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第3練 “三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用
[題型分析高考展望] “二次函數(shù)、二次方程、二次不等式”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，在高考中雖然一般不直接考查，但它是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具.如函數(shù)圖象問(wèn)題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的問(wèn)題、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等.“三個(gè)二次”經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，相輔相成，是一個(gè)有機(jī)的整體.如果能很好地掌握三者之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用方法，會(huì)有利于解決上述有關(guān)問(wèn)題，提升運(yùn)算能力.
常考題型精析
題型一 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化
例1 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.
點(diǎn)評(píng) 二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或二次函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般都需轉(zhuǎn)化為二次方程根的存在性及根的分布來(lái)解決，解決的方法是列出判別式和有關(guān)函數(shù)值的不等式(組)，或用數(shù)形結(jié)合方法解決.
變式訓(xùn)練1 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
題型二 函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化
例2 已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng).若對(duì)任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，則當(dāng)x>3時(shí)，x2＋y2的取值范圍是____________.
點(diǎn)評(píng) 不等式是解決函數(shù)定義域、值域、參數(shù)范圍等問(wèn)題的有效工具，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式解決是解答此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路.而二次不等式的解的確定又要借助二次函數(shù)圖象，所以二者關(guān)系密切.函數(shù)單調(diào)性的確定是抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式的關(guān)鍵.
變式訓(xùn)練2 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>}，則f(10x)>0的解集為( )
A.{x|x<－1或x>lg 2} B.{x|－1
－lg 2} D.{x|x<－lg 2}
題型三 方程與不等式的轉(zhuǎn)化
例3 已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.
點(diǎn)評(píng) “三個(gè)二次”是一個(gè)整體，不可分割.有關(guān)“三個(gè)二次”問(wèn)題的解決辦法通常是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來(lái)將其轉(zhuǎn)化，其中用到的方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想，其最基本的理念可以說(shuō)是嚴(yán)格按照一元二次不等式的解決步驟來(lái)處理.
變式訓(xùn)練3 (2015四川)如果函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為( )
A.16 B.18
C.25 D.
高考題型精練
1.若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝?，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是( )
A.p>－4 B.－40的解集為( )
A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－24} D.{x|02或a<－2 D.1f(x2)
D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定
8.若a0，
即f(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足條件，則只需f(－1)f(3)≤0即可.
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1.
檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0，a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠1.
(2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－，此時(shí)f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠－.
綜上所述，a<－或a>1.
變式訓(xùn)練1 7
解析 由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
如圖畫(huà)出f(x)的圖象，由f(x)＝知有4個(gè)根，由f(x)＝1知有3個(gè)根，故函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1共有7個(gè)零點(diǎn).
例2 (13,49)
解析 由函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
所以不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0可化為f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)＝f(－y2＋8y).
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，
故必有x2－6x＋21<－y2＋8y，
即x2－6x＋21＋y2－8y<0，
配方，得(x－3)2＋(y－4)2<4.
因?yàn)閤>3，故不等式組表示為
它表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的半圓的內(nèi)部.
而x2＋y2表示該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方.
由圖可知，x2＋y2的最小值在點(diǎn)A處取得，但因?yàn)樵擖c(diǎn)在邊界的分界線上，不屬于可行域，故x2＋y2>32＋22＝13，而最大值為圓心(3,4)到原點(diǎn)的距離與半徑之和的平方，但因?yàn)樵擖c(diǎn)在圓的邊界上，不屬于可行域，故x2＋y2<(5＋2)2＝49，故130的解集為{x|－10等價(jià)于－1<10x<，
由指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，知一定有10x>－1，
而10x<可化為10x<10lg ，
即10x<10－lg 2.
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x<－lg 2，故選D.]
例3 解 (1)由條件，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖所示，
得
?
即－－4.]
2.C [f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b.
∵f(x)是偶函數(shù)，∴b－2a＝0，即b＝2a.
∴f(x)＝ax2－4a，又f(2)＝0，x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)為增函數(shù).∴f(2－x)>f(2)或f(2－x)>f(－2).
∴2－x>2或2－x<－2，即x<0或x>4.]
3.D [∵f(x)＝(x－1)2＋2，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.綜上可知1≤m≤2.]
4.D [m＝x2－x＝2－，x∈[－1,1].
當(dāng)x＝－1時(shí)，m取最大值為，
當(dāng)x＝時(shí)，m取最小值為－，∴－≤m≤.]
5.C [∵f(x)＝x2－ax＋1有負(fù)值，
∴Δ＝(－a)2－4>0，則a>2或a<－2.]
6.A [設(shè)t＝f(x)，則方程為t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a.
如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，
由函數(shù)圖象，可知f(x)＝0的解有兩個(gè)，
故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5個(gè)不同的解，
則方程f(x)＝a的解必有三個(gè)，此時(shí)0－1.∵x10，∴f(x1)0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.]
9.2－2
解析 (1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，故g(a)＝f(1)＝1.
(2)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，故g(a)＝f(1)＝1－a.
(3)當(dāng)0g(2－2)＝3－2；
當(dāng)2－2≤a<2時(shí)，g(a)≥g(2－2)＝3－2；
當(dāng)a≥2時(shí)，g(a)≥g(2)＝1>3－2.
綜上，當(dāng)a＝2－2時(shí)，g(a)min＝3－2.
10.
解析 因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于(－a＋4)x2－4x＋1<0，其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a>0，且有4－a>0，故00時(shí)，f(x)在[－1,1]上有零點(diǎn)的條件是 解得a>.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
12.解 依題意，f(x)＝g(x)，即ax2＋ax＝x－a，
整理得ax2＋(a－1)x＋a＝0，①
∵a≠0，
函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴Δ>0，即Δ＝(a－1)2－4a2＝－3a2－2a＋1＝(3a－1)(－a－1)>0，
∴－10，x1＋x2＝－.
設(shè)點(diǎn)O到直線g(x)＝x－a的距離為d，則d＝，
∴S＝|x1－x2|＝
＝ .∵－1
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高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 不等式與線性劃
【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科
不等式與線性劃】專(zhuān)題2
第3練
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