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第5講　圓錐曲線 題型一　直線與圓錐曲線的綜合問題 例1　(12分)(2014課標全國Ⅰ)已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點. (1)求E的方程； (2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程. 規(guī)范解答 解　(1)設F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.[2分] 又e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程為＋y2＝1.[5分] (2)當l⊥x軸時，不合題意， 故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，[6分] 將y＝kx－2代入＋y2＝1得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.[7分] 當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時， x1,2＝. 從而|PQ|＝|x1－x2|＝. 又點O到直線PQ的距離d＝， 所以△OPQ的面積S△OPQ＝d|PQ|＝.[9分] 設＝t，則t>0，S△OPQ＝＝. 因為t＋≥4，當且僅當t＝2， 即k＝時等號成立，且滿足Δ>0，[11分] 所以，當△OPQ的面積最大時l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.[12分] 評分細則 第(1)問得分點 1.由直線的斜率，得出c值，得2分，列出關于c的方程，求解結果錯誤只得1分. 2.由橢圓的離心率求得a值得2分，得出E的方程得1分. 第(2)問得分點 1.設出直線l的方程得1分，沒有考慮斜率不存在，直接設出直線方程不得分. 2.直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出一元二次方程得1分，方程不正確，不得分. 3.求出弦長給1分，只給出弦長值而沒有過程，不得分. 4.求出三角形的面積得1分；只寫出面積公式沒有代入數(shù)據(jù)，不給分. 5.求出k值得2分，沒有驗證是否滿足方程的判別式扣1分. 6.寫出直線l的方程得1分. 第一步：由圓錐曲線幾何性質及已知條件求參數(shù)a，b，c，e中某個值； 第二步：求圓錐曲線方程； 第三步：分析直線與圓錐曲線的關系，聯(lián)立方程，得一元二次方程； 第四步：由“Δ”或根與系數(shù)的關系，弦長公式等，尋找解決問題的思路； 第五步：通過化簡、運算，得出結果； 第六步：回顧反思，查驗問題的完備性. 跟蹤訓練1　(2014北京)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關系，并證明你的結論. 　 　 　 題型二　圓錐曲線中的定點、定值問題 例2　(14分)(2014山東)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|＝|FD|.當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形. (1)求C的方程. (2)若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E， ①證明直線AE過定點，并求出定點坐標. ②△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由. 規(guī)范解答 解　(1)由題意知F(，0). 設D(t,0)(t>0)，則FD的中點為(，0). 因為|FA|＝|FD|， 由拋物線的定義知3＋＝， 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).[2分] 由＝3，解得p＝2. 所以拋物線C的方程為y2＝4x.[4分] (2)①由(1)知F(1,0). 設A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0). 因為|FA|＝|FD|，則|xD－1|＝x0＋1， 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)， 故直線AB的斜率kAB＝－. 因為直線l1和直線AB平行， 設直線l1的方程為y＝－x＋b， 代入拋物線方程得y2＋y－＝0， 由題意Δ＝＋＝0，得b＝－.[6分] 設E(xE，yE)，則yE＝－，xE＝. 當y≠4時，kAE＝＝＝， 可得直線AE的方程為y－y0＝(x－x0). 由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)， 直線AE恒過點F(1,0). 當y＝4時，直線AE的方程為x＝1，過點F(1,0)， 所以直線AE過定點F(1,0).[9分] ②由①知直線AE過焦點F(1,0)， 所以|AE|＝|AF|＋|FE| ＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.[10分] 設直線AE的方程為x＝my＋1. 因為點A(x0，y0)在直線AE上，故m＝. 設B(x1，y1).直線AB的方程為y－y0＝－(x－x0)， 由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0， 代入拋物線方程得y2＋y－8－4x0＝0， 所以y0＋y1＝－， 可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4. 所以點B到直線AE的距離為 d＝ ＝＝4.[12分] 則△ABE的面積 S＝4≥16， 當且僅當＝x0，即x0＝1時等號成立. 所以△ABE的面積的最小值為16.[14分] 評分細則 第(1)問得分點 1.求出t的值，得2分，列出關于t的方程，求解結果錯誤只得1分. 2.得出拋物線方程得2分. 第(2)問得分點 1.寫出直線l1在y軸上的截距得2分. 2.得出直線AE過定點得3分，只考慮當y≠4，且得出此時直線AE過定點，只能得2分，只考慮當y＝4且得出此時直線AE過定點，只能得1分. 3.求出|AE|的長，且結論正確給1分，只給出弦長值而沒有過程，不得分. 4.正確得出B到直線AE的距離得2分；只寫對結果，但沒有過程只能得1分. 5.求出面積的最小值得2分，沒有指出等號成立的條件扣1分. 第一步：引進參數(shù).從目標對應的關系式出發(fā)，引進相關參數(shù).一般地，引進的參數(shù)是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等； 第二步：列出關系式.根據(jù)題設條件，表達出對應的動態(tài)直線或曲線方程； 第三步：探求直線過定點.若是動態(tài)的直線方程，將動態(tài)的直線方程轉化成y－y0＝k(x－x0)的形式，則k∈R時直線恒過定點(x0，y0)；若是動態(tài)的曲線方程，將動態(tài)的曲線方程轉化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，則λ∈R時曲線恒過的定點即是f(x，y)＝0與g(x，y)＝0的交點； 第四步：下結論； 第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問題中的定點、定值問題時，引進參數(shù)的目的是以這個參數(shù)為中介，通過證明目標關系式與參數(shù)無關，達到解決問題的目的. 跟蹤訓練2　已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為－1，離心率為e＝. (1)求橢圓E的方程； 　 　 (2)過點(1,0)作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由. 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第5講　圓錐曲線 跟蹤訓練1　解　(1)由題意得，橢圓C的標準方程為＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝. 故橢圓C的離心率e＝＝. (2)直線AB與圓x2＋y2＝2相切．證明如下： 設點A，B的坐標分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. 因為OA⊥OB，所以＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. 當x0＝t時，y0＝－，代入橢圓C的方程，得t＝， 故直線AB的方程為x＝， 圓心O到直線AB的距離d＝. 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切． 當x0≠t時，直線AB的方程為y－2＝(x－t)． 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圓心O到直線AB的距離 d＝. 又x＋2y＝4，t＝－， 故d＝ ＝ ＝. 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切． 跟蹤訓練2　解　(1)設橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)， 由已知得解得 所以b2＝a2－c2＝1.所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)假設存在符合條件的點M(m,0)， 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2. ①當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)， 由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0， 即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝－， 所以＝－m＋m2－ ＝. 因為對于任意的k值，為定值， 所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝. 所以M，此時，＝－. ②當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1， 則x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－， 由m＝，得＝－. 綜上，符合條件的點M存在，且坐標為.