：好，還有什么嗎？ 生：我學(xué)會了畫找推 師：畫、找、推，這是一種什么？ 生：方法 師：方法，學(xué)習(xí)方法，非常啊，畫、找、推，以小見大來類推，這就是一種學(xué)習(xí)方法，好，這節(jié)課可能過了時間的推移，里面的知識有的東西你會遺忘，但正如這位同學(xué)說的他牢牢記住了一刀兩段，五指四空，為什么？因為他讓我們領(lǐng)略了以小見大的魅力，這是你終身受用的。好，這節(jié)課就上到這里，下課