【高考前三個月復習數學理科函數與導數】專題3 第7練
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第7練 抓重點——函數性質與分段函數 [題型分析高考展望] 函數單調性、奇偶性、周期性是高考必考內容，以分段函數為載體是?？碱}型.主要以選擇題或填空題的形式考查，難度為中檔偏上.二輪復習中，應該重點訓練函數性質的綜合應用能力，收集函數應用的不同題型，分析比較異同點，排查與其他知識的交匯點，找到此類問題的解決策略，通過訓練提高解題能力. ?？碱}型精析 題型一 函數單調性、奇偶性的應用 1.常用結論：設x1、x2∈[a，b]，則(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上遞增. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上遞減. 2.若f(x)和g(x)都是增函數，則f(x)＋g(x)也是增函數，－f(x)是減函數，復合函數的單調性根據內函數和外函數同增異減的法則判斷. 3.定義域不關于原點對稱的函數一定是非奇非偶函數. 4.奇偶性相同的兩函數的積為偶函數，奇偶性相反的兩函數的積為奇函數. 例1 (1)(2014湖北)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數a的取值范圍為( ) A.[－，] B.[－，] C.[－，] D.[－，] (2)(2014課標全國Ⅱ)已知偶函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________. 點評 (1)奇偶性：具有奇偶性的函數在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數值、解析式和單調性聯系密切，研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區(qū)間上，這是簡化問題的一種途徑.尤其注意偶函數f(x)的性質：f(|x|)＝f(x). (2)單調性：可以比較大小，求函數最值，解不等式，證明方程根的唯一性. 變式訓練1 (1)(2015天津)已知定義在R上的函數f(x)＝2|x-m|－1(m為實數)為偶函數，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為( ) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a (2)(2015北京)下列函數中為偶函數的是( ) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2-x 題型二 函數的周期性與對稱性的應用 重要結論：1.若對于定義域內的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，則f(x)關于x＝a對稱. 2.若對于任意x都有f(x＋T)＝f(x)，則f(x)的周期為T. 例2 (1)已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，且f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，當x∈[－1,0)時，f(x)＝－x，則f(2 015)＋f(2 016)＝________. (2)定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x).當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________. 點評 利用函數的周期性、對稱性可以轉化函數解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解. 變式訓練2 已知定義在R上的偶函數滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當x∈[0,2]時，y＝f(x)單調遞減，給出以下四個命題： ①f(2)＝0；②x＝－4為函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸；③函數y＝f(x)在[8,10]上單調遞增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8. 則所有正確命題的序號為________. 題型三 分段函數 例3 已知函數f(x)＝是奇函數. (1)求實數m的值； (2)若函數f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍. 點評 (1)分段函數是一個函數在其定義域的不同子集上，因對應關系的不同而分別用幾個不同的式子來表示的.分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數. (2)在求分段函數f(x)解析式時，一定要首先判斷x屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式. 變式訓練3 (2014浙江)設函數f(x)＝ 若f(f(a))≤2，則實數a的取值范圍是________. 高考題型精練 1.(2015安徽)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是( ) A.y＝ln x B.y＝x2＋1 C.y＝sin x D.y＝cos x 2.(2015陜西)設f(x)＝則f(f(－2))等于( ) A.－1 B. C. D. 3.(2014山東)函數f(x)＝的定義域為( ) A. B.(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 4.(2014江西)已知函數f(x)＝(a∈R)， 若f[f(－1)]＝1，則a等于( ) A. B. C.1 D.2 5.下列函數f(x)中，滿足“?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)＝－x B.f(x)＝x3 C.f(x)＝ln x D.f(x)＝2x 6.函數y＝f(x－1)的圖象關于直線x＝1對稱，當x∈(－∞，0)時，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln 2f(ln 2)，c＝(log)f(log)，則a，b，c的大小關系是( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 7.設函數g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ 則f(x)的值域是( ) A.[－，0]∪(1，＋∞) B.[0，＋∞) C.[－，＋∞) D.[－，0]∪(2，＋∞) 8.(2015青島模擬)對實數a和b，定義運算“?”：a?b＝設函數f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是( ) A.(－∞，－2]∪(－1，) B.(－∞，－2]∪(－1，－) C.(－1，)∪(，＋∞) D.(－1，－)∪[，＋∞) 9.(2014安徽)若函數f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. 10.對于任意實數a，b，定義min{a，b}＝設函數f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 11.已知函數f(x)＝其中[x]表示不超過x的最大整數.若直線y＝k(x＋1)(k>0)與函數y＝f(x)的圖象恰有三個不同的交點，則實數k的取值范圍是____________. 12.已知函數y＝f(x)，x∈R，有下列4個命題： ①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，則f(x)的圖象關于直線x＝1對稱； ②y＝f(x－2)與y＝f(2－x)的圖象關于直線x＝2對稱； ③若f(x)為偶函數，且f(2＋x)＝－f(x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱； ④若f(x)為奇函數，且f(x)＝f(－x－2)，則f(x)的圖象關于直線x＝1對稱. 其中正確命題的序號為________. 答案精析 第7練 抓重點——函數性質與分段函數 ?？碱}型精析 例1 (1)B (2)(－1,3) 解析 (1)因為當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以當0≤x≤a2時，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x； 當a2
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